三角形面积的三阶行列式公式及其应用

<正>《高中二年级第一学期数学课本》(上海教育出版社)的第9.4节三阶行列式中例2:在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),则△ABC的面积公式为:     

“重合”在解析几何解题中的应用

“重合”是数学解题中的一种思考方法,本文通过一些例子来说明“重合”在解析几何解题中的某些应用。 1.点重合的应用 (1)共点问题例1 求证:任意四边形ABCD两双对边中点连线BC、FH和对角线AC、BD中点M、N的连线相交于一点。证明设A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)、C(x_3,y_3)、D(x_4,y_4),则E((x_1 x_2)/2,(y_1 y_2)/2),G((x_3 x_4)/2,(y_3 y_4)/2),F((x_1 x_4)/2,(y_1 y_4)/2),H((x_2 x_3)/2,(y_2 y_3)/2)。∴ EG中点P_1((x_1 x_2 x_3 x_4)/4,(y_1 y_2 y_3 y_4)/4),     

两角和与差的正弦公式新证明

<正>人教B版数学必修三第84页,通过拓展阅读:“向量的数量积与三角形的面积”给出了三角形面积的坐标表示,即给定A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则S_(△AOB)=1/2|x_1y_2-x_2y_1|．在实际学习中,有同学想利用此结论推导两角差的正弦公式,只是在推导过程不知道如何进行分类讨论去绝对值．虽然此种方法的证明过程比较繁琐,但是这个过程却能很好地加深同学们对三角函数线、诱导公式的理解与应用．本文将给出此方法的完整证明过程．     

当M(x_0,y_0)在x轴上时

高中课本《平面解析几何》(甲种本)P74例3的解法欠妥。题目是:已知圆的方程x~2 y~2=r~2,求经过圆上一点M(x_0,y_0)的切线方程。教科书上的解法可简述为:设所求切线的斜率为k,根据切线垂直于过切点的半径求出k_0,从而得到所求切线方程为xx_0 yy_0=r~2。笔者认为,这种求解过程中忽视了一个特殊的情况,即M(x_0,y_0)是圆上任意一点,既然是任意的,试问,若点M(x_0,y_0)在x轴上时,能设所求切线的斜率吗? 要对一般情况进行讨论,得出一般性结论,就必须对特殊情况加以讨论,这是在解数学题中不能忽视的一个环节。因此,对例3的正确解法应分两个步骤处理: 1 若点M(x_0,y_0)不在x轴和y轴上时,可按教科书上的方法求解。     

巧选坐标系解几何题

题设P为△ABC内任意一点,G为其重心,求证:PA~2 PB~2 PC~2≥GA~2 GB~2 GC~2。在此题的诸多证法中,当推解析法最优。而不论是以三角形一顶点为坐标原点,或是以三角形一边的中点为坐标原点,还是以三角形一边上的高线的垂足为坐标原点引进坐标系,就体现数学的简洁美、和谐美及对称美而言,均不及下面证法中坐标原点的巧妙选取。证明以G为坐标原点建立平面直角坐标系,且记A、B、C的坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2)、(x_3,y_3)。     

二元Bernstein多项式的Lipschitz常数

<正> 我们说f∈Lip_(Aμ)是指 |f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|≤A|x_1-x_2|~μ+|y_1-y_2|~μ)对任何(x_1,y_1),(x_2,y_2)∈T成立。这里0<μ≤1,A是与f和μ有关的Lipschitz常数。     

一个命题的应用

命题:设已知两点P_1(x,y_1)、P_2(x_2,y_2)的连线交直线l:Ax+By+C=0于点P(P_2不在直线l上) 求证:P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 证明:设P_1P/PP_2=λ,则点P坐标为 ((x_1+λx_2)/(1+λ),(y_1+λy_2)/(1+λ)) ∵点P在直线l上, ∴ A(x_1+λx_2)/(1+λ)+B(y_1+λy_2)/(1+λ)+C=0 解得λ=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 所以P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) (Ax_2+By_2+C≠0) 此命题在平几中用于证明比例线段问题,常能奏效。下面略举数例。例1.P为△ABC的边BC所对的中位线DE上任意一点,CP交AB于M,BP交AC于N,     

