利用对应原理解排列组合题

数学解题的一个基本思想就是设法将问题化归为熟悉或已经解决的问题 .利用对应原理可以把有些排列组合题转化为另一类容易求解的排列组合题 .以下略举几例 ,说明对应原理在解题中的应用 .例 1　圆上有 1 0个不同的点 ,由这些点连成的弦在圆内最多能有几个交点 ?分析与解　当任两条直线有交点且交点不重合时为最多 ,此时圆内任意一个交点 ,都是由圆上 4个点唯一确定 ,即每个交点都对应着一个四个点的组合 ,故最多有Ｃ410 =2 1 0个交点 .例 2　已知平面内水平方向有四条平行直线 ,竖直方向有三条平行直线 ,它们可以组成的平行四边形的个数是多…     

抽象函数综合题的求解策略

高三数学复习中，一类没有给定解析式的函数综合题时常困惑着不少师生．缺乏求解这类问题的思维策略是引起困惑的主要原因．本文介绍处理这类问题的十种解题策略．策略1利用函数的单调性，等价转化．例1已知函数f（x）在定义域（－∞，1]上是减函数，问是否存在实数k，使f（k－sinx）≥f（k2－sin2x）对一切实数工恒成立？并说明理由．分析由单调性，脱掉抽象的函数记号．原不等式等价于k－sinx≤k2－sin2≤1，它又等价于由函数的最值性，不等式①对一切ｘ∈R恒成立的充要条件是k2≤（1＋sin2x）min＝1不等式②对一切x∈R恒成立的充要条件…     

构点巧解函数题

所谓“构点”解题，即通过取函数图象上的点，把一个一般性的函数问题转化成图象上个别点间的关系问题，然后加以解决．构点解题可以化一般为特殊，且易懂易操作，简洁明快，当一个问题不易直接入手，或为了快速求解时，通常可考虑构点解题．当然，在取点时既要考虑所取的点具有一般性，又要注意其特殊性（如最值点、曲线交点、边界点等）．下面分类予以例示．1求函数值例1设，则（1993年全国高考题）解令f-1（0）＝a，则（0，a）是y＝f－1（x）图象上一点，所以点（a，0）在y＝f（x）的图象上，即4a－2a＋1＝0，解得a＝1，即f－1（0）＝1．…     

面对"节外生枝",你准备好了吗?

[教学案情] 下面是高二的一位教师执教"椭圆复习课"中的一个教学片段. (教师在多媒体中出示如下的例题:当m为何值时,直线l:y=x+m与椭圆x2+2y2=2,①有一个交点?②有两个交点?③没有交点?) 师:请同学们思考一下,该怎样判断?     

例谈恒成立问题的求解方法

探索性数学问题中有这样一类问题：含有参变量的数学关系式在某种限制条件下恒成立，要求参变量的取值范围．本文介绍解决这类问题的方法与若干技巧．1用特殊值探路，先猜后证复杂的数列问题，其条件与结论的关系往往不很明朗，直接探求难以见效，于是，我们将问题退到特殊情形中来，通过特殊的引路，探索、发现规律，制定解题方案．例1设a1＝1，a2＝4，当n≥3时，an－4an-1＋4an－2＝0，是否存在等差数列{bn}，使an＝b1对一切自然数n都成立？并证明你的结论．解∵an－2an-1＝2（an-1－1－2an-2），是首项为a2－2a1＝2、公比为2的等比数列，…     

设而不求的若干途径

平面解析几何是在平面坐标系的基础上,借助代数方法来研究几何问题的一门数学学科,因此代数运算便不可避免地出现在解析几何的解题过程之中,若方法不当,就会使解题过程繁琐冗长,直接影响解题速度和结果的准确性．如何避免非必要的运算,简化解题过程呢？在解析几何中用设而不求的方法可简化运算．１　应用曲线和方程的关系例１　求经过两条曲线ｘ２＋ｙ２＋３ｘ－ｙ＝０和３ｘ２＋３ｙ２＋２ｘ＋ｙ＝０交点的直线的方程．分析　一般的解法是求出两曲线的交点坐标,再写出所求的直线方程．显然运算较繁,若应用设而不求的思想有如下解法…     

