思路要自然,过程要简捷——我谈点线距离公式的推导

求点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )到直线ｌ:Ａｘ +Ｂｙ +Ｃ =0的距离 ,一个很自然的思路是 :由点Ｐ向直线ｌ引垂线 ,求出垂足Ｑ的坐标 ,再用两点间的距离公式求出|ＰＱ| .这个方法 ,正如课本所说 ,运算很繁 .仔细分析上述方法 ,繁就繁在求垂足Ｑ的坐标 .我们能否批判性地沿用以上思路 ,回避求垂足Ｑ的坐标 ,让问题得以更方便地解决 ?我经过一番探究 ,得到了肯定的回答 .设垂足Ｑ的坐标为 (ｘ′ ,ｙ′) ,∵ＰＱ⊥ｌ,∴ｙ0 - ｙ′ｘ0 -ｘ′=ＢＡ(当Ａ≠ 0时 ) ,可设ｘ0 -ｘ′ =Ａｔ,ｙ0 -ｙ′ =Ｂｔ.∵Ａｘ′+Ｂｙ′ +Ｃ =0 ,　∴Ａ(ｘ0 -Ａｔ) +Ｂ(ｙ0-Ｂｔ…     

用柯西不等式推导点到直线的距离公式

点到直线距离公式的推导 ,有不少方法 [1 ].[2 ].本文用柯西不等式给出其又一推导 .已知点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )及直线ｌ:Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ =0 (Ａ2 +Ｂ2 ≠ 0 ) .设点Ｐ1 (ｘ1 ,ｙ1 )是直线ｌ上任意一点 ,则Ａｘ1 +Ｂｙ1 +Ｃ =0 . ①｜ＰＰ1 ｜=(ｘ0 -ｘ1 ) 2 +(ｙ0 -ｙ1 ) 2 .②点Ｐ ,Ｐ1 两点间的距离｜ＰＰ1 ｜的最小值 ,就是点Ｐ到直线ｌ的距离 .求②的最小值 ,由柯西不等式有 :Ａ2 +Ｂ2 · (ｘ0 -ｘ1 ) 2 +(ｙ0 -ｙ1 ) 2≥｜Ａ(ｘ0 -ｘ1 ) +Ｂ(ｙ0 -ｙ1 ) ｜=｜Ａｘ0 +Ｂｙ0 +Ｃ- (Ａｘ1 +Ｂｙ1 +Ｃ) ｜ ,由①、②得 :Ａ2 +Ｂ2 ·｜ＰＰ1 ｜≥｜…     

二次曲线一类定向问题的统一结论

《数学通报》2 0 0 0年第 1 1期文 [1 ]介绍一类定向问题 ,很有启发 ,但只限于某些标准方程 .笔者通过曲线系的研究可对这类问题给出更为一般的结论和证明 ,方法简捷明快 ,特介绍如下 .命题 1　常态二次曲线　Φ :Ａｘ2 +Ｃｙ2 +Ｄｘ+Ｅｙ =0 ( )过原点作斜率互为相反数的两条直线ｌ1、ｌ2 ,交二次曲线Φ于Ｐ、Ｑ两点 ,则直线ＰＱ有定向 ,且ＫＰＱ=Ｄ/Ｅ(Ｅ≠ 0 ) ,若Ｅ=0时 ,则直线ＰＱ斜率不存在 ,此时ＰＱ的倾斜角为 90°.证　设ｌ1、ｌ2 和ＰＱ的方程分别为 :ｙ=ｋｘ,ｙ =-ｋｘ,ｙ=ｔｘ +ｍ(ｔ∈Ｒ ,ｍ≠ 0 )(若曲线Φ关于ｘ轴对称 ,Ｅ …     

直线参数方程中参数的几何性质及运用

众所周知 ,过定点Ｍ0 (ｘ0 ,ｙ0 )、倾斜角为α的直线ｌ的参数方程为 ｘ =ｘ0 +ｔｃｏｓαｙ =ｙ0 +ｔｓｉｎα(ｔ为参数 ) ,其中ｔ表示直线ｌ上以定点Ｍ0 为起点 ,任意一点Ｍ (ｘ,ｙ)为终点的有向线段Ｍ0 Ｍ的数量Ｍ0 Ｍ ,由这个几何意义出发 ,易得出参数ｔ具有如下性质 :性质　对于上述直线ｌ的参数方程 ,设ｌ上两点Ａ、Ｂ所对应的参数分别为ｔＡ、ｔＢ,则1 .Ａ、Ｂ两点之间的距离为 |ＡＢ|=|ｔＡ-ｔＢ|,特别地 ,Ａ、Ｂ两点到点Ｍ0 的距离分别为 |ｔＡ|、|ｔＢ|.2 .Ａ、Ｂ两点的中点所对应的参数为ｔＡ+ｔＢ2 ,若点Ｍ0 是线段ＡＢ的中点 ,…     

