楊輝弧矢公式質疑

在科舉大衆1954年5月號上,讀到許蒓舫所著介紹元代数學家郭守敬的文章,文中論及郭氏“弧矢割圓術”是由沈括“會圓公式”和楊輝“弧矢公式”合併變化而成,此說早見於李儼中國算學小史、中國算學史等書中,如此論証固屬正確,但其中“楊輝公式”一語,似頗有疑問之處。许李二先生所稱之“楊輝公式”,當即載於楊氏田畝比類乘除捷法一書中者,為參考之便,錄共題、術於下: [題]:圓田於內截弧矢田一段,弦長十二步、矢闊四步,問圓田元(原)徑幾步? [輝術曰]:半弦自乘為實,以矢除,而併矢,即圓田徑步也。 將此“輝術”譯成公式,就是:     

“勾股容圓”問題的解法

“設直角三角形的勾为a,股为b,弦为c,使切圓的直徑为d,求証:d=(2ab)/(a+b+c)是我国有名的勾股容圓問题,記載在“九章算术”内。这个問題的解法很多,一般用延長斜边c或一条直角边(a或b),使之等于此直角三角形三边之和;然后用相似三角形來解。現在我提出另一种解法:因为od为此直角形的內切圓,所以斜边c和內切圓直徑d之和一定等于二直角边a与b之和;用代数的恒等变形和勾股定理即可解出如下:     

从刘徽割圓談起

一、刘徽割圆术在华罗庚教授所写的“从祖冲之的圓周率談起”一书中指出:在一千多年以前祖冲之就已經知道: (ⅰ) 圆周率π,在3.1415926与3.1415927之間; (ⅱ) 以22/7作为π的約率,以355/113作为密率。他还提到:“这些結果是刘徽割圓术之后的重要发展。刘徽从圓内接正六边形起算,令边数一倍一倍地增加,即12,24,48,96,……,1536,……,因而逐个算出六边形,十二边形,二十四边形,……的面积,这些数值逐步逼近圓周率。刘徽方法的特点,是得出一批一个大于一个的数值,这样来一步一步地逼近圓周率。这方法是可以无限精密地逼近圓周率的。但每一次都比圆     

圓內接五角星的一种作圖法

圓內接五角星的作圖題应用很廣,我們的國旗就是其中的一例,怎样用圓規直尺作已知圓(假定已給圆心O及半徑r)的內接五角星,一般的中学幾何教本裹都講的,而且大都採取如下步驟:將半徑r作中外比分割,証明割下的大段 ((5~(1/2)-1)/2)r (1)是圓內接正十边形的一边長,利用这个長將圓周十等分,再自任一分點開始,順序每隔三个分點作弦,即可得出所求的五角星。有人对这个作法的道理,觉得不易領会,这裹試給出另一种作法,或許对一些同志們有點帮助。这个作法係根据下面的定理: “圓內接正五边形的一边、正十边形的一边和該圓的半徑作成一直角三角形,首者是弦,次者是勾     

十六世紀初叶中算家的弧矢形近似公式

51一知如图弧矢形(或弓形、万名兰下 C 占叨一70 一一. 占专时,专”寸, .一一石一‘ 2,,、,/、、ZS5声.、了‘、/丫一称圣、 C 己 l,2一3顺此次序,可纽体会做到S生二 口 b邪一70 .一一.其中b二矢,‘==弦.中国古代如九章算术,张丘建算耙,夏侯阳算握,称它做弧田或弓田.它的面积是因:(s)x,互、竺f=上、时,匀 12\2/占。一卜bZ 2 5~二布—“U,a I名、业l)c 到十六世耙初叶明王女素古今算学宝谧卷七(152的,曹另淤‘新征草,,称:(:):,立共斗了1、,tl、.51二一-.二二一,目」,.功=若一夕‘12\3/一70(s)、立牛合,“p半“又汀一譬时,旦叮(s)3,立拱几…     

再談圓內接五角星的作法

在已知圓內作內接五角星的方法,据我所知有兩种:一为將圓半徑分成中外比,用其中項將圓十等分,然后从任一分点起每隔三分点連結之,即得所求的五角星形(見吉西略夫著之高中平面几何教科書第二章正多边形和圓)。其二法是根据下面的定理:“圆內接正五边形一边的平方,等于其內接正十边形的一边与該圓半     

高考一题的巧解

题目(2006年重庆卷) (理)如图所示,单位圆中弧(?)的长为x,f(x)表示弧(?)与弦AB所围成的弓形面积的2倍,则函数y=f(x)的图像是( ).     

