Zur Stabilität der dünnen Kegelschale

Zusammenfassung Die obigen Ausführungen über die Stabilität der dünnwandigen Kreiskegelschale stellen eine Ergänzung und Erweiterung einer früheren Arbeit des Verfassers dar, in der die Ausbeulgrenze für gleichförmig verteilte Auflast und für konstanten Außendruck ermittelt worden ist. Nach einer kurzen Zusammenstellung der früheren Ergebnisse wird die Stabilität der auf Torsion beanspruchten Kegelschale betrachtet. Zur Aufstellung der Beulbedingung wird das Energiekriterium verwendet. Da eine exakte Lösung des sich ergebenden Variationsproblems nicht durchführbar ist, wird zur angenäherten Lösung das Ritzsche Verfahren benutzt. Der dabei gewählte Ansatz wird beim übergang zum Zylinder mit der exakten Lösung identisch. Damit ist in der Regel eine gute Genauigkeit der Lösung gewährleistet, da praktisch auf Torsion beanspruchte Kegelschalen fast stets in einer Form vorkommen, die sich nur wenig von der einer Zylinderschale unterscheidet. Die sich ergebende Beulbedingung kann durch Vernachlässigung unwesentlicher Glieder erheblich vereinfacht werden, so daß ihre zahlenmäßige Auswertung leicht möglich ist und ein übersichtliches Kurvennetz ergibt. Dieses Kurvennetz kann schließlich mit hinreichender Genauigkeit durch eine recht einfache Näherungsformel wiedergegeben werden.     

Elastica type dynamic stability analysis of viscoelastic columns

Summary The dynamic stability analysis of a uniform, homogeneous, simply supported column, subjected to a periodic axial force, is presented. The viscoelastic behaviour is given in terms of the Boltzmann superposition principle. The equation of motion, derived within theelastica and including variations in the column's length, is in the form of a nonlinear integro-differential equation. The stability analysis of this equation is carried out within the Lyapunov exponents concept, which is also used together with the Fourier power spectrum, in order to examine the possibility of a chaotic situation.

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Dynamische Stabilitätsanalyse vom Elastica-Typ für viskoelastische Säulen

Übersicht Im Rahmen der Elastica-Annahmen wird eine dynamische Stabilitätsanalyse einer gleichmäßigen, homogenen, einfach gestützten Säule für periodische axiale Kraftanregung durchgeführt. Das viskoelastische Verhalten des Werkstoffes wird nach dem Boltzmann'schen Superpositionsprinzip modelliert. Die Bewegungsgleichung berücksichtigt die Längenänderung der Säule und wird in integro-differentialer Form aufgestellt. Ihre Störungsanalyse beruht auf dem Lyapunov'schen Exponenten-Konzept. Das Spektrum der Fourier'schen Potenzen wird zur Überprüfung der Möglichkeit einer chaotischen Lösung verwendet.

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This research was jointly supported by the French-Israeli Scientific Cooperation Exchange and by the Ben-Gurion University of the Negev. They are greatefully acknowledged.     

Damped response of thin plates to step loads including geometric nonlinearity

Summary This paper presents an approximate solution of the large deflection damped response of thin isotropic circular and rectangular plates subjected to step loads. Simply-supported and clamped plates with movable and immovable inplane conditions are considered. Von Kármán-type equations are employed in terms of the transverse deflection and the stress function. The deflection is approximated by a one-term spatial shape function and Galerkin's method is used to obtain the differential equation for the central deflection. This equation is solved by the Newmark- scheme. Comparison with available results has demonstrated that satisfactory engineering accuracy is achieved by the present method.

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Die Antwort dünner Platten auf sprungförmige Lasten bei geometrischer Nichtlinearität und Dämpfung

Übersicht Eine Näherungslösung für große Durchsenkungen von dünnen, isotropen Kreisund Rechteckplatten wird hier beschrieben, wobei die Randbedingungen einer gelenkigen bzw. festen Lagerung mit Beweglichkeit oder Fesselung in der Plattenebene behandelt werden. Ausgedrückt durch die Durchsenkung und die Spannungsfunktion ergeben sich Grundgleichungen des von Kármán-Typs. Die Durchsenkung wird als Produktansatz einer Biegeform und Zeitfunktion approximiert und Galerkins Methode angewandt, um eine gewöhnliche Differentialgleichung für die Durchsenkung der Plattenmitte zu erhalten. Diese Gleichung wird mit Hilfe von Newmarks -Methode gelöst. Vergleiche mit zugänglichen Ergebnissen zeigen, daß mit hiesigem Vorgehen eine ingenieurmäßig zufriedenstellende Genauigkeit erzielt wird.

