Über einige Komplexboride von Übergangsmetallen

Zusammenfassung Dreistofflegierungen in dem Kombinationen {Mo, W}-{Fe, Co, Ni}-B; {V, Nb, Ta, Mo, W}-B-Al werden vornehmlich auf die Existenz von Komplexboriden hin untersucht. Die isotypen Phasen Mo₂CoB₂, Mo₂NiB₂, W₂FeB₂, W₂CoB₂ und W₂NiB₂ sind strukturell mit Mo₂FeB₂ verwandt, aber doch von dieser Phase verschieden. Gefunden werden außerdem die isotypen Phasen MoCoB und WCoB. Das Problem der -Phase wird diskutiert. In manchen Fällen tritt ein Zwischenzustand auf, der vermutlich durch Stapelfehler einer Unterzelle (c/3 in hexagonaler Aufstellung) hervorgerufen wird. Neben dem Auftreten ternärer Phasen bei Nb-B-Al und Ta-B-Al wird eine ausgeprägte Mischphasenbildung: (Nb, Al)B₂ und (Ta, Al)B₂ beobachtet. Der Dreistoff: Mo-B-Al ist durch die ternäre Phase MoBAl gekennzeichmet, ferner tritt der durch Al stabilisierte CrB-Typ auf (Mo_0,45B_0,50Al_0,05). Die Gleichgewichtsverhältnisse in denT-B-Al-Dreistoffen werden abgeschätzt.

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Alloys of the combinations {Mo, W}-{Fe, Co, Ni}-B, {V, Nb, Ta, Mo, W}-B-Al have been examined with respect to the existence of complex borides. The phases of the approximate formula Mo₂CoB₂, Mo₂NiB₂, W₂FeB₂, W₂CoB₂ and W₂NiB₂ have been found to be isotypic. They do however not correspond to Mo₂FeB₂ having U₃Si₂ structure. Two other complex borides of formula MoCoB and WCoB have been detected having the same crystal structure. The problem of the -phases which partially contain boron will be discussed considering the supposedly occurring stacking faults of a subcell unit (c=c/3 for hexagonal symmetry). Besides formation of ternary compounds for: Nb-B-Al and Ta-B-Al an extended solid solution (Nb, Al)B₂ and (Ta, Al)B₂ has been observed. The Mo-B-Al-system is characterized by the ternary phase of formula MoBAl. Mo-monoboride having CrB-type has been found to be stabilized by a small amount of Al, thus Mo_0,45B_0,50Al_0,05 being formed. The phase equilibria within the ternary systems have been established for the major part.

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Mit 4 Abbildungen     

Gamma radiolysis of Methyl Red solution and reaction induced by γ-irradiated NaCl in Methyl Red

The -radiolysis of Methyl Red solution in HCl medium at pH=2 has been studied along with energy transfer reaction brought about byF and hole centers of -irradiated NaCl. The G-values for degradation of the azo dye indicator by radiolysis and -irradiated salt were determined as 9·10^–1 and 4.8·10^–3, respectively. The kinetic rate constants (k) of degradation are evaluated as 2·10^–5 rad^–1 in the case of direct radiolysis, while for the irradiated salt it is 2·10^–7 rad^–1. The extent of degradation by direct -radiolysis is 100–200 times greater as compared to that by the -irradiated salt. The same mechanism is proposed for radiolysis as well as the reaction induced by -irradiated sodium chloride.     

On the use of a dead-time meter for pile-up corrections

Correction for pile-up losses in the amplifier is possible by the dead-time fraction indicator of the ADC in case of long-lived radionuclides. If the dead-time meter has been calibrated, an accuracy of 1.5% is feasible up to a dead-time fraction of 25%. The precision decreases from 1.5% at 10% dead-time fraction to 3% at a deadtime fraction of 30%.     

