Transformations projectives des variétés munies d'une connexion métrique

Résumé Ce travail est consacré à l'étude du groupe P₀(M, ) des transformations projectives d'une variété munie d'une connexion métrique , et du sous-groupe P ₀ ^r (M, ) (resp. P₀(M, )) constitué par celles de ces transformations qui conservent le tenseur de torsion (resp. le co-vecteur trace de torsion). Dans le cas compact on détermine des conditions pour que ces groupes coïncident avec le groupe des transformations affines ou le groupe des isométries. Ces conditions portent sur la courbure de Ricci de la connexion ou de la connexion symétrique associée, ou plus généralement sur la signature d'une forme quadratique dépendant de la courbure scalaire et du tenseur de torsion. On étudie, plus particulièrement, le cas où M est de dimension n, compacte, simplement connexe, munie d'une connexion métrique complète telle que la partie symétrique de la courbure de Ricci de la connexion symétrique associée soit du type d'Einstein: R_(ij)=Cg_ij, où C est une constante positive. Si M admet un champ de vecteurs projectifs propres pour la connexion métrique, laissant le co-vecteur de torsion invariant, alors M est homéomorphe à une n-sphère. On aborde enfin le cas où C est une constante non positive.

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Summary This paper is devoted to the study of the group P₀(M, ) of projective transformations of a manifold endowed with a metric connection and of the subgroup P ₀ ^r (M, ) (resp. P₀(M, )) made of the transformations conserving the torsion tensor (resp. the covector trace of torsion). In the compact case we determine the conditions so that these groups coincide with the group of affine transformations or with the isometry group. More particularly if M is simply connected endowed with a complete metric connection such that the symmetric part of the Ricci curvature of the associated symmetric connection is of Einstein type R_(ij)=Cg_ij, when C is a positive constant and if M admits a projective group leaving invariant the trace of torsion, then M is homeomorphic with a sphere. We examine the case when C is nonpositive constant.

     

The Novikov Conjecture for Low Degree Cohomology Classes

We outline a twisted analogue of the Mishchenko–Kasparov approach to prove the Novikov conjecture on the homotopy invariance of the higher signatures. Using our approach, we give a new and simple proof of the homotopy invariance of the higher signatures associated to all cohomology classes of the classifying space that belong to the subring of the cohomology ring of the classifying space that is generated by cohomology classes of degree less than or equal to 2, a result that was first established by Connes and Gromov and Moscovici using other methods. A key new ingredient is the construction of a tautological C* _r (, )-bundle and connection, which can be used to construct a C* _r (, )-index that lies in the Grothendieck group of C* _r (, ), where is a multiplier on the discrete group corresponding to a degree 2 cohomology class. We also utilise a main result of Hilsum and Skandalis to establish our theorem.     

Une généralisation d'un résultat de J. Aczél et M. Hosszú sur l'équation de translation

Résumé En généralisant un résultat de J. Aczél et M. Hosszú on donne des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une solution de l'équation de translationF(F(, x), y) = F(, xy), oùF: × G , est un ensemble arbitraire,G forme un groupe, soit de la formeF(, x) = f ^–1(f()·1(x)), oùf est une bijection de au groupeG ₁ isomorphe avecG et 1 est un homomorphisme deG àG ₁. On considère aussi le cas oùG forme un espace vectoriel sur le corps des nombres rationels.Si est un intervalle ayant plus qu'un point etG = R ^m avec l'addition comme l'opération on trouve des conditions pour que la fonction continueF soit de la formeF(, x ₁,, x _m ) =f ^–1(f() + c ₁ x ₁ + +c _m x _m ), oùf est une homéomorphie de àR et (c ₁,,c _m ) R ^m .

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Fonctorialité en K-Théorie bivariante pour les variétés lipschitziennes

Résumé Soit f: M V/F un morphisme continu orienté d'une variété lipschitzienne M dans l'espace des feuilles d'une variété lipschitzienne feuilletée (V,F), et soit C ^* (V,F) la C ^*-algèbre du feuilletage d'A. Connes. On construit un élèment (f) dans le groupe de K-théorie bivariante KK(C ₀ (M); C ^* (V,F)) de G. G. Kasparov et on montre la fonctorialité de cette construction. On utilise l'opérateur de signature de N. Teleman ([42]). Ceci répond pour les variétés lipschitziennes à une conjecture d'A. Connes ([11]) qui a été résolue pour les variétés différentiables dans [13, 8, 19].

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Let M be a Lipschitz manifold, (V, F) a foliated Lipschitz manifold and let f M V/F be an oriented morphism. Let C ^* (V,F) be the foliation's C ^*-algebra of A. Connes. We then construct an element (f) of the K-theory bivariant group KK(C ₀(M); C ^* (V, F)) of G. G. Kasparov which depends functoriality on f. This uses the signature operator of N. Teleman [42]. It gives a positive answer for Lipschitz manifolds to a conjecture of A. Connes [11] which has been proved for differentiable manifolds in [13, 8, 19].

