Steady viscous flow between two porous disks

Zusammenfassung Die Strömung zwischen zwei porösen Scheiben in der Nähe der Symmetrieachse wird untersucht. Die Navier-Stokes'schen Gleichungen werden auf eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung dritter Ordnung reduziert, die mit Störungsmethoden für grosse Reynolds-Zahlen gelöst wird. Numerische Lösungen werden auch berechnet.     

Helical flow of an idealized elastico-viscous liquid (I)

Zusammenfassung Es wird die stationäre Spiralströmung einer Klasse von idealisierten zähelastischen Flüssigkeiten untersucht. Diese Strömung wird zwischen zwei unendlich langen koaxialen Zylindern erzeugt, wenn im Spalt ein Druckgradient parallel zur Achsenrichtung vorhanden ist und die Zylinder mit verschiedenen Winkelge-Achsenrichtung vorhanden ist und die Zylinder mit verschiedenen Winkelgeschwindigkeiten um ihre gemeinsame Achse rotieren. Es werden exakte Lösungen für das Geschwindigkeits- und Druckfeld angegeben, wobei Mittelwert und Maximalwert der Axialkomponente der Geschwindigkeit ebenfalls berechnet sind. Ferner wird die Berechnung des Durchflussvolumens pro Zeiteinheit und des notwendigen Drehmomentes pro Längeneinheit, um die Relativbewegung der Zylinder zueinander aufrechtzuerhalten, durchgeführt. Schliesslich wird noch die Gleichung der Spirale aufgestellt, die ein Flüssigkeiteilchen beschreibt. Die Diskussion des Geschwindigkeits- und Druckfeldes zeigt einige interessante Resultate im Vergleich zu einer ähnlichen Strömung einer rein zähen Flüssigkeit. Die Couette-Strömung und die koaxiale Rohrströmung werden als Spezialfälle der Spiralströmung diskutiert.     

Bounds on the transport of mass and momentum by turbulent flow between parallel plates

Zusammenfassung Es werden exakte Schranken für den Transport von Impuls in der turbulenten ebenen Couette-Strömung und für den Durchfluss in turbulenter Poiseuille Strömung abgeleitet. Eine der beiden jeweiligen Schranken ist durch den der laminaren Strömung entsprechenden Wert gegeben. Die andere Schranke wird mit Hilfe eines Variationsproblems bestimmt. Ähnliche Schranken lassen sich in anderen turbulenten Transportproblemen gewinnen. Das Variationsproblem enthält als Spezialfall das Reynolds-Orrsche Variationsproblem, durch welches eine untere Grenze für die Reynoldszahl bestimmt wird, unterhalb derer die laminare Strömung absolut stabil ist.     

Flow between torsionally oscillating disks rotating about different axes at different speeds

The flow of an incompressible viscous fluid confined between two parallel infinite disks performing torsional oscillations with the same frequency, but rotating about different axes with different speeds has been studied. The solutions are presented for the symmetric and asymmetric first harmonic and steady streaming. The interesting features of the symmetric and asymmetric flow are discussed for the cases of small and large Womersley parameter at different ratios of the rotation speeds. The forces acting on one of the disks are also calculated.

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Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wird die Strömung einer zwischen zwei parallelen, unendlichen Scheiben begrenzten, inkompressiblen, viskosen Flüssigkeit untersucht; die zwei Scheiben führen Torsionsschwingungen gleicher Frequenz aus, drehen sich aber um verschiedene Achsen mit verschiedenen Geschwindigkeiten. Lösungen werden gegeben für die symmetrische und asymmetrische, erste harmonische Oberschwingung und die stationäre Strömung. Die interessanten Eigenschaften der symmetrischen und asymmetrischen Strömung werden diskutiert für die Fälle von kleinem und großem Womersley-Parameter bei verschiedenen Verhältnissen der Drehgeschwindigkeiten. Außerdem werden die Kräfte berechnet, die auf eine der Scheiben einwirken.

