Über die Lagrangeschen Gleichungen der Kinetik und der Elastostatik

Zusammenfassung Die Note zeigt die Dualität, die zwischen den Grundgleichungen der Kinetik und den Grundgleichungen der Elastostatik besteht. Ist n die Zahl der möglichen Starrkörperbewegungen, g die Zahl der geometrischen Stützkräfte, so ist in der Kinetik n > g, in der Elastostatik g > n; die Statik ist der Grenzfall g = n für beide. Das natürliche Hilfsmittel, die Dualität (und überhaupt die verschiedenen Fassungen, die man den Grundgleichungen geben kann) übersichtlich zu formulieren, ist die Matrizenschreibweise. — Zugleich sollte die Note Gelegenheit geben, die Bemerkungen am Ende von § 3 über die drei Kräfteklassen, und den Ausdruck Haftung an Stelle von Haftreibung, zur Diskussion zu stellen.     

Strömungsmodell der Gas-Flüssigreaktoren nach der Filmtheorie

Zusammenfassung Es wird ein mathematisches Strömungsmodell für Gas-Flüssigreaktoren aufgestellt, das auf der Filmtheorie basiert. Für den Fall einer chemischen Reaktion erster Ordnung läßt sich eine geschlossene analytische Lösung finden, mit deren Hilfe man den Stoffaustauschgrad, den Reaktionsumsatz und die Reaktorkapazität leicht ermitteln kann. Das Modell eignet sich also unmittelbar als Auslegungsbasis für Gas-Flüssigreaktoren.

---

A flowingmodel for gas-liquid reactors based on the film theory

A design model for gas-liquid reactors is developed based on the film theory and under condition that the gas and liquid phase are in plug flow. An analytical solution of this system has been achieved. The mass transfer degree, the reaction conversion and the reactor capacity can be easily calculated by means of the analytical solutions. Therefore, this model can be used directly to design the gas-liquid reactors.

---

Formelzeichen a _i [m ²/m ³] spezifische Phasengrenzfläche - C [kmol/m³] Konzentration - D [m²/s] Diffusionskoeffizient - F [kmol/s] Masseneinströmung der Gasphase - H [J/kmol] Henry'sche Konstante - Ha [J/kmol] Hatta-Zahl definiert in Gl. (3) - L [m] charakteristische Länge des Reaktors - Q _L [m ³/s] Volumenströmung der Flüssigphase - N [kmol/m²·s] Stoffübergangsgeschwindigkeit - p [N/m²] Partialdruck einer Komponente - p [N/m²] Gesamtdruck des Systems - r [N/m²] Strömungsstatus - x [m] Ortskoordinate längs der Diffusionsrichtung - x _A [m] Reaktionsumsatz des EduktesA - V [m³] Reaktorvolumen Griechische Buchstaben [m] Diffusionsgrenzschichtdicke - _L Flüssig-Holdup - [m] Austauschgrad - [m] Abkürzung definiert in Gl. (13) - 0 bezogen auf Anfangsstelle des Reaktors - A bezogen auf KomponenteA - b bezogen auf Bulkphase - L bezogen auf Flüssigphase - bezogen auf Einströmung - bezogen auf Ausströmung     

Neuere Ergebnisse aus dem Gebiet der Dynamik der Drehflügel

Ohne Zusammenfassung     

Mathematische Modellierung der Wärmeübertragung in Plattenwärmeaustauschern unter Nutzung der Methode der finiten Elemente

Zusammenfassung Es wird ein eindimensionales mathematisches Modell für Plattenwärmeaustauscher vorgestellt, das es erlaubt, den Wärmeaustausch bei beliebig lokal veränderlichen Wärmeübergangskoeffizienten zu berechnen. Zur numerischen Lösung des Problems wird die Methode der finiten Elemente (FEM) verwendet. Der Vergleich theoretischer Berechnungen mit diesem Modell mit den Ergebnissen anderer Berechnungsverfahren und mit experimentellen Ergebnissen zeigt die gute Verwendbarkeit des Verfahrens für Plattenwärmeaustauscher mit beliebiger Strömungskonfiguration.