点到直线距离公式的一个简捷求法

点到直线距离公式的一个简捷求法陈国正（湖南津市一中４１５４００）求点Ｐ（ｘ０，ｙ０）到直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０的距离．一个自然的解题思路是：作ＰＱ⊥ｌ于Ｑ；列出垂线ＰＱ的方程；解方程组求垂足Ｑ的坐标；计算｜ＰＱ｜得所求．课本［１］指出：“这个方法虽...     

关于直线的对称问题

在涉及点或曲线关于直线对称的问题 ,一般运用中垂线的性质列出方程联立求解 .不过 ,此法一般运算量大 ,出错率高 .如果利用下述对称点坐标公式 ,则可简化求解过程 ,迅速得出结论 .设曲线ｃ:Ｆ(ｘ ,ｙ) =0关于直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 (ＡＢ≠ 0 )的对称曲线为ｃ′ ,点Ａ(ｘ ,ｙ)∈ｃ关于ｌ的对称点为Ａ′(ｘ′,ｙ′)∈ｃ′,则ｙ - ｙ′ｘ -ｘ′·(- ＡＢ) =- 1 ,又　 Ａ(ｘ ｘ′)2 Ｂ(ｙ ｙ′)2 Ｃ =0 ,解得 ｘ′ =ｘ Ａｔｙ′=ｙ Ｂｔ (其中ｔ =- 2 (Ａｘ Ｂｙ Ｃ)Ａ2 Ｂ2 ) (1 )于是 ,曲线ｃ :Ｆ(ｘ ,ｙ) =0关于直线ｌ:Ａｘ Ｂ…     

圆锥曲线动弦的一个性质

定理 1　设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )上一定点 ,ＰＡ ,ＰＢ为抛物线的任意两条弦 ,α1,α2 ,分别是ＰＡ ,ＰＢ的倾斜角 ,则(ⅰ )当ｔａｎα1·ｔａｎα2 =定值ｔ时 ,直线ＡＢ过定点 ;(ⅱ )当ｔａｎα1+ｔａｎα2 =定值ｔ时 ,直线ＡＢ过定点或者有定向 ;(ⅲ )当α1+α2 =定值θ时 ,直线ＡＢ过定点或者有定向 .证明　设ＰＡ方程为ｘ=ｍ1ｙ+ｎ1,则ｎ1=ｘ0 -ｍ1ｙ0 ,将ＰＡ方程代入ｙ2 =2ｐｘ得ｙ2 -2ｐｍ1ｙ-2ｐｎ1=0设Ａ(ｘ1,ｙ1)、Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,则ｘ1=2ｐｍ21-2ｍ1ｙ0 +ｘ0ｙ1=2ｐｍ1-ｙ0 　　　　　①同理　　设ＰＢ方程为…     

"同侧"同号,"异侧"异号及其拓广应用

1　命题的引入人教版全日制普通高中教科书 (试验本 )数学第二册 (上 )第 71页 ,对二元一次不等式表示的平面区域作了以下的阐述 :对直线Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ =0同一侧的所有点 (ｘ,ｙ) ,实数Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ的符号相同 ,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,从Ａｘ0 +Ｂｙ0 +Ｃ的正负即可判断Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ>0表示直线哪一侧的平面区域 .特殊地 ,当ｃ≠ 0时 ,常把原点作为特殊点 .对此 ,笔者以下面命题来概括 :同侧同号 ,异侧异号 .2　命题的证明下面我们来证明该命题 .已知直线ｌ:Ａｘ +Ｂｙ+Ｃ=0 ,点Ｐ1(ｘ1,ｙ1)、Ｐ2 (ｘ2 ,ｙ2 ) ,…     

活用λ的几何意义

定理　如果Ａ、Ｂ两点的坐标是Ａ (ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,点Ｐ在直线ＡＢ上 ,ＡＰＰＢ =λ(λ≠ -1) ,那么ｘＰ=ｘ1+λｘ21+λ ,ｙＰ=ｙ1+λｙ21+λ .这是大家熟悉的定比分点公式 .运用该公式解题时注意“数形结合” ,明确Ｐ在直线ＡＢ上的位置与数λ的相互对应关系 ,不仅能使某些问题化难为易 ,而且能体味其解法的简洁美 .Ｐ在直线ＡＢ上的位置λ的变化情况Ｐ在有向线段ＡＢ内Ｐ为线段ＡＢ中点0 <λ<+∞λ =1Ｐ在有向线段ＡＢ的延长线上 -∞ <λ<- 1Ｐ在有向线段ＢＡ的延长线上 - 1<λ <0　　例 1　解不等式 0 <ｘ2 -5ｘ + 6ｘ2 + 5ｘ …     

