Ricerche di Calcolo delle Variazioni

Sunto L'Autore mostra dapprima come sia possibile il sostituire, in un caso particolare, la funzione con un' altra più semplice; inoltre come mediante questa nuova funzione, oltre che mediante la funzioneE diWeierstrass, sia possibile applicare i metodi diretti del prof.Tonelli alla ricerca dell'estremo di un integrale della forma ds. Infine mostra, per tale caso particolare, un'interessante conseguenza geometrica delle equazioni diEulero.     

Sopra un principio di trasformazione integrale dei problemi differenziali ed alcune sue applicazioni

Sunto Sviluppando ampiamente un'idea diWhittaker, si studiano trasformazioni del tipo che mutano le soluzioni di una equazione differenziale lineareL _tx+λM _tx=0, appartenenti ad una classe lineare (G), opportunamente precisata, in soluzioni di una seconda equazione differenzialeP _uy+λQ _uy=0, appartenenti ad un'altra classe lineare (Γ). Il primo problema si suppone autoaggiunto. Il nucleo K è una soluzione dell'equazione (L _t Q _u −M _t P _u)K=0, di classe (G) come funzione di t, di classe (Γ) come funzione di u. Il procedimento permette di stabilire proprietà integrali in base a sole verifiche qualitative; ne vengono fatte applicazioni alle funzioni diMathieue diBessele ai polinomi diLegendree diHermite. A Mauro Picone nel suo 70^mo compleanno.     

Sui teoremi Tauberiani

Sunto Riprendendo noti procedimenti che studiano le condizioni da aggiungere alla relazione limite -suA(u)du → 0, pers → + 0, perchè ne seguaA(x) → 0, perx → + ∞, si introducono le semplici nozioni di scarto Tauberiano superiore e scarto Tauberiano inferiore relativi a un insieme illimitatoE del semiasse realex ≧ 0. Tali nozioni ci permettono di formulare un teorema generale che dà notizia sull'andamento diA(x) perx → + ∞ suE; tale teorema ha una forma adatta per l'applicazione alle serie aventi struttura lacunare.     

I sottogruppi del gruppo modulare con coefficienti del corpo di Jacobi-Eisenstein e un teorema sui gruppi finiti

Sommario Introduzione — § 1 – 1. L'indice μ(n) dei sottogruppi Г_μ(n) del gruppo Γ di sostituzioni lineari unimodulari con coefficienti del campo diJacobi-Eisenstein — 2. Il poliedro fondamentale del sottogruppo Г_μ(1−ε) — § 2 – 3. I campi fondamentali dei gruppi Г_μ(n) — 4. Impossibilità di limitare con un numero finito di piani e sfere di riflessione i poliedri fondamentali dei gruppi Г_μ(n), conn intero razionale pari, diverso da 2 — § 3 – 5. Relazioni fondamentali fra le sostituzioni generatrici del gruppo di sostituzioni lineari con coefficienti del corpo K_ε con determinante ±1 — § 4 – 6. Sulla indipendenza delle sostituzioniS,T,U, generatrici del gruppo finito G_2μ(n) e sulle loro relazioni caratteristiche nel gruppo G_2μ(n) — § 5 – 7. Dimostrazione del teorema fondamentale sui gruppi G_2μ(n). Lemmi preliminari — 8, Dimostrazione del teorema fondamentale nel caso di moduli primi con 2(1−ε) — § 6 – 9. Il teorema fondamentale per i modulim(1−ε), 3m, 2m, 2m(1−ε), 6m conm primo con 6 – 10. Immagine geometrica dei gruppi G_2μ(1−ε) — § 7 – 11. Il gruppo delle sostituzioni unimodulari , [c/1+4ma]=+1, e il caso eccezionale dei moduli 4m – 12. Il gruppo delle sostituzioni unimodulari [c/1+3m(1−ε)a]₃=+1 e il caso eccezionale dei moduli 3(1−ε)m.     