这条辅助线作法不妥

《几何》第二册P144有如下一段文字:“例水平放着的圆柱形排水管的截面半径是12cm,其中水面高为6cm,求截面上有水的弓形的面积(精确到1cm~2).解如图7—79,连结OA、OB,作弦AB的垂直平分线OD,垂足为D,交AB弧于点C,…”其中,“作弦AB的垂直平分线OD”不妥。为什么?“O”是已知圆圆心,即已知点;“AB”是已知弦,即已知线段,“作弦AB的垂直平分线OD”岂不是过已知点作已知线     

一个猜测的否定

对第43届普特南数学竞赛题“△~(1/2)(a_1,b_1,c_1)+△~(1/2)(a_2,b_2,c_2)≤△~(1/2)(a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2)”(其中△(a,b,c)表示以a,b,c为边长的三角形面积),该刊1989年第4期“一道竞赛题引起的猜测”一文中提出如下猜测:     

三角学

三角学为数学一门分科,是研究三角函数的性质及三角形的解法,且说明其应用平面三角是研究三角函数的性质及其相互关系,并用以说明三角形边与角之间的关系由此来解三角形。球面三角侧重于讨论球面图形的性质关系等(在球面三角形中三角和大于180°而小于540°),三角学在天文学。测地法,航海术中都有广泛的应用。三角学的创始人,据说是希腊的希帕克(公元前150年),后希腊天文学家托勒密运用托勒密定理,取圆内接四边形一边长等于直径,通过求弧所对的弦,得到了用两弧的弦来求两弧之差的弦的公式,相当于sin(α-β)的公式,并得出sin(α β)等和角公式。在希腊人已计算出二倍弧的弦长的基础上,印度人又求出它的一半即弧的正弦及正矢,在印度人阿利耶波多(公元500年左右)的著作中已有了余弦公式、阿拉伯人在印度人的影响下把希腊人在几何学方面的计算用代数方法表示出来,阿布尔·威发把每隔30°的!     

关于三角形面积周长平分弦最大（小）值的探讨

1　问题△ ABC中 ,∠ A、∠ B、∠ C的对边分别为 a、b、c,且 a相似文献   

現行高中平面几何課本里关于圓周長的一段“注意”的証明

在人民教育出版社出版的“高級中学課本平面几何”中,在用圓內接正多边形用边数加倍的方法,所得一列正多边形周長的極限来定义了圓周長之后,下面有一个注意,說:“实际上,只要从圓的任意一个內接多边形(不一定要是內接正多边形)出發,用任何方法(不一定用边数加倍的方法)使它的边数無限增加,各边無限縮短,那末这些多边形的周長也有一个     

古代算学家刘徽的极限观念

割圆术如所周知,是关于圆周率计算问题的讨论.该术载于“九章算术”第1章方田第32问之后.在我国古代,有一个较长的时期,认为圆周长和直径长之比是“周3径1”.即认为π=3,圆面积等于圆径平方的3/4,这当然是不正确的.我们知道:合于“周3径1”的不是圆周长,而是圆的内接正6边形的周长.刘徽指出了这个错误,并提出了他自己的计算方法--割圆术.他的方法就是:从已知的圆内接正多边形每边的长,用勾股弦定理求出内接边数加一倍的正多边形的边长.他从内接正6边形做起,依法求得正     

