“玩转”正方体和正四面体

首先介绍有关正方体和正四面体的内切、外接球的几个结论.     

巧用正四面体的“补形正方体”解题

一、正四面体的补形正方体的定义及其性质 在一个正方体的相对两个面上,取两条不共面的面对角线,再将这两条对角线的四个端点两两相连,便得到一个正四面体,我们称正方体为所得正四面体的补形正方体（如图1）．     

探究正四面体的中心

一正四面体的棱长为a,它的内切球和外接球体积各为多少？问题是数学的灵魂,解决这个问题的关键是找到正四面体的中心所在．只要找到中心,就容易求内切球和外接球的半径,进而求出体积．下面探究四面体的中心位置．     

正四面体的截面个数

立体几何中基于特殊多面体的习题与试题已屡见不鲜。正四面体正是这样一个基本的几何体。本文就正四面体的截面个数问题做一些初浅的探讨。一、与距离有关的截面问题例 1 :求到正四面体四个顶点距离都相等的平面的个数。解 :第一种情况 ,取AB、AC、AD的中点E、F、G ,则平面EFG满足条件。像这样三顶点在截面的一侧而第四个顶点在截面的另一侧的截面共有 4个。 (如图 1 )第二种情况 ,取AB、AC、CD、BD的中点H、I、J、K ,则易证明平面HIJK是满足条件的截面。像这样其中有两个顶点在截面的一侧而另外两个顶点在截面的另一侧的截面共…     

用好正四面体模型

<正>正四面体是一种基本的几何图形,通过学习并掌握正四面体的基本性质,用好正四面体模型,能够有效地帮助同学们提高空间想象能力和直观能力,也有利于帮助同学们解决比较复杂的立体几何问题.我们先研究正四面体的基本性质,再用正四面体模型解决比较复杂的空间几何问题.1认识正四面体     

正三角形和正四面体的优美定值

用解析法可以得到正三角形的一个优美定值如下:定理1若正三角形的边长为a,以其中心为圆心的圆半径为r,则该圆上任意一点与该正三角形各顶点连线段长度的平方和及四次方和均是定值.证明设正△ABC的中心为O,由正三角形的性质,以O为原点,以OA为y轴,如图建立平面直角坐标系,则A(0,33a),特别地,若此圆为正三角形的外接圆,则r=33a;若此圆为正三角形的内切圆,则r=63a,因此有:推论1.1若正三角形ABC的边长为a,P是其处接圆上任意一点,则PA2 PB2 PC2=2a2,PA4 PB4 PC4=2a4.推论1.2若正三角形ABC的边长为a,P是其内切圆上任意一点,则PA2 PB2 …     

例说正四面体的伴随正方体

<正>1.正四面体伴随正方体的由来人教版高二(下)教材第52页有这样一道习题:从一个正方体中,如图1那样截去四个三棱锥后,得到一个正三棱锥A—BCD,求它的体积是正方体体积的几分之几.     

正三角形和正四面体的优美定值

用解析法可以得到正三角形的一个优美定值如下： 定理1 若正三角形的边长为a，以其中心为圆心的圆半径为r．则该圆上任意一点与该正三角形各顶点连线段长度的平方和及四次方和均是定值．     

正四面体中的几个定值

不难验证,选择适当的空间直角坐标系,正四面体的四个顶点的坐标就可以设为：（a,a,a）,（a,-a,-a）,（-a,a,-a）,（-a,-a,a）,其中a〉0． 利用距离公式得：正四面体的棱长为2√2a． 利用上述正四面体顶点坐标的巧妙设法,本文给出四面体中的几个有趣的定值,供参考．     

耐人寻味的数学比喻

同学们,你见过用数学来作比喻吗?不少名家学者都喜欢用数学这一特殊语言来作比喻.这些比喻评事论理,或以自勉,或以诲人;既富有发人深思的哲理,又有耐人寻味的情趣.请看: 天才的等式大发明家爱迪生成名后.人们都很敬佩、     

正四面体外接球面上点的有趣性质

本文介绍正四面体外接球面上点的一个有趣性质,其论证过程十分巧妙。 性质 正四面体外接球面上任一点,到各顶点距离平方和为定值。 已知A—BCD是棱长为a的正四面体,P是其外接球面上任一点。     

正四面体套中心构型的存在唯一性

Two cases of the nested configurations in R^3 consisting of two regular quadrilaterals are discussed. One case of them do not form central configuration, the other case can be central configuration. In the second case the existence and uniqueness of the central configuration are studied. If the configuration is a central configuration, then all masses of outside layer are equivalent, similar to the masses of inside layer. At the same time the following relation between r(the ratio of the sizes) and mass ratio b = m/m must be satisfied b=24(3的立方根)（3r^2 2r 3）^-3/2-8（1-r）|1-r|^-3-3(6r的立方根)/24(3的立方根)（3 r）（3r^2 2r 3）^-3/2-8r（1-r）|1-r|^-3-3(6r^-2的立方根)in which the masses at outside layer are not less than the masses at inside layer, and the solution of this kind of central configuration is unique for the given ratio (b) of masses.     

一道耐人寻味的抛物线习题

有这样一道习题：设A（x1,y1）,B（x2,y2）是抛物线x2=4y上不同的两点,该抛物线在点A,B处的两条切线相交于点C。     

正四面体中异面直线研究报告

分析　类别 异面直线种类组成数目角的大小距离辅助图例棱 (对角线 ) :6条面高 :12条(设棱长为 2 )棱与棱 6× 1÷ 2 =3 90° 2棱与面高 6× 4=2 4ａｒｃｃｏｓ 362 2 211面高与面高 12× 6÷ 2 =3 6ａｒｃｃｏｓ162 703 5ａｒｃｃｏｓ23 1正四面体中异面直线研究报告@仲思超$江苏省东台中学高二(10)班!(224200) @赵剑$江苏省东台中学高二(10)班!(224200) @邹施凯$江苏省东台中学!(224200)指导教师 @杨晓翔$江苏省东台中学!(224200)指导教师…     

利用正方体巧解正四面体问题

一、空间角和距离在求解正四面体中的角和距离时,我们通常将正四面体置于正方体中建立空间直角坐标系,借助直线的方向向量和平面的法向量来解题．例1已知正四面体A-BCD中,E,F分别是AB,CD上的点,且AE:AB=1:4,CF:     

正四面体外接球的几个不变量

本文给出了正四面体外接球面上点的三个性质,得到了三个不变量(定值),并利用向量给予证明．     

在正方体中巧解正四面体问题

将正四面体嵌入正方体中,利用正方体中的线面关系,可以将正四面体的一些比较复杂的计算化简,利用正方体中的线面关系,可以使空间想象更清晰. 例1 (2003年全国高考试题)一个四面体的所有棱长为2~(1/2),它的顶点在同一球面上,则     

一道耐人寻味的商品打折题

问题国际购物中心八周年店庆,顾客每购物价值400元送100元当日购物券,并加送20元现金(用赠券购物不可再领赠券)．假如顾客购物金额均为400元的整数倍,国际购物中心的活动相当于将商品打几折?     

正四面体内切球的几个不变量

笔者在文中给出了正四面体外接球面上点的三个性质,得到了三个不变量(定值),最近,笔者在研究正四面体内切球面上点的性质时,同样也得到了三个不变量(定值),现介绍如下,并利用向量给予证明,同时给出两个猜想。