圆锥曲线的一个性质

定理　设Ｐ为圆锥曲线Ｅ上的任一点 ,ｌ为过点Ｐ的切线 ,ＰＡ ,ＰＢ为倾斜角互补的动弦 ,则(Ⅰ )直线ＡＢ与ｌ的倾斜角也互补 ;(Ⅱ )线段ＡＢ中点的轨迹是与原曲线具有相同离心率的圆锥曲线 (当原曲线为圆时 ,ＡＢ中点的轨迹亦是圆 ) .证明　①当圆锥曲线为椭圆、圆或双曲线时 ,不妨设其方程为ｍｘ2 +ｎｙ2 =1 (其中ｍ >0 ,ｎ >0或ｍｍ <0 ) .又设Ｐ ,Ａ ,Ｂ的坐标分别为(ｘ0 ,ｙ0 ) ,(ｘ1 ,ｙ1 ) ,(ｘ2 ,ｙ2 ) ,直线ＰＡ的斜率为ｋ.(Ⅰ )由 ｙ-ｙ0 =ｋ(ｘ-ｘ0 )ｍｘ2 +ｎｙ2 =1 ,得(ｍ +ｎｋ2 )ｘ2 + 2ｎｋ(ｙ0 -ｋｘ0 )ｘ +ｎ(ｙ0 -ｋｘ0 …     

直线系和曲线系

1　直线系若直线ｌ1:Ａ1ｘ Ｂ1ｙ Ｃ1=0与直线ｌ2 :Ａ2 ｘ Ｂ2 ｙ Ｃ2 =0相交于Ｐ ,则ｌ1与ｌ2 的线性组合 (λ ,μ∈Ｒ ,且不全为零 )ｌ3 :λ(Ａ1ｘ Ｂ1ｙ Ｃ1) μ(Ａ2 ｘ Ｂ2 ｙ Ｃ2 ) =0表示过Ｐ点的所有直线 ,称为过Ｐ点的直线系方程 .特别地 ,当λ =0时 ,ｌ3 成为ｌ2 ;当 μ =0时 ,ｌ3成为ｌ1.对于ｌ1,ｌ2 以外的直线 ,我们往往只在ｌ3 中保留一个参数 ,而使另一个为 1,即为ｌ4 :Ａ1ｘ Ｂ1ｙ Ｃ1 λ(Ａ2 ｘ Ｂ2 ｙ Ｃ2 ) =0 .如果ｌ1与ｌ2 平行 ,这时ｌ3 表示与ｌ1平行的直线系方程 .例 1　求过直线ｌ1:2ｘ ｙ - 5 =0和…     

综合题新编

题 2 4　已知平行四边形ＡＢＣＤ ,Ａ (-2 ,0 ) ,Ｂ(2 ,0 ) .且 |ＡＤ| =2 .1)求平行四边形ＡＢＣＤ对角线交点Ｅ的轨迹方程 .2 )过Ａ作直线交以Ａ ,Ｂ为焦点的椭圆于Ｍ ,Ｎ两点 .且 |ＭＮ| =832 ,ＭＮ的中点到ｙ轴的距离为 43,求椭圆的方程 .3)与Ｅ点轨迹相切的直线ｌ交椭圆于Ｐ ,Ｑ两点 .求 |ＰＱ|的最大值及此时ｌ的方程 .解　 1)设Ｅ(ｘ ,ｙ) ,连ＯＥ ,则ＯＥ 　∥=12 ·ＡＤ .∴ |ＯＥ| =1.∴ｘ2 ｙ2 =1(ｙ≠ 0 ) .2 )由圆锥曲线的统一定义可知 :|ＭＡ|=ａ ｅｘ1,|ＮＡ| =ａ ｅｘ2 .∴ |ＭＮ| =2ａ ｅ(ｘ1 ｘ2 ) =832 .∵ｃ=2 ,∴…     