     

The flow of a non-Newtonian liquid due to the symmetric rotation of a body of revolution,using a natural coordinate system

Summary This paper looks at the non-Newtonian flow between symmetric rotating bodies and it establishes the condition for a coordinate surface to coincide with a surface of constant angular velocity in the primary flow. Then using a natural coordinate system based on the primary flow the equation for the stream function, for the secondary flow, is given in a neat and compact form which is suitable for further analysis and also for numerical work.

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Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der nicht-Newtonischen Strömung zwischen symmetrischen sich drehenden Körpern; es wird die Bedingung aufgestellt dafür, dass eine Koordinaten-Oberfläche mit einer Oberfläche konstanter Winkelgeschwindigkeit in der primären Strömung zusammenfallen soll. Wenn ein natürliches, auf der primären Strömung beruhendes Koordinaten-System verwendet wird, dann ergibt sich die Gleichung für die Stromfunktion und für die sekundäre Strömung in einer geschlossenen Form, welche für weitere Analysen und auch für numerische Methoden geeignet ist.

     

Flow of an electrically conducting fluid past a porous flat plate in the presence of a transverse magnetic field

Zusammenfassung Für die Strömung einer inkompressiblen, zähen, elektrisch leitenden Flüssigkeit über eine poröse Platte werden die Gleichungen vonNavier undStokes, vonMaxwell und die Wärmeübertragungsgleichung integriert. Dabei wird vorausgesetzt, dass Flüssigkeit aus der porösen Platte austritt oder durch sie abgesogen wird. Man findet, dass sowohl die Geschwindigkeiten als auch die Schubspannungen mit steigender magnetischer Druckzahl für Absaugen und Ausblasen anwachsen. Das induzierte Feld an der Plattenoberfläche wird kleiner, wenn die Ausblasegeschwindigkeit abnimmt. Für den Grenzfall unendlicher elektrischer Leitfähigkeit wächst der Wärmeübergang mit der magnetischen Druckzahl im Falle des Ausblasens.     

Extension of a perturbation-expansion method to strong-interaction boundary-layer problems,with application to vorticity interaction

Zusammenfassung Eine Methode der Störungs-Entwicklungen wird modifiziert, um die Behandlung einer Klasse von Grenzschichtproblemen mit starker Wechselwirkung zu ermöglichen. Es wird für eine vereinfachte Hyperschallströmung um einen stumpfen Körper die Wirkung der Rotation in der freien Strömung auf die Grenzschicht untersucht. Die Wechselwirkungstheorie von Hayes ergibt sich als erste Näherung in dieser Systematik. Die Theorie von Hayes wird auch mit anderen Resultaten von asymptotischen Entwicklungen in Beziehung gebracht, die in dieser Arbeit dargelegt werden.     

Effects of high electrical conductivity in two-dimensional plasma flows

Zusammenfassung Der Einfluss endlicher elektrischer Leitfähigkeit auf die Kopplung zwischen Magnet-feld und Geschwindigkeitsvektor in einer ebenen, sonst dissipationsfreien Plasmaströmung wird theoretisch untersucht. Die Strömungsgleichungen werden mittels Reihenentwicklung nach negativen Potenzen der (hohen) magnetischen Reynoldszahl linearisiert. Als Lösung nullter Ordnung wird eine stationäre, zweidimensionale, dissipationsfreie Strömung durcy einen parallelen Kanal verwendet, die zur Klasse der «aligned-flow» problems,vB ₀, gehört. Das linearisierte Gleichungssystem lässt sich mit Hilfe geeigneter Transformationen durch eine TRICOMISCHE Differentialgleichung samt Rand-und Anfangsbedingungen für nur eine Strömungsvariable des gestörten Problems ersetzen, die der Diffusion des Magnet-felds aufgrund der endlichen Leitfähigkeit durch einen inhomogenen Term Rechnung trägt. Zur Lösung dieser Gleichung wird ein Integraltransformationsverfahren angegeben, das für eine grosse Klasse von über den Kanal variablen Magnetfeldern nullter Ordnung anwendbar ist. Ein solcher Fall wird explizit behandelt und es wird gezeigt, dass durch die Lösung alle anderen Strömungsvariablen 1. Ordnung eindeutig bestimmt sind. Für den Fall konstanten Magnetfeldes in nullter Ordnung lässt sich der Kontakt mit bestehender einschlägiger Literatur herstellen.     

