直观方阵法求组合数列的和

在高中数学课本中,给出了下列组合数列的和: (1)C_n~0+c_n~1+c_n~2+…+c_n~n=2~n; (2)(C_n~0)+(c_n~1)~2+…+(c_n~n)~2=(2n)!/n!n! 如何利用这些组合数列的和,解它们的引伸题,我们采用了直观方阵法。例1 求和: (3)C_n~1+2C_n~2+3C_n~3+…+nc_n~n (4)C_n~0+2c1/n+3c_n~2+…+(n+1)c_n~n 解:排列方阵如下: C_n~0C_n~1C_n~2……C_n~(n-1)C_n~n C_n~1C_n~2……C_n~(n-1)C_n~nC_n~0 C_n~0c_n~1C_n~2……C_n~(n-1)C_n~n ………………… …     

分析结论 巧妙证明

题设n∈N且n≥3。试证明 2~(n(n+1))/2>(n+1)! 该不等式如果采用数学归纳法证明,其过程较繁杂,若仔细分析所证结论,不等式左边的指数中底数为2,联想到二项式定理推得的组合公式2~n=C_n~0+C_n~1+…+C_n~n>C_n~0+C_n~1=1+n。即2~n>n+1(n∈N 且n>1),就可使问题迎刃而解。     

问题一瞥

1) 解方程: x~3-(a+2)x+(a+1)~(1/2)=0 2) 解方程: x~4-6ax~2+8a((ax)~(1/2))-3a~2=0 3) 确定下式的最小值: a~2+b~2+c~2/S其中a,b,c是三角形的边,S是三角形的面积。 4) 证明: tgα·tg2α+tg2α·tg3α+…+tg(n-1)α·tgnα=tgnα/tgα-n。 5) 证明不等式: tgα(ctgβ+ctgγ)+tgβ(ctgα+ctgγ)+tgγ(ctgα+ctgβ)≥6。其中α,β,γ是锐角三角形的角。 6) 证明: C_n~1 1~2-C_n~2 2~2+C_n~3 3~2-…+(-1)~n C_n~(n-1) (n-1)~2+(-1)~(n+1) n~2=0     

有关组合问题的几个公式

我们知道,利用牛顿二项式定理可推得一个很著名的组合总数公式 C_n~1 C_n~2 C_n~3 … C_n~n=2~n-1 (1)新编高中数学课本第三册的P160上安排了一道习题,即证明: C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … hC_n~n=n·2~(n-1) (2)这个习題实际上也是一个很重要的组合公式。根据这两个公式及牛顿二项式定理,可推导出以下一些重要的结果。定理1.C_n~2 2C_n~3 3C_n~4 … (n-1)C_n~n =(n-2)2~(n-1) 1 证明:C_n~2 2C_n~3 3C_n~4 … (n-1)C_n~n =C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … nC_n~n-(C_n~1 C_n~2 C_3~n … C_n~n), 由公式(1)及(2),得 C_n~2 2C_n~3 3C_n~4 … (n-1)C_n~n=n·2~(n-1)-2~n 1=(n-2)2~(n-1) 1     

一个组合数求和的递推公式

中学教材中有下列恒等式:C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … nC_n~n=n·2~(n-1)。实际上,有更一般的组合数求和的递推公式(*): 1~kC_n~1 2~kC_n~2 … n~kC_n~n =n[1~(n-1)C_n~1 2~(k-1)C_n~2… n~(k-1)C_n~n]--[1~(k-1)C_(n-1)~1 2~(k-1)C_(n-1)~2 … (n-1)~(k-1)C_(n-1)~(n-1)] (k∈N) 此公式证明如下: ∵n[1~(k-1)C_n~1 2~(k-1)C_n~2 … (n-1)~(k-1)C_n~(n-1) n~(k-1)C_n~n] =n·1~(k-1)C_n~1 n·2~(k-1)C_n~2 … n·(n-1)~(k-1)C_n~(n-1) n~kC_n~n =[1~kC_n~1 1~(k-1)(n-1)C_n~1]     

