齐性spin流形的椭圆亏格及theta函数的恒等式

由Witten刚性定理及Atiyah-Bott-Segal-Singer Lefschetz不动点公式, 齐性spin流形G/H的椭圆亏格可以由经典 Jacobi theta函数来表示. 由此我们导出几类 theta 函数的组合恒等式.     

图的最大亏格的一个性质

本文所考虑的图均指有限元向图，没有解释的术语和记号同[1]．一个图称为简单图如果不含重边及环．曲面S这里指一个紧的，连通的，2－维闭流形（定向或不可定向），其亏格记为g（S）．连通图G在曲面S上的一个2－胞腔嵌入意指存在一个1－1连续映射h：G→S使得S＼h（G）的每个连通分支与圆盘拓扑同胚．连通图G的定向亏格γ（G）（或不可定向亏格γ（G））是指最小的整数k使得G在亏格为k的定向（或不可走向）曲面S上有2－胞腔嵌入；而图G的最大定向亏格，也常称之为最大亏格，记为γM（G）,是指最大的整数k使得G在亏格为k定向曲面S上有…     

一类运算图的匹配数

设G是一个简单图,把G的每条边e=(a,b)变换成一个三角形ae^*b而得到一个新图,记为R (G), 其中新增加的顶点e^*的度为2.本文证明R (G)的匹配数完全由图G的顶点度序列确定.     

6p2阶的三度半对称图

正则图G 称为G-半对称图, 如果G 的自同构群A := AutG 有一个子群G在G 的边集上传递, 但在其点集上不传递, 特别地, 当G= A时Γ 称为半对称图. 本文旨在考察素数度的(G-)半对称图. 首先给出了素度数的(G-)半对称图的群论刻画, 其次对6p²阶的三度半对称图进行了完全分类, 其中p是奇素数.     

两类四正则图的完全亏格分布

一个图G的完全亏格多项式表征了图G的亏格(可定向,不可定向)分布情况.本文利用刘彦佩提出的嵌入的联树模型,得出了两类新的四正则图的完全亏格多项式,并推导出已有结果的两类图的完全亏格多项式.此处的结果形式更为简单.     

交错群A5的Cayley图同构的Li-Praeger猜想

设G是有限群, S是G＼{1}的子集,并满足S=S -1. 用X=Cay(G, S )表示G关于S的Cayley图. 称S为G的CI-子集, 如果对任意同构Cay(G, S )Cay(G, T )存在α∈Aut(G), 使得Sα=T .设m是正整数,称G为m-CI-群, 如果G的每个满足S =S -1和|S|≤m的子集S都是CI的. 证明了Li-Praeger猜想：交错群A₅是4- CI-群.     

几类图的pebbling数

金芳蓉定义了图 G上的一个 pebbling 移动是从一个顶点处移走两个pebble 而把其中的一个移到与其相邻的一个顶点上. 图G的pebbling数f(G)是最小的整数n, 使得不管n 个pebble 如何放置在G的顶点上, 总可以通过一系列的 pebbling 移动把一个pebble 移到 G的任一个顶点上. Graham 猜测对于任意的连通图G和H有f(G×H)≤f(G)f(H). 计算了两个扇图的积和两个轮图的积的pebbling数, 作为推论, 当G和H同时是扇图或轮图时, Graham 猜想成立.     

不含4圈的平面图的全色数

用Δ(G), χ_ve(G)分别表示图G的顶点最大度和全色数.Vizing猜想: 对任何 简单图G, Δ(G) +1≤χ_ve(G)≤Δ(G)+2. 即使对于平面图, 这一猜想仍未获得完整的证明, 唯一待完成的困难情形是Δ(G)=6. 本文证明:若Δ(G)=6的平面图G不含有4圈, 则χ_ve(G)≤8.这一结果和以前在该问题上的已知结果表明：对于不含有4圈的平面图，Vizing猜想是正确的.     

一类Block型Lie代数的最高权表示

对特征0的域F以及F的一个加法子群G, 一类Block型Lie代数B(G)定义为以{L_α,i,c|α ∈ G, -1≤ i∈Z}为基, 并满足关系 [L_α,i, L_β,j]=((i+1)β-(j+1)α)L_α+β,i+j+αδ_α,-βδ_i+j,-2c, [c,L_α,i]=0.给定群G上的一个与其群结构相融的全序以及任意的Λ∈B(G)_*⁰, 我们定义了B(G)上的Verma模M(Λ,), 并且完全决定了M(Λ,), 的可约性. 而且证明了B(Z)上的一个不可约最高权模是伪有限的当且仅当它是某个Verma 模的非平凡商模.     

图的全符号控制数

本文考虑的图G均为有限简单连通图, 是一个有顶点集合V边集合E的有限简单连通图，用V(G) 和E(G) 分别表示G的顶点集和边集. f 是一个从V(G)∪E(G)→{-1, 1}的函数. f 的权重定义为 w(f)=∑_{x∈V(G)∪E(G)}f(x). 对任一元素x∈V(G)∪E(G), 定义f[x]=∑_y∈NT[x]f(y). 图G的全符号控制函数f : V(G)∪ E(G)→{-1, 1}是一个对所有的x∈ V(G)∪ E(G), 都满足f[x]≥1的函数. G的所有全符号控制函数中最小的权定义为G 的全符号控制数，记作γ_s^*(G). 讨论了图的全符号控制数, 证明了图的全符号控制数的下界, 并对一些特殊的图类C_n 和P_n本文得到了全符号控制数的精确值.     