     

Plane elastic solution for the second mixed boundary value problem and its application

Summary A solution is obtained for the second mixed boundary value problem with two boundaries loaded with external forces, and the other two boundaries simply supported. A rational mapping function formed as a sum of fractional expressions and complex stress functions is used for the analysis. A closed form solution can be obtained under uniform tensile and shearing loadings. These solutions are applicable to crack problems in linear elastic fracture mechanics. In order to illustrate the general solution, a double connected region is considered, in which interaction between a square hole with a crack extension and another crack is investigated. Stress distributions and stress intensity factors are obtained.

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Ebene elastinche Lösung des zweiten gemischten Randwertproblems und ihre Anwendung

Übersicht Die Lösung des zweiten gemischten Randwertproblems der ebenen Elastizität mit zwei kraftbeanspruchten und zwei gestützten Rändern wird dargestellt. Für die Analyse wird eine rationale Abbildung verwendet, die als Summe partieller Lösungen aus komplexen Spannungsfunktionen aufgebaut ist. Für gleichmäßige Zug- und Schubbeanspruchungen kann die Lösung in geschlossener Form dargestellt werden und ist verwendbar in Rißaufgaben der linear elastischen Bruchmechanik. Als Illustration der allgemeinen Lösung dient ein verzweigter Bereich der gegenseitigen Einwirkung einer quadratischen Öffnung mit Seitenkerbe und eines Risses. Die Spannungsverteilungen und Spannungsintensitäten werden dabei berechnet.

     

Pulsierende Druckströmung hochpolymerer Schmelzen im kreisförmigen Kanal

Zusammenfassung Es werden theoretische und experimentelle Untersuchungen pulsierender Strömungen viskoelastischer Flüssigkeiten in einem kreisförmigen Kanal durchgeführt. Unter Voraussetzung einer eindimensionalen, isothermen und vollentwickelten Strömung in Anwesenheit sinusförmiger Druckgradientenschwankungen wird für die rheologische Zustandsgleichung von Bird-Carreau eine asymptotische Lösung erzielt. Die Ergebnisse weisen darauf hin, daß sowohl die relative Amplitude der Ausstoßschwankungen als auch die relative Änderung des mittleren Ausstoßes sich in einer allgemeinen Form darstellen läßt, die bezüglich der Temperatur und der relativen Amplitude der Druckgradientenschwankungen invariant ist. Die theoretischen Ergebnisse werden mit experimentellen Daten für ein Polyethylen niederer Dichte verglichen. Dabei wird eine gute Übereinstimmung der Theorie mit dem Experiment festgestellt.

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Theoretical and experimental studies were carried out on the pulsating flow of viscoelastic liquids through a circular channel. By assuming the flow to be one-dimensional, isothermal, and fully developed and the Bird-Carreau constitutive equation to be applicable, an asymptotic solution was found. The results obtained indicate that both the relative amplitude of pulsation of the output and the relative change in the average output may be presented in a generalized form that is independent of the relative amplitude of the pressure pulsations and temperature. The theoretical results were verified experimentally for a low-density polyethylene. Good agreement was found between the theory and the experimental data.

     

Analytical solution for transient response of counter flow heat exchanger with finite wall capacitance

The Laplace Transform Method is applied to solve the transient response of the counter flow heat exchanger with finite wall capacitance problem. The mathematical model is based on three local energy balance equations which are solved assuming that only the fluid 1 inlet condition is perturbed (step change). As any counter flow problem could be reduced to an adequate integral equation, collocation method is used for solving such equation in the presented case. Results are given for the outlet temperatures of both fluids and temperature distributions for both fluids and the wall as an explicit analytical formula.

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Analytische Lösung für das transiente Verhalten eines Gegenstrom-Wärmetauschers mit endlicher Wärmekapazität der Wand

Zusammenfassung Die Methode der Laplace-Transformation wird eingesetzt, um das Übertragungsverhalten des Gegenstrom-Wärmetauschers mit endlicher Wärmekapazität der Wand zu lösen. Das mathematische Modell fußt auf drei lokalen Energiebilanzgleichungen, welche unter der Voraussetzung gelöst werden, daß nur am Eintritt des Fluids 1 eine Störung (Sprung) auftritt. Da sich jedes Gegenstrom-Problem auf eine Integralgleichung zurückführen läßt, wird die Kollokationsmethode zur Lösung einer solchen, im vorliegenden Problem auftretenden Gleichung herangezogen. Die Ergebnisse in Form expliziter analytischer Ausdrücke betreffen die Austrittstemperaturen beider Fluide und die Wandtemperatur.