Helical modes of instability in swirling flow between concentric cylinders

Zusammenfassung Die Stabilität einer reibungsfreien und schraubenartigen Strömung zwischen zwei konzentrischen Zylindern wird untersucht. Schranken für die Anfachungsgrösse und Fortpflanzungsgeschwindigkeit von nicht-rotationssymmetrischen Störungen sind abgeleitet und genaue Werte dieser Grössen für die Spezialfälle von Couette-Strömung zwischen einem ruhenden äusseren und einem drehenden inneren Zylinder mit zusätzlicher Axial-Geschwindigkeitskomponente, die lienare oder parabolische Funktionen der Radialrichtung sind, werden erhalten. Es ergibt sich, dass der Zusatz einer linear abhängenden axialen Geschwindigkeit destabilisierend wirkt, weil der Zusatz einer parabolischen Komponente stabilisierend ist. Die Maximalanfachungsgrössen befinden sich bei schraubenförmigen Störungen mit endlicher Steigung.     

Note on a Riegels-type integral

Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit befasst sich mit einer Klasse von Integralen, die bei der Untersuchung der Strömung um Ringflügel von elliptischem Querschnitt auftreten. Es wird gezeigt, dass sich die fraglichen Integrale mittels Riegels'scher und vollständiger elliptischer Integrale darstellen lassen, ferner werden Reihenentwicklung nach Potenzen des Moduls angegeben und Rekursionsformeln für die numerische Berechnung der Integrale mitgeteilt.     

On an integral method for backward boundary layers

Zusammenfassung Eine Integralmethode für die Lösung von zweidimensionalen Grenzschichtgleichungen wird entwickelt für Fälle, in denen die Lösungen sich anfänglich wie diejenigen von End-Grenzschichten benehmen. Diese Lösungen sind von Goldstein behandelt worden. Die bedeutendste Anwendung betrifft den Fall, wo ein zweidimensionaler Strom gegen eine Öffnung fliesst, durch welche die Flüssigkeit entleert wird. In erster Annäherung wird die Grenzschichtströmung für grosse Entfernungen von der Öffnung durch die Ähnlichkeitsgesetze der konvergenten Strömung in einem keilförmigen Kanal beschrieben. Um Strömungen dieser Art zu studieren, die über lange Entfernungen laufen, wird die Geschwindigkeit am Rande der Grenzschicht an Stelle der Entfernung längs der Grenzschicht als unabhängige Veränderliche eingeführt. Die beschriebene Methode wird auf den Fall der Strömung in Richtung eines Schlitzes angewendet, ausgehend von einem unendlichen Halbraum, ferner auf den Fall einer Strömung um eine endliche Platte, die senkrecht zur Strömungsrichtung steht. In beiden Beispielen ist die Potentialströmung in der Form des Kirchhoff-Rayleighschen Gesetzes angenommen, wobei die freien Stromlinien an die scharfen Kanten gebunden sind. Die Methode wird verallgemeinert, so dass sie für allgemeinere End-Grenzschichten benutzt werden kann. Die Resultate stimmen ausgezeichnet mit denen der Methode von Thwaites sowie mit den Ähnlichkeitslösungen von Falkner-Skan überein.     

Development of flow in the inlet length of a circular tube starting from rest

Zusammenfassung Auf der Grundlage linearisierter Navier-Stokes-Gleichungen wird die instationäre laminare Strömung einer reibungsbehafteten, inkompressiblen Flüssigkeit im Einlaufbereich eines kreisförmigen Rohres behandelt. Es wird angenommen, dass sich die Flüssigkeit zum Anfangszeitpunkt im Ruhezustand befindet und dass die Geschwindigkeitsverteilung im Einlaufquerschnitt eine bekannte Funktion der Zeit und des Radius ist. Es werden Formeln für die Längskomponente der Geschwindigkeit sowie für den Druckgradienten angegeben.     