抛物线弦中点轨迹的一个重要结论

以下三道关于抛物线弦中点的轨迹问题引起了我的思考 ,即 :例 1　直线ｌ过抛物线 ｙ2 =4ｘ的顶点 ,与抛物线相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .例 2　直线ｌ过抛物线 ｙ2 =16ｘ的焦点 ,与抛物线相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .例 3　直线ｌ过 (0 ,4 )点 ,与抛物线ｘ2 =8ｙ相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .将以上三题的相关结果列表如下 :表 1　例 1,例 2 ,例 3的解答结果内容题号抛物线方程弦中点轨迹方程弦所过定点弦中点轨迹顶点抛物线通径弦中点轨迹通径例 1ｙ2 =4ｘ ｙ2 =2ｘ (0 ,0 ) (0 ,…     

一道IMO预选题的溯源及推广

第28届国际数学奥林匹克有如下一道预选题: 试证:若a、b、c是三角形的三边,且2s=a b c,则(1) 运用契贝雪夫不等式: 若序列a_1和b_1(i=1,2,…,n)为同序,即满足a_2≤a_2≤…≤a_m且b_1≤b_2≤…≤b_n或a_1≥a_2≥…≥a_n且b_1≥b_2≥…≥b_n 则若序列a_1和b_1(i=1,2,…,n)为反序,则上式中的不等号反向。     

弓形面积近似值公式又一証明

将弓形MA B CN熟限制地屡次平分完成△MBN,△M才B,△NBc,…,等三角形. 毅逐次所作之三角形之底与高分别为八h;bi,气;bZ,凡;…;bn,hn. RlJ弓形M才BCN的面积~ 1,,.。1,,.J_l,二今bh+2·二匕bl hl十4x二b。荡+二十 2一2“一2峨:一2二一2·厂礴石:一2,一2·杯不譬,二之值以b,h之关系代入得RlJ共+2”‘合”。h。+嘴~2、bZ+4h2 8h)’一2、~2一,bh+20b,h:+21b2乓+…+2找一1 bnhn+十,二bZ十4 hZ 8h·;/拱韶竺)’一誓毅弓形所在圆之半视为几剧 (夸)’一‘(2一”一产-同理·(普)2一“!(2一‘1’,·“bZ+4沪 8h化筒之得:片bZ十4 hZ 4b全+4…     

繁与简在于解法的选择

不久前,学校进行了一次考试,普遍认为最后一题过繁。原题如下: 设扇形AOB的半径为a,中心角为θ(锐角)。由A向半径OB引垂线AB_1,由垂足B_1引弦AB的平行钱交OA于A_1.再由A_l引半径OB的垂线AB_2,再由B_2引弦AB的平行线交OA于A_2,这样无限地反复地继续作下去。所得△ABB_1,△A_1B_1B_2,△A_nB_nB_(n+L)…的面积分别为S_1,S_2,S_3,…,s~n,…求所有这些三角形面积的和。     

关于椭圓矢径的几个定理及椭矢函数

为叙述方便起见,茲规定椭圆的中心在原点,长、短轴分别在x,y轴上,在x轴上的半轴用a表示,在y轴上的半轴用b表示。中心与椭圆上的点的联线称为矢径,用l表示。x轴的正半轴旋转角α(按习惯规定正负)能与l重合,则称α为矢径l的矢角。夹角为π/2的两条矢径称为共余矢径,用l与l_1表之。共轭直径上的两条矢径称为共轭矢径,用l与(?)表之。Ⅰ.关于椭圓矢径的几个定理     

ON INTERPOLATION BY S_2~1(△_(m,n)~((2)))

Let △_(m,n)~(2)be a subdivision of D:[a,b]×[c,d](Fig.1),_1arelengths of[a,b]and[c,d]respectively,and h_1=_1/m,h_2=_2/n.     

课外练习及参考答案

<正>初一年级1.(1)解方程■(2)如果a,b,c满足a²+2b²+2c²-2ab-2bc-6c+9=0,那么2021a-2022b+2023c=______.(湖北省麻城市中馆驿中心学校(中驿镇中)(438304)明国华)2．设有大中小3个等腰三角形,它们的底边长相等,腰长成等差,而且底边长就是这个差,分别以各边为一边作正方形,9个正方形的面积之和为2023,这样的3个等腰三角形是否存在?