     

Torsion des unendlichen Halbraumes durch einen kreisförmigen Stempel

Übersicht Es wird ein numerisches Berechnungsverfahren für die Einleitung des Torsionsmomentes im unendlichen Halbraum durch einen kreisringförmigen Stempel, der fest mit dem Halbraum verbunden ist, entwickelt. Das gemischte Randwertproblem wird mit Hilfe geeigneter Singularitäten auf eine Fredholmsche Integralgleichung zurückgeführt und numerisch gelöst. Die Lösung der Integralgleichung gibt direkt die gesuchten Schubspannungen in der Kontaktfläche an. An Testreohnungen wird die Brauchbarkeit der Methode aufgezeigt.

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Torsion of an elastic half-space by a flat annular stamp

Summary The problem considered here is that of an elastic isotropic half-space twisted by the rotation of a flat annular stamp to which it is joined. Using singularities the mixed boundary value problem is reduced by means of Betti's reciprocical theorem into a Fredholm integral equation for the unknown shearing stresses in the contact region. Some numerical results are presented and compared with published ones.

     

Numerical solutions of some unsteady laminar flows of viscoelastic fluids in concentric annuli with axially moving boundaries

Summary The numerical solution of the steady and nonsteady laminar, isothermal flow of the 6-constant Oldroyd fluid in concentric annuli with axially moving boundaries, is given. The steady flow problem involves the solution of a non-linear ordinary differential equation. In the non-steady flow problem, a modified finite difference method, given byTownsend, is used. It is shown that the steady flow solution obtained directly and the solution obtained from the start-up flow problem agree with each other, thus showing the validity of the finite difference method. In various flow situations, start-up flow, flow decay, decay of a disturbance in the pressure, the effect of superimposed oscillations in the pressure gradient and in the axial velocity of the boundaries on the mean state of flow, are illustrated.

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Zusammenfassung Es werden numerische Lösungen der stationären und instationären laminaren, isothermen Strömung einer Oldroyd-Flüssigkeit mit sechs Konstanten in konzentrischen Ringspalten mit axial bewegten Wänden angegeben. Das stationäre Strömungsproblem erfordert die Lösung einer nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichung. Beim instationären Problem wird in Anlehnung anTownsend eine modifizierte Finite-Differenzen-Methode angewandt. Es wird gezeigt, daß die direkt erhaltenen Lösungen des stationären Problems mit den numerisch erhaltenen Lösungen des instationären Problems übereinstimmen, wodurch die Anwendbarkeit dieser Methode nachgewiesen ist. Für verschiedene Strömungssituationen wie Anlauf- und Abklingströmung, Abklingen nach einer Druckströmung sowie der Einwirkung von überlagerten Schwingungen im Druckgradienten und in der Axialbewegung der Wände auf den mittleren Strömungszustand werden die resultierenden Ergebnisse veranschaulicht.

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With 15 figures     

Der Spannungszustand in der rotierenden spröden Scheibe

Zusammfassung Es wird mit dem neuen nichtlinearen Elastizitätsgesetz spröder Körper unter der Annahme, daß Lochrand und Außenrand der rotierenden Scheibe kräftefrei sind, die Differentialgleichung des Problems aufgestellt und durch eine Näherung gelöst. Verschiebung und Spannungen werden als Funktion des Radius berechnet sowie eine einfache Formel für die Abhängigkeit der am Lochrand auftretenden Tangentialspannung von der Umlaufsgeschwindigkeit angegeben. Die Bachsche Vermutung, daß die Sprengfestigkeit praktisch gleich der Zugfestigkeit ist, wird bestätigt. Die Umfangsgeschwindigkeit, bei der der Bruch erfolgt, berechnet sich nach (47).Wenn auch die entwickelte Näherungsmethode den Bach-Grüblerschen Gegensatz erklärt, so ist trotzdem zu fordern, daß sie einer Prüfung durch den Versuch unterzogen wird, da erst nach Messung der Empfindlichkeiten der in Frage kommenden Werkstoffe die Frage entschieden werden kann, ob eine Erhöhung der zulässigen Geschwindigkeit sich mit den Fragen der Betriebssicherheit in Einklang bringen läßt.Zum Schluß danke ich auch an dieser Stelle Herrn Prof.Prandtl und der Notgemeinschaft der deutschen Wissenschaft für die Möglichkeit, in dem Göttinger Institut für angewandte Mechanik arbeiten zu dürfen.     

Einfaches Gerät zur Messung sehr kleiner Druckdifferenzen

A quadratic plate moves with very small clearance in an annular duct with a width of 1 cm². This plate is connected to a turnable spindle in the axis of the duct and can move with it against a thin spiral spring. On both sides of this plate pressures are applied, the difference of which is to be measured. Its amount can be read with a pointer on a scale. In measuring a small loss of gas will occur through the narrow slit between plate and annular duct. If this loss is not admissable, it can be avoided by using two equal instruments, of which one works as zero-instrument in a kind of compensation method. The loss of the second instrument is supplied from an additional source of gas. The instrument permits measurements with an accuracy of fractions of thousandth of a mm water column.