---

Mathematical modelling of heat transfer in plate heat exchangers using the finite element method

A one-dimensional mathematical model for predicting heat transfer in plate heat exchangers with locally varying heat transfer coefficients is presented. Numerical solutions are obtained using the finite element method (FEM). Comparisons of theoretical predictions using this model with the results of other prediction methods and with experimental results show the good efficiency of the method for modelling plate heat exchangers with arbitrary flow configurations.

---

Formelzeichen A Wärmeaustauschfläche, m² - A _p Wärmeaustauschfläche einer Platte, m² - b,b _p thermisch aktive Kanal- oder Plattenbreite, m - Be Boolsche Transformationsmatrix im Element - c _p spezifische Wärmekapazität eines Fluides, J/(kg K) - d _d hydraulischer Durchmesser eines Strömungskanals, m - F Korrekturfunktion im globalen kinetischen Ansatz - Enthalpiestrom eines Fluides, W - k lokaler Wärmedurchgangskoeffizient, W/(m² K) - über einen gewissen Bereich des Apparates gemittelter Wärmedurchgangskoeffizient, W/(m² K) - L thermisch aktive Plattenlänge, m - Fluidmassenstrom, kg/s - Ne Zahl der Elemente für die FEM-Zerlegung eines Strömungskanals - Nk Zahl der geometrischen Knoten in einem Strömungskanal (Nk=Ne + 1) - Nsk Zahl der Strömungskanäle in einem Apparat - Ntp Zahl der thermischen Platten in einem Apparat (Ntp=Nsk- 1) - NTU NTU- Zahl (Kenngröße) - NTU1 lokaleNTU-Zahlen im Strömungskanal - NTU2 lokaleNTU- Zahlen im Strömungskanal - N Zahl der rechnerischen Knotenvariablen in einem Strömungskanal (Nv=2 · Nk) - Pe Elementenmatrix - Pr lokaler Wert der Prandtl-Zahl in einem Strömungskanal - lokale Wärmestromdichte, W/m² - über einen gewissen Bereich des Apparates gemittelte Wärmestromdichte, W/m² - Wärmestrom, W - R(x) Residuenfunktion einer Differentialgleichung - Re lokaler Wert der Reynoldszahl in einem Strömungskanal - s Kanalspaltbreite, m - Se Elementenmatrix - T Temperatur, °C - t _p Wandstärke der thermischen Platten, m - mittlere Strömungsgeschwindigkeit im Kanal, m/s - Volumenstrom eines Fluides, m³/s - w(x) Wichtungsfunktion im Approximationsansatz nach Galerkin - x Längenkoordinate in Hauptströmungsrichtung eines Kanals, m - lokaler Wärmeübergangskoeffizient, W/(m² K) - e Länge eines Elementes, gemessen in der globalen Koordinatex, m - T _m logarithmisch gemittelte Temperaturdifferenz zwischenzwei Fluidströmen, K - dimensionslose Längenkoordinate im einzelnen finiten Element oder energetischer Wirkungsgrad des Apparates - dimensionslose Längenkoordinate im Strömungskanal - dynamische Zähigkeit eines Fluides, kg/(m s) - Approximationsfunktion der dimensionslosen Temperatur - dimensionslose Temperatur - Wärmeleitfähigkeit, W/(m K) - Fluiddichte, kg/m³ - lokale oder globale Formfunktion im FEM-Ansatz Indizes 12 Austauschgröße zwischen den Fluiden 1 und 2 - a Austrittsgröße aus dem Apparat - e Eintrittsgröße in den Apparat oder Elementgröße - i Zählindex für die Kanäle - max Maximalwert einer Größe - min Minimalwert einer Größe - 0 Referenzzustand - T transponierte Matrix (Vektor)     

