两个三角不等式

定理１在任意△ＡＢＣ中，Ａ、Ｂ、Ｃ表示其三内角，则ｃｏｓ３Ａ＋ｃｏｓ３Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ≥３８．（等号当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时成立）证明由三角恒等式ｃｏｓ３Ａ＋ｃｏｓ３Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ＝（２Ｒ＋ｒ）３－３ｓ２ｒ４Ｒ３－１（Ｒ、ｒ、ｓ为△ＡＢＣ的外接圆半...     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年９月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０９１试证：ｃｏｓπ１３＋ｃｏｓ３π１３＋ｃｏｓ９π１３＝１＋１３４．证明记左边＝Ｉ，则Ｉ２＝ｃｏｓ２π１３＋ｃｏｓ２３π１３＋ｃｏｓ２９π１３＋２ｃｏｓπ１３ｃｏｓ３π１３＋ｃｏｓ３π１...     

一个三角恒等式的应用

一个三角恒等式的应用吴爱军（江西广播电视学校３３００２９）在《数学通报》１９９６年第４期４月号数学问题１００１题中，叶军、王申怀两位老师给出了下面一个三角恒等式：已知△ＡＢＣ中，三内角为Ａ，Ｂ，Ｃ，试证：ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｃ＋２ｃｏｓＡ...     

一个三角形恒等式在空间的推广

一个三角形恒等式在空间的推广李兴无（广东深圳宝安西乡中学５１８１０２）在《数学通报》１９９６年第４期３月号数学问题１００１题中，叶军、王申怀两位老师给出了一个三角形恒等式已知△ＡＢＣ中，试证：ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｃ＋２ｃｏｓＡ·ｃｏｓＢ·...     

一道三角题多解的辨析

有这样一道三角题：已知ｓｉｎ２α＝ｍ,ｃｏｓ２α＝ｎ,求ｔｇ（α＋π４）的值．集众多书刊的解法如下．解法１ｔｇ（α＋π４）＝１＋ｔｇα１－ｔｇα＝１＋ｓｉｎ２α１＋ｃｏｓ２α１－ｓｉｎ２α１＋ｃｏｓ２α＝１＋ｍ＋ｎ１－ｍ＋ｎ．解法２ｔｇ（α＋π４）＝...     

一类三角恒等式的统一推广

《数学通报》１９９７年第９期“一个三角恒等式的推广”一文中给出了如下一类三角恒等式：∑２ｎｋ＝１（ｓｉｎｋπ２ｎ＋１）２ｍ＝（２ｎ＋１）Ｃｍ２ｍ２２ｍ,（１）∑ｎｋ＝１（ｓｉｎｋπ２ｎ＋１）２ｍ＝（２ｎ＋１）Ｃｍ２ｍ２２ｍ＋１,（２）∑２ｎｋ＝１（ｃ...     

巧用函数单调性解赛题

函数ｆ（ｘ）在区间［ａ,ｂ］上单调增加（或单调减少）,又ｃ、ｄ∈［ａ,ｂ］上,若ｆ（ｃ）＝ｆ（ａ）,则有ｃ＝ｄ．１　求代数式的值例１　已知ｘ、ｙ∈［－π４,π４］,ａ∈Ｒ,且　ｘ３＋ｓｉｎｘ－２ａ＝０４ｙ３＋ｓｉｎｙｃｏｓｙ＋ａ＝０则ｃｏｓ（ｘ＋２ｙ）＝　　．（１９９４年全国高中数学竞赛题）解　由已知条件,可得　　ｘ３＋ｓｉｎｘ＝２ａ（－２ｙ）３＋ｓｉｎ（－２ｙ）＝２ａ故可设函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,则有ｆ（ｘ）＝ｆ（－２ｙ）＝２ａ．由于函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,在［－π２,π２］上是单…     

构造法简证一类三角不等式

１９９６年,周永良先生在全国第三届初等数学研究学术交流会论文集中提出如下三角不等式在锐角三角形ＡＢＣ中,有ｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）ｃｏｓＡ＋ｃｏｓ（Ｃ－Ａ）ｃｏｓＢ＋ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）ｃｏｓＣ≥６（１）ｃｏｓＡｃｏｓ（Ｂ－Ｃ）＋ｃｏｓＢｃｏｓ（Ｃ－Ａ）＋ｃｏｓ...     