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Einfaches Gerät zur Messung sehr kleiner Druckdifferenzen

Zusammenfassung Eine quadratische Platte bewegt sich mit seht geringem Spiel in einem ringförmigen Kanal von l cm² Querschnitt, sie ist mit einer drehbaren Welle verbunden, die in der Achse des Kanals liegt und kann sich mit dieser gegen eine dünne Spiralfeder bewegen. Auf die beiden Seiten dieser Platte wirkt die zu messende Druckdifferenz und ihre Größe kann mit Hilfe eines Zeigers abgelesen werden. Die Messung ist mit einer geringen Menge überströmenden Gases durch den Spalt zwischen Platte und Ringkanal verbunden. Ist diese Überströmung nicht zulässig, so kann man sie durch Verwenden von zwei Geräten gleicher Art vermeiden, von denen das eine als Nullinstrument nach einer Art von Kompensationsverfahren arbeitet und der Gasverlust des anderen von einer zusätzlichen Gasquelle geliefert wird. Das Gerät erlaubt Messungen mit einer Genauigkeit von Bruchteilen eines Tausendstel mm Wassersäule.

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Prof. Dr.-Ing. U. Grigull zum 60. Geburtstag.     

Theory of incremental motion in a body with initial elasto-plastic deformation

A theory of incremental deformation is developed for a body with initial stress and strain, valid for elastic and plastic pre-deformation. The superimposed motion is assumed hyperelastic. We present the constitutive equation, relating a measure of incremental stress to incremental strain, and the momentum equations referred to the prestrained initial configuration of the body. The latter is linearized with respect to the displacement field of the superimposed motion. For general nonlinear pre-deformation the constitutive theory of an anisotropic body may be based on the assumed strain energy that is an isotropic function of the Green strain tensor and a number of material directors of unit length. For bodies with elastoplastic prestrain and prestress, an elastic constitutive relation that depends on the plastic pre-deformation and the deformation from a relaxed state is postulated. Imposing the requirements of invariance with respect to rotations of the plastic pre-deformation and using the objectivity rule, we show that the constitutive function of stress must be an isotropic function of its arguments. This leads to a new theory of acoustoelasticity for an elasto-plastically prestrained material with anisotropic natural state by incorporating materially fixed unit directors as independent variables in the constitutive equations.

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Zusammenfassung Es wird eine Theorie der inkrementellen Deformation für einen Körper mit Vorspannung und Vorverformung entwickelt, welche sowohl für elastische wie plastische Vorverformung Gültigkeit hat. Die überlagerte Bewegung wird als hyperelastisch angenommen. Wir leiten die Materialgleichung her, welche eine inkrementelle Spannung mit einer inkrementellen Verzerrung verknüpft und geben die Impulsgleichung in einer auf die anfängliche Verformung bezogenen Konfiguration. Diese Impulsgleichung wird bezüglich des überlagerten Verschiebungsfeldes linearisiert. Für eine allgemeine nichtlineare Vorverformung kann die Materialtheorie eines anisotropen Körpers auf der Basis einer postulierten Verzerrungsenergie gegründet werden, welche eine isotrope Funktion des Greenschen Verzerrungstensors und einer Zahl materieller Direktoren mit Länge 1 darstellt. Für elasto-plastisch vorgespannte und vorverformte Körper wird eine elastische Materialgleichung postuliert, die von der plastischen Vorverformung sowie der Deformation aus einer relaxierten Konfiguration abhängt. Es wird gezeigt, daß die Materialgleichung für den Spannungstensor eine isotrope Funktion ihrer Argumente sein muß, wenn man als übergeordnetes Prinzip das Objektivitätsprinzip fordert und Invarianz des Spannungsfunktionals gegenüber Rotationen der plastischen Vordeformation verlangt. Durch Einführen von materiellen Direktoren der Einheitslänge als unabhängige Konstitutivvariablen erhält man hieraus eine neue Theorie der Akusteolastizität für elasto-plastisch vorverformte Materialien mit anisotropen natürlichen Referenzzuständen.

     

Stability of a water tower

Summary The stability of a water tower, consisting of a spherical shell rigidly attached to the top of a vertical column, is analyzed. At first, it is shown on a simple conceptual model that problems of this type are imperfection insensitive; thus, the first bifurcation load from the straight state of equilibrium could be considered the buckling load. This is followed by the analysis of the water tower problem taking into consideration the flexibility of the column, the own weight of the structure, the weight of the liquid, and the rotational stiffness of the soil base. Although the differential equation of the resulting eigenvalue problem has a variable coefficient, the problem is solved exactly in closed form. To simplify the utilization of the obtained results, they are presented graphically for a range of water tower and soil stiffness parameters. Model tests were conducted that confirmed the analytical findings. However, nearP _cr , at the smallest disturbance the model underwent large oscillatory motions. This finding suggests that, for water tower design, only a fraction ofP _cr should be used.