Determination of traces of sodium alkylbenzenesulphonate by high-performance liquid chromatography. Application to water

Summary For the trace determination of sodium alkylbenzenesulphonate (ABS) by HPLC the following conditions were employed: Shimadzu ZORBAX SIL Column (5 m, 4.6 mm i.d. x 150 mm) as stationary phase, 0.2% ammoniaethanol (v/v) as mobile phase, UV detector at 225 nm, injection volume 12 l. The chromatograms of ABS were simple and sharp (detection limit of ABS 0.02 g in 12 l of ethanol). The calibration curves of ABS were linear in a concentration range of 0.03 0.3 g in 12 l of ethanol. In the case of linear sodium dodecylbenzenesulphonate positive errors of 1 4% were caused by non-ionic surfactants or laurylsulphate (6 times excess), 10 50% positive errors were caused by 2 6 times excess of household detergents.Standard water samples containing ABS were treated with a weak base anion-exchange resin, the adsorbed ABS were eluted, and then determined either by HPLC or by the methylene blue spectrophotometric method. Recoveries of ABS in water were about 92 107% by HPLC.

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Bestimmung von Spuren Natriumalkylbenzolsulfonat mit Hilfe der HPLC. Anwendung auf Wasser

Zusammenfassung Für die Spurenbestimmung von Natriumalkylbenzolsulfonat (ABS) durch HPLC werden die folgenden Bedingungen empfohlen:Shimadzu ZORBAX SIL (5 m, 4,6 mm x 150 mm) als stationäre Phase, 0,2% Ammoniak/Ethanol als mobile Phase, UV-Detektor bei 225 nm, Injektionsvolumen 12 l. Die erhaltenen Chromatogramme sind einfach und scharf (Nachweisgrenze 0,02 g in 12 ml Ethanol). Die Eichkurven sind im Konzentrationsbereich von 0,03–0,3 g in 12 l Ethanol linear. Im Falle des linearen Natriumdodecylbenzolsulfonats werden bei Anwesenheit von nicht-ionischen oberflächenaktiven Substanzen oder von Laurylsulfat in 6fachem Überschuß positiver Fehler von 1–4% erhalten; bei 2–6fachem Überschuß von Haushaltswaschmitteln ergeben sich positive Fehler von 10–50%.Standard-Wasserproben werden zunächst einer Behandlung mit einem Anionenaustauscher unterzogen, die adsorbierten ABS eluiert und durch HPLC oder nach der Methylenblaumethode analysiert. Wiederfindungsraten liegen bei 92–107%.

     

Rate constants and mechanism of the reactions of N(4S) atoms with methane and ethane

The channel for the reaction of nitrogen atoms and methane yielding hydrogen atoms does not exceed 10% at 20C. The rate constant for the reaction of nitrogen atoms and ethane at 20C is (4 ± 2)·10^–16 cm³/sec.Translated from Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Seriya Khimicheskaya, No. 3, pp. 705–706, March, 1990.     

Simple screening method for the fast determination of clenbuterol in animal feeds

Summary A simple method for the determination of clenbuterol is described. It is extracted from the sample at pH 3 and then at pH 11, followed by partitioning the analyte into water at pH 3 and reextraction into ethyl acetate at pH 9. Clenbuterol is oxidized with KMnO₄ to clenbuteron for GC-determination. Recoveries for 0.01– 1.0 mg/kg were between 70% and 110% (standard deviation ±14%, n = 18).

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Eine einfache Screening-Methode zur schnellen Bestimmung von Clenbuterol in tierischen Futtermitteln

     

Determination of solid state basicity of rare earth oxides by thermal analysis of their carbonates

Relative basicities of the rare earth oxides (M₂O₃) were determined from the measurement by TG - DTA of decomposition temperatures of the carbonates of Ce, Pr, Sm, Eu, Gd, Tb, Dy, Ho, Er and Yb. From the comparison of this data with that published by Head and Holley, a sequence of basicity has been proposed for the entire range of rare earth oxides. This sequence in decreasing basicities is: La > Pr ~ Nd > Sm > Gd ~ Eu > Tb ~ Ho ~ Er > Dy Tm Yb Lu > Ce. Basicity of rare earth oxides, therefore, does not decrease progressively with an increase in atomic number.

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Zusammenfassung Die relative Basizität der Seltenerdenoxide (M₂O₃) wurde mittels der durch TG-DTA-Untersuchungen festgestellten Zersetzungstemperaturen der Karbonate folgender Metalle bestimmt: Ce, Pr, Sm,Eu, Gd, Tb, Dy, Ho, Er und Yb. Aufgrund eines Vergleiches der hier ermittelten Daten mit denen von Head und Holley wird für die Basizität der Seltenerdenoxide folgende Reihenfolge aufgestellt: La > Pr Nd > Sm > Gd Eu > Tb Ho Er > Dy Tm Yb Lu > Ce. Wie ersichtlich nimmt die Basizität der Seltenerdenoxide mit ansteigender Ordnungszahl nicht progressiv ab.