周期究竟是多少?

周期究竟是多少？华志远（江苏省锡山市中学２１４１５４）第七届“希望杯”全国数学邀请赛（高二第一试）的选择题（４）：“函数ｙ＝ｃｓｃｘ·ｃｏｓ３ｘ－ｃｓｃｘ·ｃｏｓ５ｘ的最小正周期是：（Ａ）π４，（Ｂ）π２，（Ｃ）π，（Ｄ）２π．”的结果填（Ｂ）还是（...     

1999年全国高中联赛第三题的简解

题目　已知当ｘ∈［０,１］时,不等式ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０恒成立,试求θ的取值范围．这是１９９９年全国高中数学联合竞赛试题第三题,下面给出一种有别于“标准答案”的简单解法．解　若对一切ｘ∈［０,１］,恒有ｆ（ｘ）＝ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０,则　ｓｉｎθ＝ｆ（０）＞０,ｃｏｓθ＝ｆ（１）＞０,∴　２ｋπ＜θ＜２ｋπ＋π２,ｋ∈Ｚ．（１）又　ｆ（ｘ）＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）ｘ２－（１＋２ｓｉｎθ）ｘ＋ｓｉｎθ＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）［…     

全国各地市1998年高考模拟试题汇编

二、三角函数１．下列各三角函数式中，值为正数的是（）（Ａ）ｓｉｎ（－π４）．（Ｂ）ｃｏｓ２５０°（Ｃ）ｔｇ（－６７２°１０′）．（Ｄ）ｃｔｇ１１π３．２．α是第四象限的角，则下列三角函数的值为正的是（）（Ａ）ｓｉｎα．（Ｂ）ｃｏｓα．（Ｃ）ｔｇα．（...     

一个三角恒等式的推广的复数证明

《数学通报》１９９７年第９期“一个三角恒等式的推广”一文中的定理的证明过程较繁，若用复数证明则比较简便．此处对该定理的Ⅱ１作证明，其余各恒等式的证明与其类似．定理Ⅱ１若ｍ，ｎ，ｋ∈Ｎ，则当ｎ＞ｍ≥１时，有∑２ｎｋ＝１（ｃｏｓｋπ２ｎ＋１）２ｍ＝〔（１...     

同是平移异在何处

有这样两道与复数平移有关的习题：１．设复数ｚ在复平面上对应的点为Ｐ,将点Ｐ绕坐标原点逆时针方向旋转π４后,沿实轴正向平移１个单位,再向上平移１个单位得到点Ｑ,若点Ｑ与点Ｐ重合,求复数ｚ．上题学生中有以下两种解法．解法１　由复数运算的几何意义得：ｚ（ｃｏｓπ４＋ｉｓｉｎπ４）＋（１＋ｉ）＝ｚ,∴　ｚ＝－（１＋ｉ）２２＋２２ｉ－１＝－２２＋２＋２２ｉ．解法２　向量平移后仍等于原向量,故不必考虑平移,∴　ｚ（ｃｏｓπ４＋ｉｓｉｎπ４）＝ｚ,∴　ｚ＝０．２．一个向量顺时针旋转π３后,向右平移３个单位,再…     

新题征展(1)