Una generalizzazione,per le serie,del metodo di sommazione di Nikola Obrechkoff nella teoria del prolungamento analitico

Sunto In questa Memoria viene posto un nuovo procedimento di sommazione, per ogni a raggio di convergenza ≠ 0, della serie Σ a_nzⁿ determinando il campo (includente il cerchio di convergenza) in cui è, essendo λ intero l'ordine di sommazione , uniformemente (p₁, p₂, ... ps_n sono tutti i numeri dispari positivi ≤ n; q₁, q₂, ... qr_n i numeri positivi pari ≤ n, con q₁=0). Questo campo di sommabilità tende per λ → ∞, ampliandosi, ad un campo limite che abbraccia completamente il campo limite a cui ampliandosi tende il campo di sommabilità, quando λ → ∞, relativo al metodo semplice di N. Obrechkoff; con questo ultimo si somma la ogni qualvolta è .     

Optimal estimates on rotation number of almost periodic systems

In this paper, we will give some optimal estimates on the rotation number of the linear equation $\ifmmode\expandafter\ddot\else\expandafter\"\fi{x} + p(t)x = 0,$\ifmmode\expandafter\ddot\else\expandafter\"\fi{x} + p(t)x = 0, and that of the asymmetric equation: $\ifmmode\expandafter\ddot\else\expandafter\"\fi{x} + p(t)x_{ + } + q(t)x_{ - } = 0,$\ifmmode\expandafter\ddot\else\expandafter\"\fi{x} + p(t)x_{ + } + q(t)x_{ - } = 0, where p(t) and q(t) are almost periodic functions and x ₊ = max{ x,0} ,  x _- = min{ x,0} .x_{ + } = \max \{ x,0\} ,\;x_{ - } = \min \{ x,0\} . These estimates are obtained by introducing some kind of new norms in the spaces of almost periodic functions.     

Sui prodotti completi contenenti prodotti di gruppi permutabili

Sunto In un precedente lavoro sono stati determinati i gruppi G = AB, (con A e B fra loro permutabili ed isomorfi rispettivamente a due gruppi dati A* e B*) come sottogruppi, di un certo tipo, di un prodotto completo di due gruppi di sostituzioni, noti a partire dai dati. Qui si mostra che in alcuni casi tali gruppi G = AB sono contenuti in un prodotto completo che è un sottogruppo di , che in altri casi tale riduzione non è possibile, ed infine si assegnano condizioni necessarie e sufficienti e condizioni solo sufficienti affinchè tale riduzione sia la massima possibile. Si considerano questi problemi prima nel caso in cui A e B hanno in comune solo l’unità e poi nel caso generale, in cui A e B hanno in comune un sottogruppo proprio. Nell’ultima parte del lavoro si danno alcune estensioni del problema dell’ampliamento che si scinde.     

Sul problema di Goursat per le equazioni del tipo iperbolico non lineari

Sunto Si considera l'equazione alle derivate parziali del secondo ordinedi tipo iperbolico non lineare: (1) F(x, y; z; p, q; r, s, t)=0 (F _s ²−4F _r F _t >0). Per tale equazione si risolvecon un nuovo metodo il problema di Goursat, cioè si dimostra cheesiste uno e un solo integrale della (1), che assume valori assegnati su due archi di curve passanti per uno stesso punto. Si considerano separatamente il caso in cui le due curve si incrociano nel punto commune e quello in cui hanno un estremo in comune, e si studia il campo d'esistenza dell'integrale.     

