浅谈对称性在概率论中的应用

<正>对称性通常指图形或物体关于某个点、直线或平面而言,在大小、形状、排列上具有的一一对偶关系.数学中的对称性既有图形、数式的对称,也有概念、命题、法则或结构的对称.数学中的对称性不仅是一种美的享受,也是一种数学思想和方法.如果在概率计算中有意识地利用事物的对称性,使思维与推理高度统一,不仅可以更好地把握事物的本质,还能简化解题过程,起到事半功倍的效果.例1设甲抛n+1次硬币,乙抛n次硬币,求甲所抛正面数多于乙所抛正面数的概     

谈谈数学命题的“具体化”与“特殊化”

在论证某些数学命题时,往往需要用数学符号、图形等将该命题的已知条件、求证的结论进行新的表述,我们不妨把这一过程称之为命题“具体化”。这种“具体化”过程既是数学论证的特殊要求,又有利于解题者根据“具体化”后的命题的某些直观性(特别是几何命题),寻找解题途径,用简洁的数学语言进行论证表述。在数学命题“具体化”的过程中,学生容易不自觉地加进某些新的条件,犯数学命题“特殊化”的逻辑错误。甚至现行中学教科书与教参书也有这类失误。下面举几个命题“具体化”与“特殊化”的例子,用以展示它们的区别。一、命题“具体化”的例子。高中《立体几何》(甲种本)第59页例2。     

对称与拿破仑三角形

在一个随意的图形中,发现一种规律,比如对称,是颇具迷惑力的.在证明一个命题时,如果我们能自觉地运用对称的观点,比如说轮换对称式,将会使我们的思考、运算、叙述容易得多。以拿破仑命名的拿破仑定理即是一例.     

一个三角恒等式的证明与应用

定理结构简洁、对称、优美，易于记忆且不超纲．在解题中如能灵活运用，可使解答简洁、流畅，赏心悦目．     

用面积法解题

用面积法解题就是根据题目给出的条件,利用等积变换原理有和关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题.所谓高效解题就是转化的环节少一些,不走弯路.有时我们选用面积法将问题转化,就能恰到好处地达到这一目的.     

重视对特殊图形的研究

平面几何学习的主要目的是培养学生空 间想象能力和逻辑思维能力,它也是数学竞赛 的重要内容.在命题和解题过程中要特别注意 对图形的各种形状和位置关系的研究,在使用 定理时应根据图形的形状判断题目是否具备 应用定理的条件,否则就可能出现错误,请看 下面的题目.     

感受对称美的力量——谈对称及其在初等数学中的应用

自从盘古氏开天辟地就已经阴阳剖分,继而有伏羲演八卦直到周易,讲究的就是阴阳对称,“一阴一阳之谓道”,太极图是最具对称性,有着丰富内涵的图形,是多方均衡对称的对立统一体.自人类文明开始,就认知对称是和谐、是美,对称的身影早已遍及我们生活的方方面面.1 对称与对称美对称,在现代汉语词典中解释为:指图形或物体对某个点、直线或平面而言,在大小、形状和排列上具有一一对应关系.对称,顾名思义就是两个东西相对又相称的意思,对称的直观表现即图形部分重叠或规则变化,进一步解释即图形在适当变化位置后产生重叠.用数学语言描述便是:对象在某种变换下的不变性.对称,就是事物的合理性.著名物理学家李政道在回答毛泽东的提问:“为什么‘对称’是你的一种指导思想,是你观点的核心”时,曾指出:“我所说的对称,就是平衡,它是指世界上一切事物,都处在它该处的位置上”.     

妙用圆心解题

圆是解析几何的基本图形之一,它既是中心对称图形,也是轴对称图形,圆的很多几何性质,如切线性质、垂径定理、共切线性质等都与圆心有关,在解决与圆有关的最值问题或轨迹问题时,抓住圆心,适时添加辅助线,不仅可为顺利得出解题思路扫除障碍、铺平道路,而且可大大简化计算,提高解题速度.     

两道高考压轴试题的趣解

笔者在解题过程中发现有这样两道高考压轴题,国家考试命题中心提供的解答都较为复杂,学生很不易想到,但若结合图形来分析,能很快找到解题思路,解答过程也相对容易很多,现介绍如下.     

对偶式——高中数学和谐与美妙的表达

对偶是一种修辞格,它是成对使用的两个文句.这两个文句字数相等,结构、词性大体相同,意义相关.这种对称的语言方式,形成表达形式上的整齐、和谐和内容上的相互映衬,具有独特的艺术效果.在数学解题过程中,如果能对数学式子结构进行对偶性分析,积极挖掘问题中隐含的对偶性,将数学的对称美与题目的条件和结论相结合,就能构建一组互为关联...     

挖掘隐含条件解题之管见

在某些数学命题的题设中,有时不明确地点明已知条件,或在明确条件中还可能隐去一两个条件,这种隐蔽在题设中的已知条件我们称之为“隐含条件”,对隐含条件学生解题时往往被忽视.造成解题错误或者解题过程繁琐,或认为题目缺少条件而束手无策,本文就如何挖掘和利用隐含条件来解题谈点体会.     