Zur Theorie der nahe der Wasseroberfläche fahrenden Tragflächen

Ohne Zusammenfassung     

Über eine Anwendung der Hillschen Minimalbedingung in der Plastizitätstheorie

Zusammenfassung Auf dem gezeigten Weg wurden die Spannungen _r , , _z berechnet, wobei an Stelle der Veränderlichen r und die dimensionlosen Größen x _i = r _i /, x=r/ und x _a = r/ in die Rechnung eingeführt wurden. Die Funktion (r, ) wurde dann für den Bereich 0,45x_i1,0, 1x_a 2 tabuliert. Hierbei zeigte sich, daß der Rechenaufwand bei der Durchrechnung eines Einzelbeispiels nach der Charakteristikenmethode wesentlich geringer ist. Bei der Anlage von Zahlentafeln zur Berechnung von Spannungen für beliebige Durchmesserverhältnisse ergab sich, daß der aufgezeigte Wege zu geringerem Rechenaufwand führt. Für das Beispiel r _i /r _a=1/2 wurden die Rohraufweitungen bestimmt und diese Werte noch durch praktische Versuche nachgeprüft. Hierbei ergab sich, daß die theoretisch bestimmten Rohraufweitungen in dem Streubereich der gemessenen Rohraufweitungen lagen, wobei Messungen an drei Rohren aus demselben Material und demselben Rohrverhältnis durchgeführt wurden. Insbesondere stimmten die theoretischen Rohraufweitungen auch mit den gemessenen Rohraufweitungen überein, wenn das Rohr entlastet wurde und die Restdeformationen bestimmt wurden.Daraus kann geschlossen werden, daß durch die berücksichtigte lineare Verfestigung die tatsächlichen Verhältnisse außerordentlich gut erfaßt werden.Der sogenannte Platzdruek eines Rohres kann auf rein rechnerischem Weg nicht erfaßt werden, da für =r_a die geometrische Gestalt des Rohres instabil wird. Bei den Versuchen zeigt sich, wenn der Innendruck über p _i ( =r **** _a ) gesteigert wird, daß das Rohr schon bei geringen Überschreitungen aufzubauchen beginnt.Meinem Lehrer Herrn Prof. Dr. Dr. R. Grammel zum 65. Geburtstag gewidmet.     

Biegetheorie der allgemeinen Rotationsschalen mit schwacher Veränderlichkeit der Schalenkrümmungen

Zusammenfassung Es wird eine Biegetheorie erster Näherung für die abklingenden Randstörungen von Rotationsschalen gegeben, deren Ränder mit Breitenkreisen zusammenfallen. Die erzeugende Meridiankurve kann bis auf geringe Einschränkungen beliebig sein. Es werden nur solche extremen Krümmungsänderungen ausgeschlossen, die bei üblichen bautechnischen Schalen praktisch nicht vorkommen. Die formale Behandlung der gegebenen Gleichungen gibt ganz von selbst eine Übersicht über die vorhandenen nicht abklingenden Lösungen. Diese dehnungslosen Verformungen und homogenen Membranlösungen ergänzen die abklingenden Randstörungen zu dem vollständigen Lösungssatz der Biegetheorie. Die vorliegende Biegetheorie überträgt ungefähr die Donnell-Jenkinssche Näherungstheorie für Zylinderschalen auf beliebige Rotationsschalen. Sie kann als Erweiterung der Geckelerschen Näherung angeschen werden, die hier jedoch auch für Schalen negativer Gauscher Krümmung gilt. Die Differentialgleichung bleibt von achter Ordnung. Sie schließt daher die bekannten Gleichungen für Kugelschalen, für flache Schalen und für Torsen als Sonderfälle ein, bei denen sämtliche Integrale, auch die nicht abklingenden, auf dem hier gezeigten Lösungsweg gefunden werden.Auszug der Habilitationsschrift des Verfassers: Asymptotische Biegetheorie der allgemeinen Rotationsschalen ..., Hannover 1963, eingereicht 1961. Die Arbeit entstand z. T. unter dem Visiting Research Scientists Program der National Academy of Sciences, USA.     