非正规 Cayley 图的两个充分条件及其应用

群G的Cayley图Cay(G, S)称为是正规的, 如果G的右正则表示R(G)在Cay(G, S)的全自同构群中正规. 给出了非正规 Cayley图的两个充分条件. 应用该结果, 构造了5个连通非正规Cayley图的无限类, 并决定了A₅的所有连通5度非正规 Cayley图,从而推广了徐明曜和徐尚进关于A₅的连通3、4度Cayley图正规性结果. 此外, 决定了A₅的所有连通5度非CI Cayley图.     

k-临界2k-连通图

图G 称为(n, k)-图, 如果对任一SÍ V(G) (|S|≤k)有k(G-S)=n-|S|, 其中k(G)表示G的连通度. Mader猜想当k≥3时K_2k+2-(1-因子)是惟一的(2k, k)-图. M. Kriesell 解决了k = 3, 4的特殊情形. 对k≥5的一般情形, 证明了该猜想成立.     

关于循环图的曲面嵌入

该文集中探讨循环图的曲面嵌入性质.决定了所有循环图的最小亏格(其中包括可定向亏格与不可定向亏格)和最大亏格.对于固定的整数l(≥3)和充分大的 自然数n,只有一种方式将4 -正则循环图C(n,l)嵌入到环面上使得其每一个面都是4 -边形.特别地,循环图$C(2l+2,l)$在加入若干条新边后可以同时将环面与Klein瓶进行三角剖分.     

系列平行图的除V*外的边覆盖划分

任意给定系列平行图G的一个顶点v^*, 则G的边集可划分为k=min {κ′(G)+1, δ(G)}个子集, 使得每一个边子集覆盖可能除v^*以外的所有顶点, 其中δ(G)为G的最小度, κ′(G)为G的边连通度. 另外, 证明了该结果是最好的可能, 并且通过此证明过程得到一个可找到该划分的多项式时间算法.     

扇图在曲面上嵌入的分类

图在曲面上嵌入的分类就是确定图在同一曲面上(不等价的)嵌入的数目.本文,利用刘彦佩提出的嵌入的联树模型,得到了双极图与扇图的关联曲面之间的关系,进而由已知结论的双极图的亏格分布和完全亏格分布推导出扇图的亏格分布和完全亏格分布,并给出了扇图在亏格为1-4的不可定向曲面上嵌入的个数的显式.     

图和有向图的测地数

图G内的任意两点u和v, u-v测地线是指u和v之间的最短路. I(u,v)表示 位于u-v测地线上所有点的集合, 对于子集SÍV(G), I(S)表示所有I(u,v)的并, 这里u,vÎ S. 图 G的测地数g(G)是使得I(S)=V(G)的点集S的最小基数. 对于有向图D, 类似地可定义g(D). 图G 的测地谱是G的所有定向图的测地数的集合, 记为S(G). G的下测地数g^-(G)=minS(G), 上测地数g⁺(G)=maxS(G). 文中主要研究了连通图G的g(G), g^-(G)和g⁺(G)之间的关系. 同时,还给出g(G)和g(G× K₂）相等的充分必要条件, 从而推广了 Chartrand, Harary 和 Zhang 的相关结论.     

两类花束图的部分对偶欧拉亏格多项式

[European J.Combin.,2020,86:Paper No.103084,20 pp.]在带子图中引入了部分对偶欧拉亏格多项式的概念,并给出插值猜想,即任意不可定向带子图的部分对偶欧拉亏格多项式是插值的.[European J.Combin.,2022,102:Paper No.103493,7 pp.]给出了两类反例否定了插值猜想,这两类花束图含有的侧面环只有一条或者两条不可定向环.本文是在[European J.Combin.,2022,102:Paper No.103493,7 pp.]的基础上,进一步计算其它两类花束图的部分对偶欧拉亏格多项式,其中一类是非插值的,它的侧面环有任意条不可定向环;而另一类是插值的,它的侧面环有任意条可定向环和不可定向环.     

图的三阶边连通度的优化问题

设F是图G的一个边子集,若G-F不连通且它的每个连通分支至少有3个顶点, 则称F为G的一个三阶边割. 若G有三阶边割, 把G的最小的三阶边割所含有的边数叫作G的三阶边连通度,记作λ₃(G). 研究λ₃(G)的优化问题, 首先引进λ₃(G)的极大性和超级性这两个组合优化概念,然后分别给出λ₃(G)实现极大性和超级性的Ore型充分条件. 这些概念和结果在网络可靠性分析中有重要应用.     

G(2m+1,m)的不可定向强最大亏格

图G的最大亏格指图G能嵌入到亏格为k的曲面的最大整数k.对于广义Petersen图G(2m 1,m),当m=1,4(mod 6),给出了最大亏格的表达式,对其余形,给出了不可定向强最大亏格的上界和下界.     

二部图中求正交于星的(g, f)-染色的一个多项式算法

令G是一个具有顶点集V(G)和边集 E(G)的二部图, 且令g和f是定义在 V(G)上的两个非负整数值函数,使得对每个顶点x∈V(G)都有g(x)≤f(x). G的一个(g,f)-染色是一个推广的边染色,它满足在每个顶点x每一种颜色至少出现g(x)次且至多出现f(x)次. 给出了求二部图中满足某些约束条件且具有最小颜色数的(g,f)-染色的一个多项式算法并证明了此结果是最好的可能.