应用对称解客观题

<正>数学中有许多对称美,鉴于其对称之美,为了让同学们充分享受这种数学的对称美,尤其是图形的对称问题,备受命题者的青睐,屡次出现在各种考试中.而图形的对称及其直观的形式的根本就是中心对称和轴对称.为了更好地让同学们领略这种数学中的对称美,特将一些与图形有关的一些试题进行举例、求解,以飨读者.1.中心对称中心对称也称点对称,常表现为关于原点对称、奇函数性质、反比例函数性质等.     

浅析变更问题的一些常用策略

在寻求数学解题策略时,为追求捷径常需将问题作适当变更,以期简捷地获得解题通途。例如典型问题:“求证三角形的三条高线交于一点。”在初中平几教学中,这一问题是用过三角形的顶点A、B、C分别引对边的平行线,两两相交得新三角形A′B′C′,(如图)使原先的三高共点问题变更为较简单的求证三角形三边中垂线共点的问题,从而得到解决。这种解题策略可称为“变更问题法”。以下我们归纳一些常用的变更问题策略。一靠扰熟知的定理、公式和命题根据问题的特点,联想并利用熟知的定理、公式和命题,往住能将问题纳入似曾相识的轨道。     

初中代数中几个法则的逆用

在解题过程中,我们经常会遇到这样的问题:对于某些题目,直接顺用某些定理、法则或公式不易得出结论,但是通过这些定理、法则或公式的逆用(在可逆用的情况下),却会使我们的思路豁然开朗,解题过程大为简捷。因此在初中     

用面积法高效解题

用面积法解题是根据题目给出的条件,利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法.所谓高效解题是"走解题的直线距离",说白了,就是将转化的环节减少一些,少走弯路.     

图形运动问题中函数定义域的解法分析

“图形运动问题”常常是集代数、几何于一体,设计一个或几个动态元素,然后建立函数模型来求解的综合问题．这类综合性较强的运动问题已经成为近几年中考数学命题中的热点问题之一．通过学习、研究各地的中考、模拟考中的这类试题,发现解决问题的难点在于寻找其中的等量关系和变量关系．由于函数解析式的自变量的取值必须保证自身和函数都具有实际意义或几何意义,这时自变量的取值范围也就是函数的定义域的确定也成为解题的难点．现选取部分综合题中出现的定义域求解问题加以分析．     

对称多項式

“对称”,原来是几何中的概念。意思是說两个几何图形相对而相称。从一定的角度看去,这两个图形所处的地位是相同的。建筑图案以及某些艺术品往往由于具有一定的对称性而更觉美观。在解决几何問題时,对称性也往往起重要作用。代数中也有对称。一元n次方程的每一个根所处的地位也都彼此相同,把这个根或那个根叫做x_1是无关重要的。我們从这里得到了启发,要研究一元n次方程,就不能不考虑到它的根的对称性。这样,就很自然地产生了对称多項式的理論。以下我們将要初步地接触到这些理論,和它的簡单应用。一、对称多項式两个变量x_1,x_2的多項式F(x_1,x_2),如果把x_1換做x_2,把x_2換作x_1以后,得出多項式和原来的完全一样,也就是說,如果F(x_1,x_2)=F(x_2,x_1),就把F(x_1,x_2)     

应用韦达定理解题时必须注意的一个问题

韦达定理在代数、三角、解析几何的解题中有着广泛的应用。但从当前某些参考书及学生应用韦达定理解题的过程中发现,比较多的存在一个问题,即有些题目须在使用判别式验证是否有实根存在的情况下,才能应用韦达定理去解题而由于忽视了这一关键步骤,以至于在解题中出现这样或那样的错误,不仅在解代数题中存在,解几何问题也同样存在。现举几例如下: 例1当实数m为什么值时,方程(5m+1)x~2+(7m+3)x+3m=0的根为:(1)两个正实根;(2)略(北京     

运用广泛联想法解数学题

解数学题,就其本质而论,就是寻求命题的条件与结论之间的逻辑联系,整个解题的思维推理过程,实质上就是一系列的广泛联想过程。所以积极的、广泛的由此及彼、由表及里的联想,能沟通条件与结论的联系,为解题思路起开路搭桥的作用,从而能简捷准确地获得解题途径。广泛联想主要包含定向联想、双向联想、类似联想、对比联想和关系联想等。本文拟就此谈些粗浅认识。 一、定向联想。解题前,根据题意的要求,充分注意命题的结构、条件与结论的特点及图形的性质,以命题的     

配以对偶,柳暗花明——由一道试题的“特别奖”解法引发的思考

大家知道,数学中有许多问题有着和谐的对称美,如等差数列{an}的前n项顺序和与逆序和相加,由此巧妙地得到前n项求和公式.解题中如果能善于挖掘与利用这种和谐对称美,往往会有意想不到的收获,配以对偶这种解题技巧就是其中典型的一例.