Transient magnetohydrodynamic flow and heat transfer

Zusammenfassung Es wird die zeitabhängige Strömung einer elektrisch leitenden Flüssigkeit untersucht, die sich bei Gegenwart eines Quermagnetfeldes einstellt, und zwar wird die freie und die erzwungene Konvektion berechnet. Wenn die Wandtemperatur längs der Kanalachse linear variiert, werden die Grundgleichungen linear, was eine analytische Lösung ermöglicht. Unsteitigkeiten können entstehen durch Variationen des axialen Druckgradienten, der Wandtemperatur oder der inneren Energieerzeugung. Die Einflüsse der thermischen und magnetischen Prandtlzahl, der Hartmannzahl, der Rayleighzahl und der inneren Energieerzeugung auf die Strömung und den Wärmeübergang werden untersucht. Für grosse Werte vonRa undM und fürPr-Werte von der Grössenordnung 1 wird ein Schwingungsverhalten gefunden, dessen Periode stark von den genannten Parametern abhängt.

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Work performed under the auspices of the U.S. Atomic Energy Commission.     

Rotational-flow analysis of plane right-angle bends

Zusammenfassung Nach einem Verfahren, das als Methode der gefrorenen Wirbel bezeichnet wird, werden ebene Strömungen durch einen Krümmer berechnet. Der Grundgedanke des Verfahrens besteht darin, die Wirbelstärke näherungsweise als eine Funktion der Stromfunktion allein anzusetzen. Man wird so auf eine Poisson-Gleichung für die Stromfunktion geführt. Die Rechnungen werden durchgeführt für Geschwindigkeitsverteilungen im Eintrittsquerschnitt, die der ausgebildeten laminaren und turbulenten Strömung entsprechen. Am Beispiel der Laminarströmung wird der Einfluss vorgegebener Wirbelverteilungen und Ausflussbedingungen auf die Strömung in den verschiedenen Bereichen des durchströmten Raumes untersucht. Bei den Berechnungen mit Geschwindigkeitsprofilen, die der turbulenten Strömung entsprechen, wurden zudem die Einflüsse der Krümmung und der Art der Zuströmung betrachtet, wobei der Krümmungsradius vom 0,75fachen bis zum 4fachen der Kanalbreite variiert wurde. Das Verhältnis des Mittelwertes der Geschwindigkeit im Eintrittsquerschnitt zur Geschwindigkeit in der Mitte dieses Querschnittes erweist sich dabei als ein hydrodynamisch charakteristischer Parameter, während die Annahmen über die Geschwindigkeitsverteilung am Austritt nur von geringfügigem Einfluss sind. Bei scharfer Krümmung und ungleichmässigen Geschwindigkeitsprofilen tritt Strömungsablösung an der Aussenwand auf. Ablösungserscheinungen an der Innenwand — die praktisch beobachtet werden — liefert diese Theorie nicht, womit die Grenzen ihrer Anwendbarkeit in Erscheinung treten.     

A note on the stability of generalized Couette flow

Zusammenfassung Die Stabilität der laminaren Strömung zwischen zwei koaxialen Kreiszylindern, die durch Rotation des inneren Zylinders und Wirkung eines konstanten Druckgradienten in Umfangsrichtung erzeugt wird, wird untersucht mit Hilfe eines Näherungsverfahrens, welches nur die bekannten Stabilitätskriterien für Couette-Strömung zwischen zwei gegenrotierenden Zylindern und Poiseuille-Strömung in einem gekrümmten Kanal benutzt. Es ergibt sich dass solch eine Methode kritische Werte für das Auftreten der Instabilität liefert, die in guter Übereinstimmung mit denen vonDi Prima [2] sind und dass die Methode eine zufriedenstellende Erklärung für die ziemlich unerwartete Abhängigkeit des Taylor-Görtler-Parameters und der kritischen Wellenzahl von der Grösse des azimutalen Druckgradienten gibt.     