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This research forms part of a larger nationally coordinated program on natural gas conversion conducted in collaboration with the Divisions of Materials Science & Technology and Fuel Technology, and with BHP Melbourne Research Laboratories.

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The author is grateful to Dr E. Patsalides of Sydney University for his generous donation of eight rare-earth oxides. The author wishes to thank the colleagues for their contribution to this work: Mr K. Riley and Mr W. Godbeer (chemical analysis), Dr P. F. Nelson and Mr R. Quezada (FTIR analysis), Mr A. Home (XRD analysis), Mr S. P. Chatfield (thermal analysis) and the project leader, Mr R. J. Tyler for his constant encouragement and valuable suggestions.     

Die γ-Bestrahlung von synthetischem β-Carotin

Zusammenfassung Das feste -Carotin ist gegen -Strahlung ziemlich stabil. Bei Bestrahlung unter Sauerstoffbegasung treten deutliche -Carotin-Verluste erst bei der hohen Dosis von 12 Mrad auf; bei Bestrahlung an der Luft werden ähnliche Radiolyseerscheinungen erst durch wesentlich höhere Strahlendosen ausgelöst. Spaltungsprodukte, die bei 12 Mrad und Sauerstoffbegasung auftraten und dünnschichtchromatographisch aufgetrennt werden konnten, waren Isozeaxanthin, -Carotin-5,6-5, 6-diepoxid, -Carotin-5,8-5,8-diepoxid, -Apo-12-carotinal, -Apo-10-carotinal, 3,3,6-Trihydroxy--carotin-5,8-epoxid und Vitamin-A-Alkohol. Es ist bemerkenswert, daß ein Teil der Radiolyseprodukte (z. B. Vitamin-A₁-Alkohol, -Apo-12-carotinal und -Apo-10-carotinal) Vitamin-A-Wirksamkeit besitzt.

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The -Irradiation of synthetic -carotene. Some physico-chemical and thin-layer chromatographic studies of radiolysis products

Solid -carotene is remarkably stable to -irradiation. In an oxygen atmosphere doses as high as 12 Mrad were required to bring about significant losses of -carotene, whereas in air even larger doses had to be applied in order to effect a comparable degree of radiolysis. Cleavage products which arose in O₂ at a dose of 12 Mrad and which could be separated from each other by thin-layer chromatography were isozeaxanthin, -carotene-5,5-5,6-diepoxide, -apo-12-carotenal, -apo-10-carotenal, 3, 3, 6-trihydroxy--carotene-5,8-epoxide and vitamin A₁. It is notable that some of the radiolysis products (e.g., vitamin A₁, -apo-12-carotenal and -apo-10-carotenal) possess vitamin A activity.

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Herrn Prof. Dr.O. Hromatka zum 65. Geburtstag gewidmet.     

Kristalldaten und thermische Zersetzung der Modifikationen des Kaliumhydrogenjodats,KH(IO3)2

Zusammenfassung Die Kristalldaten der- und der-Modifikation des KH(JO₃)₂ wurden bestimmt; die von früheren Autoren angegebene rhombische-Modifikation konnte nicht aufgefunden werden. Bei der thermischen Zersetzung ergeben beide Kristallarten zunächst Wasser, dann I₂O₅ und O₂; es bleibt KI zurück. Als Zwischenstufe entsteht K₂I₄O₁₁. Die Temperaturen der DTA- und DTG-Spitzen zeigen bei der- und der-Modifikation sicher nachweisbare Unterschiede.

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The crystal data of the- and-modifications of KH(IO₃)₂ were determined. The rhombic-modification which has been described by earlier authors could not be obtained. In the course of thermal decomposition both crystal types release water, then I₂O₅ and O₂, leaving a residue of KI. As an intermediate, K₂I₄O₁₁ is formed. The temperatures of the DTA and DTG peaks of the- and-modifications, were found to be different.

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Résumé On a déterminé les données cristallographiques des modifications et de KH(IO₃)₂. On n'a pas pu retrouver la modification mentionnée par d'autres auteurs dans des travaux plus anciens. Lors de la décomposition thermique, les deux modifications cristallographiques perdent d'abord de l'eau, puis I₂O₅ et O₂; le résidu est constitué par KI. On décèle K₂I₄O₁₁ comme intermédiaire. Les températures des pics ATD et TGD des deux modifications montrent des différences marquées.