图象平移

定理 1　点Ｐ(ｘ ,ｙ)按 ａ→ =(ｈ ,ｋ)平移得到点(ｘ′ ,ｙ′) ,则 ｘ′ =ｘ +ｈ ,ｙ′ =ｙ +ｋ .(参见高一新教材《数学》第一册下第 12 1页 )定理 1指出了点Ｐ(ｘ ,ｙ) ,Ｐ′(ｘ′ ,ｙ′) ,ａ→ =(ｈ ,ｋ)三者之间的关系 .例 1　点Ｐ(ｔ2 - 5ｔ + 5 ,ｔ2 +ｔ - 7)按向量ａ→ =(1,- 5 )平移到点Ｐ′(0 ,0 ) ,求ｔ=.解　由定理 1知 0 =ｔ2 - 5ｔ+ 5 + 1,0 =ｔ2 +ｔ- 7- 5 ,解得ｔ=3.定理 2　函数ｙ =ｆ(ｘ)的图象Ｃ按ａ→ =(ｈ ,ｋ)平移得到图象Ｃ′ ,则Ｃ′的函数解析式为 ｙ =ｆ(ｘ -ｈ) +ｋ .证　设点Ｐ(ｘ ,ｙ)为Ｃ上任意一点 ,点Ｐ(…     

二次曲线定比分点弦的存在定理

文 [1 ][2 ]分别给出了求二次曲线定比分点弦所在直线方程的消去法和较为简洁的解方程方法 ,本文就二次曲线定比分点弦存在区域作一探讨 ,以使这类问题进一步完善 .设定 :Ｆ(ｘ ,ｙ) =Ａｘ2 +2Ｂｘｙ+Ｃｙ2 +2Ｄｘ+2Ｅｙ+Ｆ ,　φ(ｘ,ｙ) =Ａｘ2 +2Ｂｘｙ+Ｃｙ2 ,ｆ1 (ｘ,ｙ)=Ａｘ+Ｂｙ +Ｄ ,　ｆ2 (ｘ ,ｙ) =Ｂｘ+Ｃｙ +Ｅ ,Ｉ2 =Ａ　ＢＢ　Ｃ ,Ｉ3=Ａ　Ｂ　ＤＢ　Ｃ　ＥＤ　Ｅ　Ｆ.定理　过Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的直线交二次曲线Ｆ(ｘ ,ｙ) =0于Ｐ1 、Ｐ2 两点 ,点Ｐ分Ｐ1 Ｐ2 的比为λ ,则Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )满足　Ｆ(ｘ0 ,ｙ0 ) Ｉ2 Ｆ(ｘ0 ,ｙ0 ) -…     

点到直线距离公式的几种求法：—创新思维教学一例

创新是一个民族的灵魂 ,如何在数学教学中培养学生的创新意识和创新思维能力 ,是数学教学由升学教育向素质教育转轨的一个重要课题 ,笔者认为 ,创新意识与创新思维能力的培养应渗透于平时的教学中 ,以课本为本 ,充分挖掘教材中的创新思维教学的素材 ,不失时机地培养学生的创新意识和创新思维能力 ,下面是笔者在教学中创新思维教学的一例 .问题 :已知点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )和直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ=0 ,怎样求点Ｐ到直线ｌ的距离 ?1　吃透教材 ,领悟思想 ,等积变形求解图 1　点与直线如图 1,过Ｐ作ＰＱ⊥ｌ ,垂足为Ｑ ,教材中为求 |ＰＱ |,过点Ｐ作…     

2002年全国各地高考模拟试题集锦——解析几何

选择题1.(杭州市第二次质检题 )如果直线ｌ将圆ｘ2+ ｙ2 - 2ｘ - 4ｙ =0平分 ,且不通过第四象限 ,则直线ｌ的斜率的取值范围是 (　　 )(Ａ) [0 ,1].　　　　　 (Ｂ) [12 ,2 ].(Ｃ) [0 ,12 ]. (Ｄ) [0 ,2 ].2 .(黄冈中学 5月模拟 )已知动点Ｐ(ｘ ,ｙ)满足10 (ｘ - 1) 2 + (ｙ - 2 ) 2 =| 3ｘ + 4 ｙ| ,则Ｐ点的轨迹是 (　　 )(Ａ)椭圆 . (Ｂ)双曲线 .(Ｃ)抛物线 . (Ｄ)两相交直线 .3.(黄冈中学 5月模拟 )直线ａｘ +ｂｙ +ｃ =0(ａｂｃ≠ 0 )与直线 ｐｘ + ｑｙ +ｍ =0 (ｐｑｍ≠ 0 )关于 ｙ轴对称的充要条件是 (　　 )(Ａ) ｂｑ =ｃｍ . (Ｂ)…     