An integral representation for certain linearized magnetohydrodynamic flows in the plane

Zusammenfassung Die stationäre linearisierte magnetohydrodynamische Strömung durch einfache zweidimensionale «Körper» wird behandelt. Die Linearisierung der grundlegenden Gleichungen für die magnetohydrodynamische Strömung vollzieht sich in ähnlicher Weise wie in den von Oseen vorgeschlagenen Gleichungen für die gewöhnliche inkompressible Flüssigkeit. Auch wir setzen in dieser Arbeit die magnetische Prandtlzahl gleich eins.Ein gekoppeltes Paar von Integralgleichungen wird hergeleitet, dessen Lösung zu Ausdrücken für das magnetische, das geschwindigkeits- und das Druckfeld führt. Wir diskutieren diese Integralformulierung für den Fall einer Strömung um einen Kreiszylinder und für denjenigen einer Strömung um eine ebene Platte.

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This work was supported by the National Science Foundation under Grant GP 7641.     

On the steady flow of a Newtonian fluid between two parallel disk

Summary We show that the steady flow of a viscous fluid of moderate Reynolds number between two parallel disks has an exact solution which takes the form of a power series. Employing this exact solution the two-point boundary value problem for this class of flow is reduced to a nonlinear algebraic system which is then solved by a standard optimization method. Results are given for two particular cases, the continuous squeezing flow and the coaxial-disk flow.

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Zusammenfassung Wir zeigen, daß die ständige Strömung einer viskosen Flüssigkeit von mäßiger Reynoldszahl zwischen zwei parallelen Scheiben eine exakte Lösung hat, die die Form einer Potenzreihe annimmt. Wenn wir diese exakte Lösung anwenden, wird das Zwei-Punkte-Grenzwertproblem für diese Art von Strömung reduziert auf ein nichtlineares algebraisches System, das dann durch eine Optimierungsmethode gelöst werden kann. Angegeben werden Resultate für zwei Einzelfälle: die kontinuierliche Quetschströmung und die Strömung für Koaxialscheiben.

     

Refraction of a fluid at an interface between two anisotropic porous media

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die Strömung über eine Grenzfläche zwischen zwei anisotropen porösen Körpern betrachtet.     

An analysis of two-dimensional aligned-field magnetogasdynamic flows

Zusammenfassung Eine zähigkeitslose Flüssigkeit endlicher Leitfähigkeit wird in einem Zustand stationärer zweidimensionaler Bewegung betrachtet, d.h. der Geschwindigkeitsvektor besitzt eine Nullkomponente in einer bestimmten Richtung. Eine Analyse der Strömung wird vorgenommen, wenn die Magnet- und Geschwindigkeitsfelder überall parallel sind. Zwei mögliche Gruppen von Gebietsströmungen sind festzustellen: a) wo das Magnetfeld drallfrei ist, b) wo die Ladungsdichte überall null ist. Durch Anwendung komplexer Variabeln werden die allgemeinen Gleichungen in beiden Fällen beträchtlich vereinfacht; dadurch lassen sich die notwendigen parametrischen Formen der betreffenden physikalischen Grössen bestimmen. Dieses Verfahren lässt sich auch auf andere Arten von Strömungsfeldern anwenden.     

Unsteady low prandtl number heat transfer for flow across a flat plate

Zusammenfassung Es wird eine Erklärung gegeben für das Problem der stationären laminaren Strömung über eine ebene Platte unter der Bedingung einer unstetigen Änderung der Oberflächentemperatur. Ergebnisse für die unstetige Wärmeübertragung werden gegeben, die sich auf Flüssigkeiten von niedriger Prandtlzahl beziehen. Abbildung 2 zeigt die Änderung des Verhältnisses der augenblicklichen Wärmeübertragung zum asymptotischen Grenzwert für eine Prandtlzahl von 0,01.

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This research was supported by the National Science Foundation through Grant G-1487 5.