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Stabilität eines Wasserturms

Übersicht Untersucht wird die Stabilität eines Wasserturms aus einer senkrechten Säule mit kugelförmigem Behälter an der Spitze. Zunächst wird anhand einer einfachen Modellabstraktion nachgewiesen, daß Probleme dieser Art unempfindlich sind gegen Imperfektionen; deshalb kann die erste aus dem geraden Gleichgewichtszustand führende Verzweigungslast als Knicklast angesehen werden. Es schließt sich die Untersuchung des Wasserturms mit Nachgiebigkeit und Eigengewicht der Säule, mit Gewicht von Behälter und Inhalt sowie Drehsteifigkeit des Fundaments an. Die Lösung des Eigenwertproblems, dessen Differentialgleichung einen variablen Koeffizienten besitzt, läßt sich geschlossen angeben. Zur bequemen Anwendung werden die Ergebnisse für weite Parameterberciche von Turm und Fundament graphisch dargestellt. Durchgeführte Modellversuche unterstützen die analytischen Ergebnisse. Allerdings vollführte das Modell in der Nähe der kritischen LastP _cr selbst bei kleinsten Störungen große Schwingbewegungen. Deshalb sollte bei einer Auslegung nur ein Bruchteil vonP _cr zugrunde gelegt werden.

     

Nonlinear transient temperature field in a hexagon

Summary An approximate direct method for solving nonlinear transient heat conduction problem in the hexagon, based on Gauss' principle of least constraint is presented. The problem is reduced to the algebraic minimization of a quadratic form with respect to the physical components of the temporal and spatial changes of temperature field. For various values of specific heat and thermal conductivity temperature coefficients the comparison of approximate solutions with the numerical ones is performed and an agreement is found.

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Übersicht Es wird eine auf dem Gaußschen Prinzip des kleinsten Zwanges gegründete direkte Näherungsmethode für die Lösung nichtlinearer instationärer Wärmeleitungsprobleme dargestellt. Das Problem wird auf die algebraische Minimisation einer quadratischen Form bezüglich der physikalischen Parameter der Zeit- und Raumvariablen des Temperaturfeldes zurückgeführt. Die Lösung wird für verschiedene Werte der Temperaturkoeffizienten, der spezifischen Wärmekapazität und der Wärmeleitfähigkeit mit der numerischen Lösung verglichen, wobei eine gute Übereinstimmung erreicht wird.

     

Instability of the vibrations of a rotating thin disk due to an additional support

Summary Vibrations of a rotating thin disk, such as a floppy disk with a clamped inner circle, a free outer periphery and an elastic support at one point are analyzed with due consideration of the centrifugal force. A solution of the equation of motion is described in the form of a series by orthogonal eigenfunctions of a non-rotating disk with the same boundary conditions, and a characteristic equation is introduced by the existence condition of the coefficients. The relation between natural frequencies and angular velocity, and regions of instability of free vibrations are shown.

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Schwingungsinstabilität rotierender dünner Scheiben mit zusätzlicher Stützung

Übersicht Die Schwingungen von rotierenden dünnen Schieben, die am Innenrand fest eingespannt sind, aber an einer Stelle des freien Außenrandes elastisch gestützt sind, werden unter Berücksichtigung der Flickraft analysiert. Hier wird eine Lösung der Bewegungsgleichung durch eine Reihe mit den orthogonalen Eigenformen einer gleichgelagerten nicht rotierenden Scheibe beschrieben, und es wird aus der Existenzbedingung der Koeffizienten eine charakteristische Gleichung eingeführt. Die Beziehung zwischen den Eigenfrequenzen und der Drehzahl sowie die Instabilitätsbereiche der freien Schwingungen werden dargestellt.

     

The effect of Brownian motion for a suspension of spheres

Summary A system consisting of an incompressible Newtonian fluid in which solid particles of spherical shape are suspended is investiged. Employing irreducibleCartesian tensors an explicit solution to the Stokes problem for a sphere in an arbitrary flow field is obtained, valid even under conditions that the sphere is so small that the customary no-slip assumption need no longer be valid (Richardson). Since in that case Brownian motion cannot be neglected the effect of thermal agitation is studied. While no influence is found for a Couette flow the results for Poiseuille flow are markedly effected: In a vertical tube flow a nonuniform radial distribution of spheres results while for horizontal Poiseuille flow the effective viscosity becomes dependent upon the sphere radius. It increases with increasing sphere radius and is always larger than the corresponding result for truly neutrally buoyant spheres. These results are obtained from the equations governing the mechanical behavior of such a suspension, equations which are derived by means of ensemble averages. The advantage of these averages over the volume averages is demonstrated.