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- (IO₃)₂.- , . , I_{25 2}, KI. ₂I₄₁₁. - , , .

     

Studies of calciomagnetite phase by means of thermal analysis

Iron oxides doped with calcium occur in such natural metallurgical materials as sinters and lumps for the blast furnace process. In this work the Ca-doped magnetite phase Fe_3–y Ca _y O₄ with 0<y0.55 was produced and studied as a pattern phase for investigation of the magnetite phase in sinters.The synthesis process was studied by means of simultaneous thermal analysis, while the synthesized products were studied by diffraction analysis, scanning and optical microscopy, and spectral analysis in microareas.The solubility limits for Ca in magnetite were estimated, and an explanation of the shapes of the thermal curves was given.

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Zusammenfassung Mit Kalzium versetzte Eisenoxide kommen in natürlichen Metallurgiematerialien wie z. B. Sintererzen und Erzbrocken für die Hochofenverhüttung vor. In vorliegender Arbeit wird die kalziumversetzte Magnetitphase Fe_3–y Ca _y O₄ mit 0<y0.55 hergestellt und als Modellphase zur Untersuchung von Magnetitsintererzen studiert. Der Syntheseprozeß wurde mittels gleichzeitiger Thermoanalysen, die synthetisierten Produkte durch Diffraktionsanalysen, optischer und Scanningmikroskopie sowie Spektralanalyse im Mikrobereich untersucht. Die Löslichkeitsgrenzen von Kalzium in Magnetit wurden abgeschätzt und eine Erklärung für den Verlauf der thermischen Kurven gegeben.

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, , , . Fe_3–y Ca _y O₄ 0<y0,55 . , - , , . .

     

A rapid separation of Sr from Ca by solvent extraction with dicarbollides in the presence of EDTA and polyethylene glycols

A typical composition of the solvent extraction system suitable for a rapid separation (3 min shaking) of Ca and Sr (separation factors 5000) in both tracer and macroconcentrations involves: organic phase–0.11M Li-dicarbollide and 1.65% Slovafol 909 in a mixture of 40% vol. CCl₄ and 60% nitrobenzene; aqueous phase–0.15M EDTA, 0.1M (H, Li)Ac (acetate buffer), pH5.2. Replacing Slovafol 909 (suitable for the preconcentration of RdSr) by polyethylene glycol 400 enhances the distribution ratioD _Sr by a factor of 7 and by a factor of 2. Using Na salts instead of Li ones IowersD _Sr by a factor of 100 and does not affect the value. When separating macroamounts of Ca from Sr traces, care must be exercised to ensure the desired pH value and free EDTA concentration.     

On the entropies of glassy and monoclinic selenium at 0 K

The entropies of trigonal, monoclinic and glassy selenium are discussed based on the ATHAS data bank data and third law entropy considerations. Within the error limit both trigonal and monoclinic selenium have zero residual entropy at zero kelvin temperature. The residual entropy of glassy Se is similar in magnitude to other linear macromolecules.

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Zusammenfassung Basierend auf Daten der ATHAS-Datenbank und auf den dritten Hauptsatz der Thermodynamik basierenden Entropiebetrachtungen werden die Entropien von trigonalem, monoklinem und glasartigem Selen diskutiert. Beim absoluten Nullpunkt haben innerhalb der Fehlergrenzen sowohl das trigonale als auch das monokline Selen eine Restentropie von Null. Die Restentropie von glasartigem Selen ist größenordnungsmäßig gleich der anderer linearer Makromoleküle.

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, , ATHAS . , , . .

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This work was supported by the National Science Foundation, Polymers Program, Grant=DMR 83-17097.     

Effect of heating rate on the thermal decomposition of lead dioxide

Experimental data are presented on the kinetics and mechanism of PbO₂ decomposition at heating rates varying from 0 to 2.5 · 10³ °/sec. The studies were carried out with a time-of-flight mass spectrometer MSKH-4, a Paulik-Paulik-Erdey derivatograph and an X-ray diffractometer DRON-0.5At low heating rates (0 to 0.2 °/s) oxygen is evolved in four stages: PbO₂ PbO_1.56 PbO_1.44 PbO. At extremely high heating rates (2 · 10²–2.5 · 10³ °/s) the number of stages is reduced to two: PbO₂ PbO_1.4 PbO. An attempt is made to connect the observed change in the decomposition mechanism of PbO₂ with the crystal structure formation of the lead oxides.