Theorie der Hochdruckröhrenfeder

Zusammenfassung Zur Messung hoher Drücke im Bereich von 100 bis 10000 at werden in der Technik vielfach dickwandige Röhrenfedern nach Art des Bourdonmanometers benutzt. Diese Federn werden durch Flachschlagen eines Kreisrohres und anschließendes Krümmen hergestellt. Die Theorie derartiger Hochdruckfedern wird auf einen ebenen Formänderungszustand zurückgeführt und die Spannungen und Deformationen werden berechnet, wobei die Querschnittsform durch ein rechteckiges Mittelstück und zwei Randbögen (Flachbogenquerschnitt) idealisiert wird. Als Sonderfall wird auch der kreisförmige Querschnitt behandelt. Bei kreisförmiger oder kreisähnlicher Querschnittsform werden verschiedene Korrekturgrößen von wesentlichem Einfluß, die ebenfalls abgeleitet werden, Abschließend wird auch das Bewegungsgesetz solcher Meßfedern untersucht.Die hier dargelegte Theorie der Hochdruckfeder habe ich mit weitergehenden Vereinfachungen und ohne die Exzentrizitäts- und Längungskorrektur bereits 1943 entwickelt. Ergebnisse wurden auszugsweise in einem Aufsatz in Die Technik 3 (1948) S. 23–30 wiedergegeben. In der vorliegenden Neufassung sind alle Tabellen neu berechnet worden, wobei ich von Frau Otto in Göttingen, wesentlich unterstützt wurde.     

Bestimmung der Materialkennwerte einer drei-dimensionalen Theorie zur Beschreibung des tertiären Kriechverhaltens austenitischer Stähle auf der Basis der Experimente

Übersicht Eine tensoriell nichtlineare Theorie für tertiäres Kriechen isotroper Werkstoffe ist gegeben. Die anisotropen Kriechschädigungen werden mit einem zweistufigen Schadenstensor beschrieben. Zur Ermittlung der Materialkonstanten der Materialgleichung und Evolutionsgleichung werden einachsige Kriechversuche an Flachproben aus dem austenitischen Stahl X8 CrNiMoNb 16 16 durchgeführt.

---

     

Beitrag zur Theorie der elastischen Ringe mit Berücksichtigung der Wölbbehinderung

Ohne Zusammenfassung     

Über den Reziprozitätssatz in der Dynamik der elastischen Körper

Ohne Zusammenfassung     

Genäherte Berechnung von Wärmespannungen mit Hilfe der Variationsprinzipien der Elastostatik

Zusammenfassung Mit Hilfe von einfachen Näherungsansätzen, die in die, einem jeweiligen Problem zugehörigen Variationsintegrale eingeführt werden, kommt man im allgemeinen zu ausgezeichneten Approximationen. Neben der dem Ritzschen Verfahren entsprechenden Methode, Näherungsansätze bis auf willkürliche Konstanten vorzugeben, die dann aus Extremalbedingungen berechnet werden können, scheint vor allem das im letzten Abschnitt geschilderte Verfahren, das auf einfach lösbare Differentialgleichungen für die Näherungsfunktionen führt, eine besondere Bedeutung auch für andere Probleme der Elastizitätstheorie zu haben.Gekürzte Fassung einer von der Technischen Universität Berlin, Fakultät für Bauingenieurwesen, genehmigten Habilitationsarbeit. Der Verfasser spricht hiermit den Berichtern, Herrn Prof. I. Szabó und Herrn Prof. A. Teichmann seinen Dank aus.     

Einfluß der Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte auf den Wärmeübergang an der turbulent überströmten ebenen Platte

Zusammenfassung Der Einfluß der Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte auf den Wärmeübergang ist zur Zeit noch nicht befriedigend geklärt. Da Messungen des Wärmeübergangs stets mit mehr oder weniger großen Fehlern behaftet sind, und da der Einfluß der Temperaturabhängigkeit für die einzelnen Stoffwerte nicht getrennt untersucht werden kann, ist es experimentell praktisch nicht möglich, Korrekturfaktoren zu bestimmen. Es bleibt daher nur der Versuch, rechnerisch dieses Problem anzugehen, wobei es wichtig ist, Verfahren zu benutzen, die nicht zu lange Rechenzeiten erfordern, um eine große Anzahl von Parameterstudien durchzuführen.In einem früheren Aufsatz [2] wurde die Rechnung bei laminarer Grenzschichtströmung vorgestellt. Gegenstand dieser Arbeit ist die Untersuchung des Einflusses der Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte auf den Wärmeübergang bei turbulenter Plattengrenzschicht. Die Ergebnisse der Parameterstudien werden diskutiert und mit den bekannten Stoffwertkorrekturtermen von Zhukauskas [1], Sieder u. Tate [10] und Hufschmidt u. Bruck [11] verglichen.