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Zusammenfassung Ein System, bestehend aus einer inkompressiblen newtonschen Flüssigkeit mit darin suspendierten starren kugelförmigen Teilchen wird untersucht. Mit Hilfe irreduzibler kartesischer Tensoren erhält man eine explizite Lösung des Stokesschen Problems einer Kugel in einem beliebigen Strömungsfeld. Diese Lösung behält ihre Gültigkeit sogar dann, wenn die Kugeln so klein sind, daß die Haftbedingung der Flüssigkeit nicht länger gültig zu sein braucht (Richardson). Da dann die Brownsche Bewegung nicht länger vernach-lässigt werden kann, wird der Einfluß der thermischen Bewegung untersucht. Während kein Einfluß in einer Couette-Strömung feststellbar ist, ändern sich die Resultate für eine Poiseuille-Strömung drastisch: In einer vertikalen Kapillarströmung stellt sich eine ungleichförmige radiale Verteilung von Teilchen ein, und in einer horizontalen Poiseuille-Strömung wird die scheinbare Viskosität eine Funktion des Kugelradius. Sie nimmt nicht nur mit größer werdendem Radius zu, sondern ist auch immer größer als im Fall auftriebloser Kugeln.Diese Resultate werden über die Bewegungsgleichungen einer Kugelsuspension gewonnen, wobei die Gleichungen mit Hilfe von Ensemble-Mittelwerten hergeleitet werden. Der Vorteil solcher Mittelwerte über Volumenmittelwerte wird aufgezeigt.

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With 2 figures     

Application of large elastic deformation theory to the calculation of liquid drop shapes of some polymers

Summary Considering the analogy of a liquid surface to a stretched membrane, the theory of large elastic deformations is used to calculate the deformed shapes of sessile and pendent liquid drops of some polymers. In particular, the liquid drops are treated as highly deformable liquid-filled membranes that follow a neo-Hookean constitutive equation. Since, with the advent of sophisticated pressure transducers, it is easier to measure pressure accurately than to determine the curvature of the liquid drop geometry, the problem is formulated in terms of the pressure prescribed at the tip of the liquid drop with a varying hydrostatic pressure. The governing equations consisting of a non-linear ordinary differential equation and aVolterra type integral equation are solved numerically on a digital computer.Based on the solution of the governing equations, a procedure to estimate the surface tension of a polymer from the shape factor versus pressure curves is illustrated. Also, by increasing the pressure and by balancing the vertical component of the surface tension against the weight of a pendent liquid drop the size of a drop separated from a liquid column is predicted.

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Zusammenfassung Mit Rücksicht auf die Analogie zwischen einer flüssigen Oberfläche und einer gespannten Membrane wird die Theorie der großen elastischen Deformationen angewendet, um die deformierte Gestalt von sitzenden und hängenden flüssigen Tropfen einiger Polymere zu kalkulieren. Im besonderen werden die flüssigen Tropfen als sehr deformierbare liquid gefüllte Membranen behandelt, die einer neo-Hookeschen konstitutiven Gleichung folgen. Das Problem ist so formuliert, daß der Druck an der Spitze eines flüssigen Tropfens als ein veränderlicher hydrostatischer Druck ausgedrückt wird, weil mit den neuen hochentwickelten Druckvermittlern es leichter ist, den Druck direkt zu messen, als die Krümmung eines flüssigen Tropfens von seiner Geometrie zu bestimmen. Die Gleichungen, von denen die Geometrie eines Tropfens bestimmt werden, bestehen aus einer nichtlinearen Differentialgleichung und einerVolterra-Integralgleichung. Diese Gleichungen werden mit Hilfe eines Computers gelöst.Aufgrund der Lösung dieser Gleichungen wird ein Verfahren entwickelt, das die Bestimmung der Oberflächenspannung eines Polymers von dem Formfaktor Gegendruckkurven ermöglicht. Die Größe eines von der flüssigen Säule getrennten Tropfens kann mit Hilfe von erhöhtem Druck durch Kräfteausgleich vorherbestimmt werden.

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This work is an extension of the work performed under the National Science Foundation Grant No. GK-4842.