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Zusammenfassung Versuchsergebnisse bezüglich der Kinetik und des Mechanismus der Zersetzung von PbO₂ bei Aufheizgeschwindigkeiten zwischen 0 und 2.5 · 10³°/s werden mitgeteilt. Die Untersuchungen wurden mittels eines time-of-flight Massenspektrometers MSKH-4, eines Derivatographen des Typs Paulik-Paulik-Erdey und eines Röntgendiffraktometers DRON-0.5 durchgeführt.Bei niedrigen Aufheizgeschwindigkeiten (0 bis 0.2 °/sec) wird Sauerstoff in vier Stufen entwickelt: PbO₂ PbO_1.56 PbO_1.44 PbO. Bei extrem hohen Aufheizgeschwindigkeiten (2 · 10² – 2.5 · 10³°/s) wird die Zahl der Stufen auf zwei herabgesetzt: PbO₂ PbO_1.4 PbO. Es wird versucht die beobachtete Ánderung in dem Zersetzungsmechanismus von PbO₂ mit der Kristallstrukturbildung der Bleioxide in Verbindung zu bringen.

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Résumé On présente des résultats expérimentaux concernant la cinétique et le mécanisme de la décomposition de PbO₂ pour des vitesses de chauffage allant de 0 à 2.5 · 10³°/s. Les études ont été effectuées à l'aide d'un spectromètre de masse du type MSKH-4, d'un Dérivatograph du type Paulik-Paulik-Erdey et d'un diffractomètre des rayons X du type DRON-0,5.Aux faibles vitesses de chauffage (0 à 0.2°/s) l'oxygène se dégage en quatre étapes: PbO₂ PbO_1.56 PbO_1.44 PbO. Aux vitesses de chauffage très élevées (2 · 10² à 2.5 · 10³°/s) le nombre des étapes se réduit à deux: PbO₂ PbO_1.4 PbO. On essaye de relier le changement observé dans le mécanisme de décomposition de PbO₂à la structure cristalline des oxydes de plomb.

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PbO₂ 2.5 · 10³°/c. — — MCX — 4, — — — 0.5. (0–0.2°/c) : PbO₂ PbO_1.56. PbO_1.44 PbO. (2 · 10²–2.5 · 10³°/c) : PbO₂ PbO_1.4 PbO. PbO₂ .

     

Percolation Effects on the Surface of a Polyimide Film Modified with Aqueous Solutions of an Alkali and Acid

A cluster structure of the surface of a polypyromellitimide film was studied by the electron microscopy and ATR IR spectroscopy methods at different steps of consecutive treatment with aqueous solutions of an alkali and acid. The effective size and fractal dimension D of polyamidoacid clusters, as well as the degree _s of the filling of the surface with the latter were calculated from the data of the electron microscopy as a function of the degree of imide group conversion into amidoacid units on the film surface. The _s and D parameters were shown to increase with a rise in : _s = 0.1–0.3 and D = 1.3–1.4 at < _cr and _s 0.6 and D 1.7 at > _cr, where _cr is a critical degree of conversion, which corresponds to the formation of a continuous physical network of polyamidoacid macromolecules or a percolation cluster. In a region close to _cr (at < _cr), the correlation length land the concentration C of the clusters vary according to the laws of the percolation theory for two-dimensional lattices: l (_cr – )^– and C (_cr – ), where = 1.3 ± 0.1 and = 0.67 ± 0.05.     

Non-Aqueous Capillary Electrophoresis with Indirect Photometric Detection for Direct Analysis of Pb2+, Zn2+ and Cd2+ Ions

A new approach, based on non-aqueous capillary electrophoresis separation and indirect photometric detection, was established for the determination of the transition metal ions Pb²⁺, Zn²⁺ and Cd²⁺. Under optimized conditions, the method produced baseline separation of these three metal ions. The linear range and detection limits were 1050µM, 1.9µM for Cd²⁺; 1050µM, 2.1µM for Zn²⁺; and 20100µM, 3.8µM for Pb²⁺, respectively.     