由一道解析几何例题的解答所想到的

现行高中课本《平面解析几何》（必修）P38页中有这样一道例题：已知两条直线：l_1：x＋my＋b＝0，l_2：（m－2）x＋3y＋2m＝0．当m为何值时，l_1与l_2（i）相交；（ii）平行；（iii）重合．课本给出的解题过程是：解将两直线的方程组成方程组：解得m＝3．（i）当m≠3时，方程组有唯一解，l_1与l_2相交．（ii）当m＝－1时，方程组无解，l_1与l_2平行．（iii）当m＝3时，方程组有无穷多解，l_1与l_2重合．其实，当m＝2或m＝0时，这两条直线也相交，这正是及的分母为0的倩况．因此这类问题还应注意对分母为零的情况的讨论．下面，我们不妨再…     

对求一类函数值域常见错误的评析

在求y=的值域时，有一种特殊情形很易造成解答错误，这就是当有解时的情形，变即点P（m，n）在单位圆上时．错解1田原函数得很值域：y∈R．错解2由方能2式8锗解3接解2中Q一4（、了y—1）’＞0，＆yER（y4Jx）．综合（l）、（2）得原圄数的值图为：yER巨y一、了．利用数形结合可将问题转化为来革应圆＿－。＿＿＿＿＿．IJM、、。＿＿＿＿上的初点与定点P（一步，斗上）连线科率的＿＿＿＿＿＿．IJ3、＿＿＿＿，＿取值范围．因P（一会，并广）在革应圆上，故＿。。＿＿、＿＿＿．IJi、＿＿＿＿＿＿函数值除过点P（一台，并广）的圆的…     

纠正对反函数图象的一种错误认识

如果两个函数互为反函数，那么这两个函数的图象关于直线ｙ＝ｘ对称．因此，一些人认为若这两个函数的图象有交点，则交点必在直线ｙ＝ｘ上，在一些影响较广的中学数学辅导资料上甚至做为一条“性质”列出并用于解题，如［１］．实际上这是一种错误认识．产生错误的原因是...     

解数学题要"眼观八方"

“借我借我一双慧眼吧 ,让我把这世界看得清清楚楚、明明白白、真真切切…”,动人的歌声 ,让每个人都深深地感到 ,具有敏锐的观察力在现实生活中是多么地重要 .同样地 ,敏锐的观察力在数学解题中也是不可或缺的 ,可以这样说 ,成功的解题需要“眼观八方”.1　观“动静”解题时需从不断变化的运动过程中 ,观察出相对静止不变的规律 ,从而方能“动中求静 ,以静制动”,导致解题的圆满成功 .例 1　已知圆 C:( x - 1 ) 2 ( y - 2 ) 2 =2 5,直线 l:( 2 m 1 ) x ( m 1 ) y =7m 4.( 1 )求证 :不论 m取什么值时 ,直线 l与圆C恒相交 .( 2 )…     

构造单位圆求函数的最值

构造单位圆求函数的最值黄显甫（深圳大学附中５１８０６０）函数最值求法固然很多，但解法灵活、技巧性强．构造法是其中的一种很重要的数学方法，在高考和高中数学竞赛中屡有出现．但构造单位圆求函数的最值并不多见，如果我们在解题中抓住问题的结构特征，认真分析、仔...     

构造直线或圆的方程巧解数学竞赛题

<正>构造法是数学解题中经常用到的一种技巧性较高的方法,也是解决数学问题的一种重要方法.当我们解题的常规思路受阻或通法运用不畅时,可结合题设条件,把题设中的相关命题转化为一个等价的新命题,往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果.本文例说构造直线或圆的方程巧解高中数学竞赛试题,供同学们学习参考.     