Some properties for a class of symmetric functions with applications

For x = (x ₁, x ₂, ..., x _n ) ∈ ℝ₊ ⁿ , the symmetric function ψ _n (x, r) is defined by $\psi _n (x,r) = \psi _n \left( {x_1 ,x_2 , \cdots ,x_n ;r} \right) = \sum\limits_{1 \leqslant i_1 < i_2 \cdots < i_r \leqslant n} {\prod\limits_{j = 1}^r {\frac{{1 + x_{i_j } }} {{x_{i_j } }}} } ,$\psi _n (x,r) = \psi _n \left( {x_1 ,x_2 , \cdots ,x_n ;r} \right) = \sum\limits_{1 \leqslant i_1 < i_2 \cdots < i_r \leqslant n} {\prod\limits_{j = 1}^r {\frac{{1 + x_{i_j } }} {{x_{i_j } }}} } ,     

Sugli insiemi di Baire e la compattificazione

Sunto Sia ê un insieme compatto e E un sottoinsieme denso in E. Si tratta di caratterizzare E come insieme diBaire in ê. La caratterizzazione è data per tre casi: E è aperto; E è un F_σ; E è un G_δ, G_n, dove ogni G_n aperto è un F_σ. A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo scientifico. Questo lavoro è stato preparato con la sovvenzione della National Science Foundation, Grant 14357.     

Lower bounds at infinity of solutions of partial differential equations in the exterior of a proper cone

An extension of a classical theorem of Rellich to the exterior of a closed proper convex cone is proved: Let Γ be a closed convex proper cone inR ⁿ and −Γ′ be the antipodes of the dual cone of Γ. Let be a partial differential operator with constant coefficients inR ⁿ, whereQ(ζ)≠0 onR ⁿ−iΓ′ andP _i is an irreducible polynomial with real coefficients. Assume that the closure of each connected component of the set {ζ∈R ⁿ−iΓ′;P _j(ζ)=0, gradP _j(ζ)≠0} contains some real point on which gradP _j≠0 and gradP _j∉Γ∪(−Γ). LetC be an open cone inR ⁿ−Γ containing both normal directions at some such point, and intersecting each normal plane of every manifold contained in {ξ∈R ⁿ;P(ξ)=0}. Ifu∈ℒ′∩L _loc ² (R ⁿ−Γ) and the support ofP(−i∂/∂x)u is contained in Γ, then the condition implies that the support ofu is contained in Γ.     

Sugli zeri delle funzioni zeta di Dedekind

Riassunto Scopo di questo lavoro è dare una formula asintotica per il numero degli zeri di ReF _K(λ+it) e di ImF _K(λ+it), dove eζ _K(8) è la funzione zeta di Dedekind associata al campo numericoK, con 0<t<T e λ numero reale fissato tale che 1−1/n<λ<1 doven è il grado diK.

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Summary The aim of this paper is to give an asymptotic formula for the number of zeros of ReF _K(λ+it) and ImF _K(λ+it), where andζ _K(8) is the Dedekind zeta function for a number fieldK, with 0<t<T and λ fixed real number such that 1−1/n<λ<1, wheren is the degree ofK.

     

Precise rate in the law of iterated logarithm for <Emphasis Type="Italic">ρ</Emphasis>-mixing sequence

Let {X, X _n;n≥1} be a strictly stationary sequence of ρ-mixing random variables with mean zero and finite variance. Set . Suppose lim _n→∞ and , where d=2, if −1<b<0 and d>2(b+1), if b≥0. It is proved that, for any b>−1,