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With 8 figures     

Rheological simulation of synovial fluid by a synthetic macromolecular solution

Summary The flow characteristics of a series of potential synthetic synovial fluids have been examined. These were mainly solutions of polyvinyl pyrrolidone in water. The techniques leading to the production of a fluid with flow properties very similar to normal synovial are described.The apparent shear elasticity and relaxation time data of the synthetic fluid as compared to normal fluid are discussed in terms of the relative importance of intermolecular entanglement and intermolecular complexing in the 2 fluids.

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Zusammenfassung Die Synovialflüssigkeit von normalen menschlichen Gelenken zeigt ein charakteristisches Theologisches Verhalten, das stark verändert ist, wenn das Gelenk von rheumatischer Arthritis befallen ist. Um die Möglichkeit der Substitution mit einer synthetischen Gelenkflüssigkeit im krankhaften Gelenk zu bewerten, mit dem Ziel die Symptome zu erleichtern und den Prozeß der Gelenkzerstörung zu verzögern, wurde besonders Wert darauf gelegt, eine Polymerlösung zu finden mit ähnlichen Theologischen Eigenschaften wie eine normale Synovialflüssigkeit. Es wird angenommen, daß das besondere rheologische Verhalten einer normalen Synovialflüssigkeit (hohe Viskosität und Elastizität, ausgeprägtes nicht-Newtonsches Verhalten und Thixotropie) von Bedeutung für das Schmieren von Gelenken ist, obwohl ihre genaue Bedeutung im Bezug auf Reibung noch nicht gesichert ist und augenblicklich diskutiert wird.Fließexperimente wurden mit einemWeissenberg-Rheogoniometer usgeführt und mit einem UV-Schreiber registriert, um genaue Fließ-Spannungswerte zu erhalten.In dieser Abhandlung werden Ergebnisse über das Fließverhalten verschiedener möglicher synthetischer Flüssigkeiten veröffentlicht einschließlich der, die schließlich gewählt wurde: eine Lösung von umgewandeltem PVP (Polyvinylpyrrolidon). Dies ist ein wasserlöslicher hochmolekularer Stoff, der sich als physiologisch verträglich und nicht-toxisch gezeigt hat. Wäßrige 10%ige Lösungen mit hochmolekularem PVP ha ben ein Viskositätsverhalten, das bei niedrigerer Schubbel astung der normalen Synovialflüssigkeit ähnlich ist, aber nichtthixotropes und nur leicht nicht-Newtonsches und elastisches Verhalten zeigt. Im Labor hergestelltes hochgereinigtes PVP ergab ein Polymerisat, das in Lösung ein ähnliches Verhalten zeigte wie Handelsmaterial. Bestrahlung jedoch mit einer kritischen Dosis von 1,5 mrad in einem UCR 100 Reaktor erzeugte ein Polymerisat, das in 10%iger wäßriger Lösung ein Fließverhalten zeigte, das der normalen Synovialflüssigkeit sehr ähnlich war.Diese Ergebnisse werden im Detail dargelegt: besonders die Eigenschaften unter Höchstbelastung, die bei Beginn einer Schubbelastung in tangentialer als auch in normaler Richtung auftreten. Die Wirkung von anderen Bestrahlungsdosen auf das Theologische Verhalten wird auch beschrieben. Die Scher-Resistenz der synthetischen Flüssigkeit wurde mit einem Rheogoniometer und einem Gelenk-Simulator getestet und die Schmiereigenschaften mit der normalen Synovialflüssigkeit verglichen.Die Bedeutung der Theologischen Ergebnisse wird im Licht der neuen Theorien für Lösungen von Polymeren, die einem Scherfließen unterworfen sind, diskutiert, und mögliche Anwendungen auf andere biologische Flüssigkeitssysteme werden vorgeschlagen.

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Paper presented to the British Society of Rheology Conference on Rheology in Medicine and Pharmacy, London, April 14–15, 1970.     

Untersuchungen an Bogenkathoden

Zusammenfassung Der Kathodenfall in Hg- und Xe-Hochdruckentladungen zwischen Wo-Elektroden ist bei Stromstärken unterhalb 10 A für niedrige Drucke beträchtlich grösser als für höhere. Er nimmt mit zunehmender Stromstärke ab und erreicht bei etwa 20 A einen vom Druck unabhängigen Endwert (Xe: 6,5 V; Hg: 9,5 V). Der Anodenfall beträgt ziemlich unabhängig von Druck und Stromstärke 1 V. Die kathodischen Stromdichten sind bei höheren Belastungen nur wenig von der Stromstärke abhängig. Sie nehmen mit dem Druck zu. Der Strom im Kathodenfallgebiet, das eine Ausdehnung von einigen 10^–6 cm hat, wird vorwiegend durch Elektronen getragen. In einem anschliessenden Ionisationsgebiet mit einer Ausdehnung von rund 10^–2 cm erfolgt der übergang zum thermischen Gas des stark kontrahierten Säulenendes. Die hohen kathodischen Stromdichten werden durch Glühemission der Kathode, die wegen der hohen elektrischen Feldstärke um mehr als eine Zehnerpotenz gegenüber der feldfreien Thermoemission angehoben ist, erzielt.     