从一道高三模拟题谈函数曲线与切线的交点个数

<正>初中平面几何中用交点个数定义圆的切线,但直线与曲线交点的个数不是切线的本质,不适用于一般曲线.我们熟知圆锥曲线的切线与曲线只有一个交点,但切线与曲线不一定只有一个交点,如函数y=x³-3x与切线y=2有两个交点,函数y=sinx与切线y=1有无数个交点.     

淡解析几何题解的存在性误判种种

某些解析几何题,题设条件之间蕴含逻辑矛盾,应是无解的,可是我们运用一些“常规”的解题方法,往往导出有解的结论;反之,本来有解的问题,却作出无解的判断。诸如此类的错误,不仅在学生作业中出现,而且散见于书刊一些作者的文章之中,因此,本文不得不为之一说。一、死套解题方法、技巧造成误判。例1 求过直线x+2y+1=0与圆x~2+y~2-2x-4y+1=0的交点,且过点(1,-2)的圆的方程。     

再解二次曲线的相交的问题

文[1]中两位老师利用二次方程的实根分布来解决这类问题．然而我们发现，运用三角代换，转化为求函数值域是一种良策，本文后一例更能说明这一点．为便于大家比较，前两例进原文例．例1已知集合M求m的取值范围．可令中,得则上面关于θ的方程有实解时，求m的取值范围．从方程（1）中“分离”出参数m得m，这样求m的范围转化为农函数2cosθ的值域．时，m取最大值m取小值例2当R在什么范围取值时，动圆A：（x－1）2＋y2＝R2与椭圆x2＋4y2＝4总有公共点？照由x2＋4y2＝4可得例3当实数a在什么范围内取值时，曲有公共点？x＝2tg2θ，将此又代入a＝…     

高考题的破解之圆

<正>圆是优美的图形,倍受命题者和解题者的青睐.在处理某些数学问题时,我们可以从问题的结构特征入手,充分挖掘出问题的圆背景,再通过构圆,建立起问题的圆模型,利用圆的性质,使问题获解.兹举几道2018年高考题,以飨读者.例1 (2018年高考北京理科数学第7题)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x-my-2=0的距离,当θ,m变化时,     

例析与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题,是有一定的解题规律和技巧可遵循的.在分析、解决时,要特别注意灵活运用转化思想和数形结合的方法,使问题得以巧妙解决.题型一、过圆内某定点的直线被圆截得的弦长的最值问题由平几易知,弦最短过圆心和定点的直线垂直于弦;弦最长弦通过圆心.     

求函数值域（最值）的几种转化思路

求函数值域（最值）的几种转化思路１３２２２７吉林省永吉三中苏万春数学解题常要通过观察题设条件．发掘问题隐含的背景，巧妙运用解析几何的知识和方法，运用数形转化，使问题获解．本文仅以求函数值域（最值）为例，说明几种常用的转化思路．１转化为定比分点例１求函...     

斜率性质的灵活应用

直线的斜率是反映直线方向的一个非常重要的是，它的有关性质，在解题实际中有广泛的应用．例1（1997年全国高考题）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点．（Ⅰ）证明点C、D和原点O在同一条直线上；（Ⅱ）当BC平行于X输时，求点A的坐标．分析（Ⅰ）只要证kCO=kDO，通过A、B两点坐标作侨梁．（Ⅱ）略．对多点共线问题，运用斜率，建立关系式，这是解题的常规方法，应用广泛．对形如y二二业结构问题，则问造萧军来工l一工2解．例2（1997＄全国高警题）…     

例析与圆有关的最值问题

<正>与圆有关的最值问题,是有一定的解题规律和技巧可遵循的.在分析、解决时,要特别注意灵活运用转化思想和数形结合的方法,使问题得以巧妙解决.题型一、过圆内某定点的直线被圆截得的弦长的最值问题由平几易知,弦最短过圆心和定点的直线垂直于弦;弦最长弦通过圆心.例1(2008年高考湖北理科第9题)过点