INJECTIVE MAPS ON PRIMITIVE SEQUENCES OVER Z/（p^e）

Let Z/(pe) be the integer residue ring modulo pe with p an odd prime and integer e ≥ 3. For a sequence (a) over Z/(pe), there is a unique p-adic decomposition (a) = (a)0 (a)1·p … (a)e-1 ·pe-1, where each (a)i can be regarded as a sequence over Z/(p), 0 ≤ i ≤ e - 1. Let f(x) be a primitive polynomial over Z/(pe) and G' (f(x), pe) the set of all primitive sequences generated by f(x) over Z/(pe). For μ(x) ∈ Z/(p)[x] with deg(μ(x)) ≥ 2 and gcd(1 deg(μ(x)),p- 1) = 1,set ψe-1 (x0, x1,…, xe-1) = xe-1·[ μ(xe-2) ηe-3 (x0, x1,…, xe-3)] ηe-2 (x0, x1,…, xe-2),which is a function of e variables over Z/(p). Then the compressing map ψe-1: G'(f(x),pe) → (Z/(p))∞,(a) (→)ψe-1((a)0, (a)1,… ,(a)e-1) is injective. That is, for (a), (b) ∈ G' (f(x), pe), (a) = (b) if and only if ψe - 1 ((a)0, (a)1,… , (a)e - 1) =ψe - 1 ((b)0,(b)1,… ,(b)e-1). As for the case of e = 2, similar result is also given. Furthermore, if functions ψe-1 and ψe-1 over Z/(p) are both of the above form and satisfy ψe-1((a)0,(a)1,… ,(a)e-1) = ψe-1((b)0,(b)1,… ,(b)e-1) for (a),(b) ∈ G'(f(x),pe), the relations between (a) and (b), ψe-1 and ψe-1 are discussed.     

Sui minimi prodotti completi contenenti prodotti di gruppi permutabili

Sunto Dati due gruppi A* e B* e due loro sottogruppi I _A ^* ed I _B ^* fra loro isomorfi in un certo isomorfismo ω si considerano i gruppi G=AB con A e B permutabili fra di loro ed isomorfi rispettivamente ad A* e B* in modo che I=A∩B sia isomorfo ed I*_A ed I*_B. Si caratterizzano, in base alla struttura dei gruppi dati, certi gruppi prodotto completo nei quali sono contenuti (come sottogruppi di tipo ben definito) i suddetti gruppi G=AB (e ciò sotto alcune ipotesi per A* e B*, che valgono sempre quando A* e B* sono gruppi finiti). Si illustra poi qualche caso in cui i precedenti gruppi risultano prodotti completi minimi in cui siano contenuti i gruppi G=AB.     

Multidimensional analog of the Hardy condition for power series

In the middle of the 20th century Hardy obtained a condition which must be imposed on a formal power series f(x) with positive coefficients in order that the series f ⁻¹(x) = $ \sum\limits_{n = 0}^\infty {b_n x^n } $ \sum\limits_{n = 0}^\infty {b_n x^n } b _n x ⁿ be such that b ₀ > 0 and b _n ≤ 0, n ≥ 1. In this paper we find conditions which must be imposed on a multidimensional series f(x ₁, x ₂, …, x _m ) with positive coefficients in order that the series f ⁻¹(x ₁, x ₂, …, x _m ) = $ \sum i_1 ,i_2 , \ldots ,i_m \geqslant 0^b i_1 ,i_2 , \ldots ,i_m ^{x_1^{i_1 } x_2^{i_2 } \ldots x_m^{i_m } } $ \sum i_1 ,i_2 , \ldots ,i_m \geqslant 0^b i_1 ,i_2 , \ldots ,i_m ^{x_1^{i_1 } x_2^{i_2 } \ldots x_m^{i_m } } satisfies the property b _{0, …, 0} > 0, $ bi_1 ,i_2 , \ldots ,i_m $ bi_1 ,i_2 , \ldots ,i_m ≤ 0, i ₁² + i ₂² + … + i _m ² > 0, which is similar to the one-dimensional case.     

The mixed boundary value problem for degenerate quasilinear parabolic equations

Let Ω⊂R ⁿ (n≥2) be a bounded open set;Q _T =Ω×[0,T],S _T =δΩ×[0,T],S ₁,S ₂ be the partial boundaries of Ω andS ₁∪S ₂=δΩ,S ₁∩S ₂=Φ. We denote Γ_1.T =S ₁×[0,T], Γ_2.T =S ₂×[0,T], and consider the problem

An Inertial Proximal Algorithm with Dry Friction: Finite Convergence Results

Let H be a Hilbert space and A, B: H ⇉ H two maximal monotone operators. In this paper, we investigate the properties of the following proximal type algorithm:

Small zeros of additive forms in several variables

Letf(X) be an additive form defined by