Kinetic study of the oxidation of isobutyraldehyde by aqueous chlorine

The kinetics of oxidation of isobutyraldehyde with aqueous chlorine has been investigated in 11.6 vol. % aqueous acetic acid. The reaction is first order with respect to both substrate and chlorine. Molecular chlorine is the principal oxidant. The influence of various factors, e.g. ionic strength, inorganic salts, D₂O and temperature on the initial rate has been studied. The activation parameters have been calculated and a possible mechanism is suggested.

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11,6% . , . . ( , , D₂O) . .

     

Study of nitric oxide interaction with the Pt(100) surface by electron energy loss spectroscopy

The adsorption and dissociation of nitric oxide on the Pt(100) surface have been studied using Electron Energy Loss Spectroscopy.

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Pt(100).

     

The effect of the network structure of the thermal properties ofcis-1,4-polyisoprene vulcanizates

The thermal properties ofcis-1,4-polyisoprene and its vulcanizates were investigated by means of thermal analysis and complementary methods. It was found that cross-linking generally increases the thermal stability of this elastomer, though distinct differences between peroxide and sulphur vulcanizates were observed. Polysulphide cross-links cleave readily at elevated temperature, and transform to cross-links of lower sulphidity, mainly disulphide. However, some of them are probably oxidized first to sulphoxides, and further to sulphenic or thiosulphoxylic acids. The products formed involve the ionic decomposition of the peroxides and thereby prevent the autocatalytic thermooxidative destruction ofcis-1,4-polyisoprene.

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Zusammenfassung Es wurden die thermischen Eigenschaften voncis-1,4-Polyisopren und dessen Vulkanisaten untersucht. Dabei wurden die Derivatographie und komplementäre analytische Methoden benutzt. Es wurde festgestellt, dass die Vernetzung im allgemeinen die thermische Stabilität von diesen Elastomeren erhöht, obwohl ein ausgeprägter Unterschied zwischen Peroxid- und Schwefelvulkanisaten beobachtet wurde. Die polysulfidischen Brücken wurden bei erhöhter Temperatur leicht gespalten und verwandeln sich in Brücken, die eine niedrigere Schwefelatomzahl besitzen und zwar hauptsächlich disulfidisch sind. Ein Teil der Schwefelatome wurde jedoch wahrscheínlich unter Bildung von Sulfin- und Thio-Sulfoxysäuren oxydiert. Diese Produkte verursachen ionische Zersetzung von Peroxiden und verhindern auf diese Weise die autokatalytische thermooxidative Zersetzung voncis-1,4-Polyisopren.

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-1,4- . , , , , . , , , . , , , . , -1,4 .

     

Structure Formation in Carbon Fibers in the Course of Flash High-Temperature Treatment

The size of coherent scattering regions formed in carbon fibers was studied as influenced by the preparation conditions of the initial polyacrylonitrile thread and conditions of preliminary (200°C) and flash high-temperature (2400 and 3200°C) thermomechanical treatments.     

Quantitative parameters by thermoanalytical methods

The conditions and premises of the kinetic evaluation of thermoanalytical curves on the basis of chemical kinetics are demonstrated, and the limits of their availability are pointed out. For reactions with an unclear structural and chemical course, some appropriate definitions of terms are proposed.The possibilities of the use of the inflection points of the reaction rate versus time curve are presented. New methods of determination of kinetic parameters are described, including the ratio of the degrees of reactionx, the ratio of the reaction ratesx and the ratio of the tangent slopesx at these points.

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Zusammenfassung Bedingungen und Voraussetzungen der kinetischen Auswertung thermoanalytischer Meßkurven auf der Basis der chemischen Kinetik werden dargestellt, gleichzeitig wird auf die Grenzen ihrer Gültigkeit hingewiesen. Für Reaktionen mit unklarem chemischem oder strukturellem Ablauf werden geeignete neue Bezeichnungen definiert.Die Möglichkeit zur Verwendung der Wendepunkte der Kurve Reaktionsgeschwindigkeit gegen Zeit vorgestellt. Neue Methoden werden beschrieben, die zur Bestimmung kinetischer Parameter das Verhältnis der Umsätzex ₁ x ₂, das Verhältnis der Reaktionsgeschwindigkeitenx ₁/x ₂, und das Verhältnis der Tangentensteigungenx ₁/x ₂ an den Wendepunkten verwenden.

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. . . — . , (x), () () .