组合数列求和的一个方法

组合数列求和方法多样,独特灵活,不少文献均有介绍。这里笔者介绍一个易于为中学生所接受的初等方法,旨在启思创新,提高灵活运用数学知识解题的能力。§1 一个例子求C_2~2+C_3~2+C_4~2+…+C_n~2的值。思路分析:C_2~2是表示(1+x)~2展开式中x~2项的系数;C_3~2是表示(1+x)~3展开式中x~2项的系数;…;C_n~2是表示(1+z)~n展开式中x~2项的     

来信摘录

笔者认为《数学通报》1988年第5期发表的“注重习题教学发展学生思维能力”一文例1中证法四利用数学归纳法证明恒等式C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … nC_n~n=n·2~(n-1)的过程是错误的。过程中k 1型结论的正确性,根本未用到k型结论正确性的假设,违背了数学归纳法的证明原则,正确证明应为     

二项式的一个新展开式

大家知道,二项式(1+x)~n可以按x的非负整数次幂展开,即有 (1+x)~n=C_n~0+C_n~1x+C_n~2x~+…+C_n~nx~n其系数可以排成一个数字三角,它被称为杨辉三角。我们若将二项式(1+x)~n按1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2),…,x(x-1)(x-2)…(x-n+1)展开,有 (1+x)~0=1 (1+x)~1=1+x (1+x)~2=1+3x+x(x-1) (1+x)~3=1+7x+6x(x-1)+x(x-1)(x-2) ………………一般地 (1+x)~n=H_n~0+H_n~1x+H_n~2x(x-1)+…+H_n~nx(x-1)(x-2)…(x-n+1) (1) 显然,展开式的系数是唯一存在的。可以将系数排成如下数表: 和杨辉三角一样,数表1也有很多有趣的性质和广泛的用途。 (一) 性质性质1 通项公式     

组合总数公式的证法与意义

统编高中《数学》第三册P.152利用二项式定理证明了组合总数公式 C_n~0+C_n~1+C_n~2+…+C_n~n=2~n,(*)这是一个应用广泛的式子.为了帮助学生更好地理解和掌握它,教学时,我们另给出了一种新证     

C_n~(m-1),C_n~m,C_n~(m+1)何时成等差数列

职高数学课本中有这样一道习题; 已知C_n~(m-1)=C_n~m=C_n~(m+1),求n和m. 这个习题的答案是n=34,m=14和n=34,m=4 0.此题可演变出一个不定方程 2C_n~m=C_n~(m-1)+C_n~(m-1) (1)这个方程的解是怎样的呢?C_n~(m-1),C_n~(m+1)什么时候成为一个等差数列呢?让我们来研究一下这两个问题,作为复习上面习题的引伸. 探求方程(1)的解,即求n和m的值。(1)经过变形,可以写成一个关于m的二次方程     

一堂习题课的教学体会

教材中的习题,主要是供学生课内、外做作业时用,其目的是使学生加深对概念和知识的理解、应用以及方法的掌握。然而,对于某些典型的、有代表性的习题,若作为习题课的讲授内容,那将更有利于达到明确概念、掌握方法、启发思维、培养能力的目的。下面以一节习题课,谈谈教学体会。课题:证明C_n~1+2C_n~2+…+nC_n~n=n·2~(n-1)。这是全日制十年制学校高中课本第三册第160页上的一道习题,在单元知识学习时,学生都做过。因此,首先,让基础较好的学生给出证     