---

Influence of temperature dependent physical properties on the heat transfer in the turbulent boundary layer of a parallel affluxed flat plate

The influence of temperature dependent properties on the heat transfer is not jet satisfying clarified. Measurements of heat transfer contain more or less great faults, and it is practically not possible to investigate the influence of the temperature dependence for particular physical properties separately. Therefore, the only possibility is to examine this problem numerically. Hereby it is important to use methods which don't require too much computing time in order to study a great number of parameters.In a former article [2] such a numerical method about the calculation of a laminar boundary layer was presented.The object of this paper is the investigation of the influence of temperature dependent properties on the heat transfer in the turbulent boundary layer. The results of the parameter studies will be discussed and compared with the well known correction terms from Zhukauskas [1], Sieder and Tate [10] and Hufschmidt and Brack [11].

---

Bezeichnungen c _p spezifische Wärmekapazität - dimensionslose Stromfunktion - l Mischungsweglänge - Nusseltsche Kennzahl - p Druck - Prandtlsche Kennzahl - turbulentePr-Zahl - Reynoldsche Kennzahl - T Temperatur - u,U Strömungsgeschwindigkeit inx-Richtung - Strömungsgeschwindigkeit iny-Richtung - Wärmeübergangskoeffizient - dimensionslosey-Koordinate - dimensionslose Temperatur - Dichte - dynamische Viskosität - _t , _q turbulente Austauschgrößen - kinematische Viskosität - Wärmeleitfähigkeit Indizes außerhalb der Grenzschicht - w an der Wand Vorgetragen auf der Sitzung des GVC-Fachausschusses Wärme- und Stoffübertragung am 15. 4. 1983 in Lindau     

Meßtechnische Besonderheiten des Kugelfall-Viskosimeters mit geneigtem Fallrohr,beobachtet bei der Messung der Druckabhängigkeit der Viskosität des Wassers

Zusammenfassung Es werden einige meßtechnische Ergebnisse, die bei der Messung der Druckabhängigkeit der Viskosität des Wassers mit demHöpper-Viskosimeter erhalten wurden, mitgeteilt. Der Einfluß verschiedener Wärmeausdehnungskoeffizienten von Kugel und Fallrohr wird behandelt und gezeigt, daß bei der Bestimmung der Temperaturabhängigkeit der Viskosität große systematische Fehler auftreten können. Aus viskosimetrischen Messungen wird bewiesen, daß das Fallrohr unter allseitiger Druckbelastung seinen Innendurchmesser so verkleinert, als ob es aus Vollmaterial bestände. Auch dieReynolds- Zahl der Strömung um die Kugel beeinflußt die Messung der Kugelfallzeit. Die dadurch verursachten Fehlermöglichkeiten werden an einem Beispiel erläutert.Nach einem Vortrag auf der gemeinsamen Tagung der Deutschen Rheologen-Vereinigung und der Deutschen Rheologischen Gesellschaft am 10./11. April 1961 in Bad Oeynhausen.     

Allgemeine Stabilitätstheorie der Schalen

Ohne Zusammenfassung     

Über ein Rotationsviskosimeter zur Messung der Druckabhängigkeit der Viskosität hochpolymerer Schmelzen

Ohne ZusammenfassungVortrag, gehalten auf der Rheologen-Tagung am 11. 4. 1961 in Bad Oeynhausen.Herrn Professor Dr.K.- H. Hellwege und Herrn Dr.W. Knappe danke ich für wertvolle Anregungen und Diskussionen.     

Ein interpolationsverfahren zur lösung der linearen gleichungssysteme,die bei der rationalen tschebyscheff-approximation auftreten

Ohne Zusammenfassung Vorgelegt von L.Collatz     

Wachstum der laminaren Grenzschicht an schräg angeströmten Zylindern bei Anfahrt aus der Ruhe

Ohne ZusammenfassungDie Arbeit entstand am Mathematischen Institut der Universität Freiburg i. Br., Abteilung Angewandte Mathematik. Sie wurde durch das Air Research and Development Command, United States Air Force finanziell gefördert.