     

Groupes plongés quasi isométriquement dans un groupe de Lie

Soit un sous-groupe discret de type fini dun groupe de Lie semi-simple G. On donne ici une condition suffisante pour que linjection de dans le groupe G admet un voisinage de représentations fidèles et discrètes.     

Mortality of iterated Gallai graphs

For a finite or infinite graphG, theGallai graph (G) ofG is defined as the graph whose vertex set is the edge setE(G) ofG; two distinct edges ofG are adjacent in (G) if they are incident but do not span a triangle inG. For any positive integert, thetth iterated Gallai graph ^t (G) ofG is defined by ( ^t–1(G)), where ⁰(G):=G. A graph is said to beGallai-mortal if some of its iterated Gallai graphs finally equals the empty graph. In this paper we characterize Gallai-mortal graphs in several ways.     

Cocycles d'Euler et de Maslov

Conclusion Nous espérons avoir convaincu le lecteur qu'il peut être utile de considérer la classe de Maslov comme une classe bornée. Dans [Gh], nous avons montré que la classe d'Euler bornée pour un groupe d'homéomorphismes directs du cercle rend compte de la dynamique topologique de ce groupe. Existe-t-il un résultat analogue pour Sp(2n,)? En d'autres termes, soit un groupe discret et ₁, ₂ deux représentations de dans Sp(2n,). On suppose que les cocycles ₁ ^* et ₂ ^* définissent la même classe bornée. Que peut-on en conclure sur ₁ et ₂?Par ailleurs, l'article [At l] traite aussi d'invariants sur SL(2,) différents de ceux que nous avons considérés, comme par exemple les fonctionsL de Shimizu. Est-il possible de les faire rentrer naturellement dans notre cadre?

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Topological characterizations of ordered groups with quasi-divisor theory

For an order embedding of a partly ordered group G into an l-group a topology is introduced on which is defined by a family of valuations W on G. Some density properties of sets h(G), h(X _t ) and (X _t being t-ideals in G) in the topological space are then investigated, each of them being equivalent to the statement that h is a strong theory of quasi-divisors.     

Superrigidity of lattices in solvable Lie groups

Summary Let be a closed, cocompact subgroup of a simply connected, solvable Lie groupG, such that Ad _G has the same Zariski closure as AdG. If : GL _n () is any finite-dimensional representation of , we show that virtually extends to a representation ofG. (By combining this with work of Margulis on lattices in semisimple groups, we obtain a similar result for lattices in many groups that are neither solvable nor semisimple.) Furthermore, we show that if is isomorphic to a closed, cocompact subgroup of another simply connected, solvable Lie groupG, then any isomorphism from to extends to a crossed isomorphism fromG toG. In the same vein, we prove a more concrete form of Mostow's theorem that compact solvmanifolds with isomorphic fundamental groups are diffeomorphic.Oblatum 5-VII-1994 & 15-IV-1995     

Exact boundary controllability onL 2(Ω) ×H −1(Ω) of the wave equation with dirichlet boundary control acting on a portion of the boundary∂Ω, and related problems

Consider the wave equation defined on a smooth bounded domain R ⁿ with boundary = _{0 1}. The control action is exercised in the Dirichlet boundary conditions only on ₁ and is of classL ₂(0,T: L ₂(₁)); instead, homogeneous boundary conditions of Dirichlet (or Neumann) type are imposed on the complementary part ₀. The main result of the paper is a theorem which, under general conditions on the triplet {, ₀, ₁} with ₀ , guarantees exact controllability on the spaceL ₂() ×H ^–1() of maximal regularity forT greater than a computable timeT ₀>0, which depends on the triplet. This theorem generalizes prior results by Lasiecka and the author [L-T.3] (obtained via uniform stabilization) and by Lions [L.5], [L.6] (obtained by a direct approach, different from the one followed here). The key technical issue is a lower bound on theL ₂(₁)-norm of the normal derivative of the solution to the corresponding homogeneous problem, which extends to a larger class of triplets {, ₀, ₁} prior results by Lasiecka and the author [L-T.3] and by Ho [H.1].This research was partially supported by the National Science Foundation under Grant NSF-DMS-8301668 and by the Air Force Office of Scientific Research under Grant AFOSR-84-0365. This paper was presented at the IFIP WG7.2 Conference on Boundary Control and Boundary Variations held at the Départment de Mathématiques, Universite de Nice, 10–13 June 1986; at the International Conference on Control of Distributed Parameter Systems held at Vorau (Austria), 6–12 July 1986; and at the Second Workshop on Control of Systems Governed by Partial Differential Equations held at Val David, Quebec, 5–9 October 1986.