Ａ．题组新编１．设函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ａｘ２－４ｘ＋ａ－３）．（１）若ｆ（ｘ）的定义域是Ｒ,则ａ的取值范围是　　;（２）若ｆ（ｘ）的值域是Ｒ,则ａ的取值范围是　　;（３）若ｆ（ｘ）在区间（－４,－１）上递减,则ａ的取值范围是　　．２．设０＜θ＜π．（１）若ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝１５,则ｔｇθ＝　　;（２）若ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝－１５,则ｔｇθ＝　　;（３）若ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝１５,则ｔｇθ＝　　;（４）若ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝－１５,则ｔｇθ＝　　．３．如图,向高为Ｈ的水瓶（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）、…     

一道常见三角习题的推广

笔者在做一道常见习题：“在△ＡＢＣ中，已知ｃｏｓ３Ａ＋ｃｏｓ３Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ＝１，求证：角Ａ、Ｂ、Ｃ中必有一角为２３π”时，意外地得到了该问题的一个推广，现把它整理出来，供大家教学时参考．命题设角Ａ、Ｂ、Ｃ满足Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，（１）若ｍ为奇数，则ｃｏ...     

利用单位圆求解三角题

利用单位圆求解三角题２２４ｚ００江苏射阳县中学生朱胜强根据｜ｓｉｎα｜≤１，｜ｃｏｓα｜≤１的特征，我们常可利用单位回来求解某些三角题．例１已知０≤α＜β＜γ＜２π，ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＋ｃｏｓγ＝０．ｓｉｎａ＋ｓｉｎβ＋ｓｉｎγ＝０，求β—ａ，γ－γ...     

用(a~2 b~2)(c~2 d~2)≥(ac bd)~2解三角题

高中《代数》（必修）下册第１５页第６题可改述为：（ａ２＋ｂ２）（ｃ２＋ｄ２）≥（ａｃ＋ｂｄ）２○＊当且仅当ａ／ｃ＝ｂ／ｄ时取等号．灵活巧妙地运用○＊式，可使某些三角问题简捷获解．例１已知Ａ，Ｂ都是锐角，且ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ－ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＝３／２，...     

用方程“asinx bcosx=c”有解的条件解题

三角方程ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ｃ有解的充要条件是ａ２＋ｂ２≥ｃ２．事实上,原方程可化成ｓｉｎｘａａ２＋ｂ２＋ｃｏｓｘｂａ２＋ｂ２＝ｃａ２＋ｂ２,即　ｓｉｎ（ｘ＋θ）＝ｃａ２＋ｂ２（其中ｔｇθ＝ｂａ）．由于｜ｓｉｎ（ｘ＋θ）｜≤１　知ｃａ２＋ｂ２≤１,即得ａ２＋ｂ２≥ｃ２．显见其逆亦真．利用此结论有时可简捷地解答一些类型的问题．例１　若关于ｘ的方程３＋２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ１＋２ｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ＝ｋ恒有实数解,求实数ｋ的取值范围．解　原方程可整理成（３ｋ－１）ｃｏｓｘ＋（２ｋ－２）ｓｉｎｘ＝３…     

一类有趣的三角不等式

最近,本文作者通过研究、探索,发现了一类新颖、奇特的三角不等式．定理１在△ＡＢＣ中,有ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＞３４．（１）证∵ｃｏｓＢ－Ｃ２－ｓｉｎＡ２＝２ｓｉｎＢ２ｓｉｎＣ２＞０,∴ｃｏｓＢ－Ｃ２＞ｓｉｎＡ２,∴ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓ...     

数形结合(续完)

数形结合（续完）晨旭例２５（１９８６年理科）当ｘ∈［－１，０］时，下面关系式正确的是（）（Ａ）π－ａｒｃｃｏｓ（－ｘ）＝ａｒｃｓｉｎ１－ｘ２．（Ｂ）π－ａｒｃｓｉｎ（－ｘ）＝ａｒｃｃｏｓ１－ｘ２．（Ｃ）π－ａｒｃｏｓｘ＝ａｒｃｓｉｎ１－ｘ２．（Ｄ）π...