正实部解折函数的渐近性质

一 引言 令表示P(z)在U:|z|<1内正则P(0)=1,且ReP(z)>0的函数全体。中两函数P_1,P_2的Hadamard乘积定义为 (P_1*P_2)(z)=1+1/2sum from n=1 to ∞(C_n~(1)C_n~(2)z~n) 其中 P_i(z)=1+sum from n=1 to ∞(C_n~(i)z~n∈记P(z)=1+sum from n=1 to ∞C_nz~n。 本文主要研究P(z)的渐近性质,最后说明其在单时函数论中的应用。二 几条引理     

m阶等差数列的一个充要条件

文[1]给出并证明了等差数列的一个有益的性质:如果数列a_1,a_2,…,a_(n+1)成等差数列,则当自然数n≥2时,下式总成立a_1-C_n~1a_2+C_n~2a_3-…十(-1)~nC_n~na_(n+1)=0。文[2]证明了等差数列这个性质的逆命题也成立。本文拟将     

关于二项式系数性质二的证明

(a b)~n的展开式的二项式系数C_n~0,C_n~1,C_n~2…,C_n~(n-1),C_n~n的第二条性质是; 如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大。课本对该性质的正确性作了一些解释,但若作为证明,未免不够确切,也缺少说服力,事实上,该性质可证明如下;     

一类组合数求和问题换元解法

组合系数成等差数列的组合数求和问题的解法很多,本文着重研究如何运用自身变换的方法解答此类问题。先从组合系数自然连续这种特殊情形谈起。例1,求和C_5~1+2C_5~2+3C_5~3+4C_5~4+5C_5~5 解.设S=C_5~1+2C_5~2+3C_5~3+4C_5~4+5C_5~5 (1) 根据组合数的性质C_n~m=C_n~(n-m),则有     

一道复习题的教学

在部编高中数学第三册的第四章,即排列、组合、和二项式定理”的复习题中,有这样一道复习题: “求证:C_(n-1)~m+C_(n-2)~m+C_(n-3)~m+…+C_(m+1)~m+C_m~m=C_n~(m+1)”这是一道很好的复习题,通过这道题的教学,可以复习和巩固这一章中的不少知识。首先,可以用来复习组合的一个重要性质,即课本上的定理2:     

二项式展开式迭加的应用

将二项式(a b)~n和(a-b)~n展开后“迭加”,可得 (a b)~n (a-b)~n =2(C_n~0a~n C_n~2a~(n-2)b~2 C_n~4a~(n-4)b~4 …)此式有以下特点: 1 右边字母b的指数为偶数; 2 n为偶数时,右边a、b的指数都是偶数:     

一种场站设置问题中的几个结论

本文研究如下一种场站设置问题:设S是欧空间E~m中由有限个点A_1,A_2,…,A_n组成的集合.d(A_i,A_j)表示点A_i和A_j之间的距离.令σ(S)=Σ_(1≤i相似文献   

一道习题的推广

《中学数学》1983年第4期问题征解中有这样一题,求证 1+2+3+…+1983|1~5+2~5+3~5+…+1983~5。事实上,我们有一般的结论:1°。1+2+3+…+n|1~5+2~5+3~5+…+n~5,甚至更一般的结论:2°。1+2+3+…+n|1~(2k+1)+2~(2k+1)+3~(2k+1)+…+n~(2k+1)。这里n、k为任意自然数,为了证明这一结论,我们要用到整数的两个性质。性质1。两个连续整数必互质。性质2。如果(p,q)=1,p|m,q|m则pq|m、((p,q)表示p与q的最大公约数)。此二性质都很容易用反证法证明,这里从略。我们来证明上述结论2°。证∵ 1+2+…+n=(1/2)n(n+1),记 S_(2k+1)(n)=1~(2k+1)+2~(2k+1)+…+n~(2k+1),     

Pkn(k≡2(mod3))的D(2)-点可区别全染色

图的D(β)-点可区别全染色就是指图G的一个正常全染色且使得距离不大于β的任意两点有不同的色集合.讨论了幂图P_n~k当k≡2(mod3)时的D(2)-的点可区别全染色,并且根据P_n~2与C_n~2图的结构关系获得C_n~2的邻点可区别的全染色数.