求一类轨迹方程的代换规律

观察下面的例子 .例 1　如图 ,已知定圆Ｏ :ｘ2 ｙ2 =ｒ2 和不在圆Ｏ上的一个定点Ｑ(ｘｏ,ｙｏ) ,过Ｑ作直线交圆Ｏ于Ａ、Ｂ两点 ,Ｐ为动直线ＡＢ上不同于Ｑ的另一点 ,且｜ＡＰ｜｜ＰＢ｜=｜ＡＱ｜｜ＱＢ｜.求Ｐ点的轨迹 .解　设Ａ、Ｂ、Ｐ的坐标分别为 (ｘ1 ,ｙ1 )、(ｘ2 ,ｙ2 )、(ｘ ,ｙ) ,则有ｘ21 ｙ21 =ｒ2 ,ｘ22 ｙ22 =ｒ2 .设 ＡＰＰＢ =λ ,则 ＡＱＱＢ =-λ .由ｘ=ｘ1 λｘ21 λｙ=ｙ1 λｙ21 λ和ｘｏ =ｘ1 -λｘ21 -λｙｏ =ｙ1 -λｙ21 -λ得ｘｏｘ ｙｏｙ =ｘ21 -λ2 ｘ221 -λ2 ｙ21 -λ2 ｙ221 -λ2=ｘ21 ｙ21 -λ…     

圆锥曲线的定点弦性质

文 [1 ]给出下面三道命题 :命题 1　Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为抛物线ｙ2 =2ｐｘ上的一个定点 ,过Ｍ任作两条互相垂直的弦ＭＰ、ＭＱ ,则直线ＰＱ必过定点Ｍ′(ｘ0 +2ｐ ,-ｙ0 ) ;命题 2　Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为椭圆ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1上的一个定点 ,过Ｍ任作两条互相垂直的弦ＭＰ ,ＭＱ ,则直线ＰＱ过定点Ｍ′ ａ2 -ｂ2ａ2 +ｂ2 ｘ0 ,- ａ2 -ｂ2ａ2 +ｂ2 ｙ0 ;命题 3　Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1上的一个定点 ,过Ｍ任作两条互相垂直的弦ＭＰ、ＭＱ ,若ａ≠ｂ ,则直线ＰＱ过定点Ｍ′ ａ2 +ｂ2ａ2 -ｂ2 ｘ0 ,- ａ2 +ｂ2ａ2 -ｂ2 ｙ0 ;若ａ =ｂ ,…     

点圆及点圆系的性质与应用

点是几何中最基本的元素,也可以视其为半径为零的圆,即点圆.坐标平面上的点圆Ｐ(ｘ0,ｙ0)的方程可记为(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2=0.由点圆Ｐ,直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ=1,圆Ｍ:(ｘ-ａ)2 (ｙ-ｂ)2=ｒ2(ｒ>0),可构成下列圆系:点Ｐ(ｘ0,ｙ0)在圆Ｍ上,λ为非零实数,有圆系Ｄλ:(ｘ-ａ)2 (ｙ-ｂ)2-ｒ2 λ[(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2]=0(1)点Ｐ(ｘ0,ｙ0)在直线ｌ上,λ为非零实数,构造圆系Ｅλ:(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2 λ(Ａｘ Ｂｙ Ｃ)=0(2)直线ｌ与圆Ｍ相切于点Ｐ,λ为非零实数,构成圆系Ｆλ:(ｘ-ａ)2 (ｙ-ｂ)2-ｒ2 λ(Ａｘ Ｂｙ Ｃ)=0(3)下面给出Ｄλ,Ｅλ,Ｆλ的性…     

关于抛物线的一个命题的再推广

文 [2 ]推广了文 [1]的命题 ,本文进一步推广文[2 ]的命题 .定理 1　常态二次曲线Φ :Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ =0上有一定点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )和异于点Ｐ的两动点Ｑ ,Ｒ ,则ｋＰＱ·ｋＰＲ=λ(≠ ＡＣ)为定值的充要条件是动直线ＱＲ恒过定点Ｍ (ｘ0 Φ1λＣ -Ａ,ｙ0- Φ2λＣ -Ａ) ;ｋＰＱ·ｋＰＲ =λ =ＡＣ 的充要条件是ｋＱＲ =- λΦ2Φ1(其中Φ1=2Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｄ ,Φ2 =Ｂｘ0 2Ｃｙ0 Ｅ) .证　作平移 :ｘ′ =ｘ -ｘ0 ,ｙ′ =ｙ - ｙ0 ,代入Φ(ｘ ,ｙ) =0得Ａｘ′2 Ｂｘ′ｙ′ Ｃｙ′2 Φ1ｘ′ Φ2 ｙ′ =0 (1)设Ｑ…