Approximate solutions for the shear center of plates of variable thickness

Summary In a plate-theoretical formulation of the shear center problem, the relevant boundary-value problem is for a cantilevered rectangular plate of variable thickness with two free opposite edges and with the edge opposite to the clamped end subject to a rigid vertical displacement and free of bending moment. For plates with Poisson's ratiov equal to zero, there is an exact elementary solution for this boundary-value problem from which the exact location of the shear center can be calculated. When Poisson's ratio is not zero, an approximate elementary solution may be obtained within the framework of a Saint-Venant flexure solution for plates by satisfying the displacement boundary conditions at the clamped edge approximately. Different forms of this approximation are discussed in [7], some with rather marked Poisson's ratio effects. Among these, the minimum complementary energy approach of [6] gives a shear center location identical to the exact solution forv=O.A generalized beam theory developed in [6] is implemented here to delineate the effect ofv without altering the edge conditions by ad hoc approximations. The results show that the Poisson's ratio effect is rather moderate and the shear center location is nearly the same as that for zero Poisson's ratio. A finite element solution for the plate theory boundary-value problem confirms this finding.The generalized beam equations are also used to study the effect of the aspect ratio of the plate and orthotropy on the location of the shear center.

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Näherungslösungen für den Schubmittelpunkt von Platten veränderlicher Dicke

Übersicht In der plattentheoretischen Formulierung des Schubmittelpunktproblems [6] betrifft die relevante Randwertaufgabe eine rechteckige Kragplatte mit veränderlicher Dicke in Querrichtung, mit einer Lastverteilung, welche eine gleichförmige Durchbiegung am belasteten Rand erzeugt.Die vorliegende Arbeit implementiert eine Näherungslösung dieses Problems in der Form einer verallgemeinerten Balkentheorie zwölfter Ordnung, welche Verwölbung sowie auch anticlastische Krümmung berücksichtigt [6]. Das Ziel ist, den quantitativen Einfluß der Poissonschen Zahl und auch den der Orthotropie zu bestimmen.Die Resultate zeigen, daß der Einfluß der Poissonschen Zahl, welcher in der bekannten näherungsweisen Bestimmung mit Hilfe des Variationsprinzips für Spannungen vollkommen verschwindet, in der Tat sehr gering ist, insbesondere im Vergleich mit den Folgen einer Anwendung der St.-Venantschen Biegetheorire zusammen mit einer klassischen Stipulierung bezüglich des Verschiebungsfeldes am Schwerpunkt der Querschnittsfläche. Darüber hinausgehend wird gezeigt, daß die numerischen Werte nur unwesentlich von Unterschieden zwischen Isotropie und Orthotropie beeinflußt sind.Die obigen Resultate werden durch die Ableitung und Anwendung einer Balkentheorie sechzehnter Ordnung und durch Rechnungen mit Hilfe von Finiten Elementen bestätigt.

     

Numerical solution of the curved rigid line problem in an infinite plate

Summary This paper deals with the problem of evaluating the stress singularity coefficients at the tips of a rigid line in an infinite plate. If the traction difference between the upper and lower borders of the rigid line is taken as an unknown function and the displacement of the curved rigid line as the right-hand term of the integral equation, then a new integral equation for the curved rigid line problem is obtained which is presented in this paper. The newly obtained integral equation has a logarithmic singular kernel. To solve the integral equation an interpolation equation for the traction difference functions (the undetermined functions in the integral equation) is proposed. A numerical examination is carried out to demonstrate the efficiency of the proposed technique. Also two numerical examples are given in this paper.

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Numerische lösung des problems einer gekrümmten linie als starrer einschlu\ in einer unendlichen platte

Übersicht Vorgeführt wird die Bestimmung von Spannungssingularitätsfaktoren an den Enden einer starren Kurve in einer unendlichen Platte. Wenn die Spannungsdifferenz an beiden Seiten der starren Linie als unbekannte Funktion und die Verschiebung dieser Linie als rechte Seite der Integralgleichung gewählt werden, erhält man eine neue Integralgleichung, die hier vorgestellt wird. Diese enthält einen logarithmisch singulären Kern. Um sie zu lösen, wird eine Interpolationsfunktion für die unbekannten Funktionen der Spannungsdifferenzen vorgeschlagen und ein numerischer Test zur Demonstration der Leistungsfähigkeit der Methode durchgeführt. Zwei numerische Beispiele werden vorgestellt.