借“形”解“数”——例谈平面上两点间距离公式的应用

<正>平面上两点间的距离公式是平面解析几何中最基本的公式,其基本内容为:已知平面上两点P_1(x_1,y_1),P2(x_2,y_2),则|P_1P_2|=((x_1-x_2)~2+(y_1-y_2)~2)~(1/2).两点间的距离公式应用广泛,不仅可以正用公式,由给出的点的坐标,求两点间的距离;还可以逆用公式,根据题目条件,设点的坐标,     

数量比公式的应用

现行中学课本《解析几何》第8页在推导定比分点坐标公式时,使用了一个关系式然而公式一经导出,此关系式便不再为人们所重视了。实际上,由此不难发掘到一个易于掌握而又十分有用的公式来。我们知道,上式涵义是不与数轴平行的共线向量的数量比等于它们在同一数轴上的投影的数量比,稍加引伸便可得到一个数量比公式即:一般地,若点P_1(x_1,y_1)、P_2 (X_2,y_2)、p_3(x_3,y_3)和P_4 (x_4,y_4)位于某一不同数轴平行的     

一个近似公式

在中等工业技术学校里,学生应該习慣于利用表格和手册。在技术手册中,常常遇到一些熟悉的面积和体积公式,本文的目的是使讀者认識这些公式的来源。 1.現在,我們分析梯形的面积。假定梯形的上下底为y_1和y_3,高为h。梯形的中位綫用y_2表示。面积 S=h(y_1 y_3)/2=(h/6)(3y_1 3y_3) =(h/6)[y_1 y_3 2(y_1 y_3)] =(h/6)(y_1 y_3 (4y)_2).結果 S=h/6(y_1 y_3 (4y)_2). 2.分析棱台的体积,可以得到类似的公式。假定这个棱台的上下底面为y_1和y_3,高为h,它的平行中截面用y_2表示。我們有 y_1:y_2:y_3=a_1~2:a_2~2:a_3~2,其中a_1,a_2,a_3为底面和中截面的对应边。由此 (y_1)~(1/2):(y_2)~(1/2):(y_3)(1/2)=a_1:a_2:a_3,但 a_2=(a_1 a_3)/2,     

由x_0x+y_0y=R~2所想到的

我们知道,经过圆的x~2+y~2=R~2上任意一点P(x_0,y_0)的切线方程为:x_0x+y_0y=R~2记住并直接利用这个公式,能加快解题速度,收到事半功倍的效果,它的证明较易,本文从略。下面举一例说明。例:求过点(3,4)且到原点距离为5的直线方程。解;依题意知:所求直线到原点距离为5,因此,此直线可看成是过圆x~2+y~2=25上一点P(3,4)的一条切线,故此直线方程为: 3x+4y=25 细心的同学会发问:如果这点P(x_0,y_0)不在圆上,那么方程:x_0x+y_0y=R~2的几何意义又是什么呢? 下面着重谈谈这个问题: 首先,我们设P(x_0,y_0)在定圆x~2+y~2     

一个求最值问题的解法比较与变化

<正>若数轴上的任意两点A、B分别表示数x_1、x_2,则|x_1-x_2|表示A,B之间的距离(同学们可以自己验证或证明);对于平面直角坐标系中的任意两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),我们把|x_1-x_2|+|y_1-y_2|叫做A,B两点之间的直角距离,记作d(A,B).     

关于椭圆内接四边形和三角形的最大面积

(一) 椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(n>b>0)内接四边形的最大面积为2ab。 (一) 内接平行四边形的最大面积为2ab [证明一] 设ABGD是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的内接平行四边形(图1).由于对角线AC、BD互相平分,即有共同的中点.则以椭圆内定点(非中心)为中点的弦(简称中点弦)是唯一的。(设定点为M(x_0,y_0),则中点弦方程为x_0x/a~2 y_0y/b~2=x_0~2/a~2 y_0~2/b~2).因而,AC,BD相交于椭圆的中心(即为椭圆的两     

最小一乘法介绍

一元线性回归是处理两个变量之间关系的最简单的模型。在中学数学课本中,已知两点(x_1,y_1),(x_2,y_2)可唯一确定一条直线y=a+bx,这只需将两点坐标代入直线方程中解出a,     

三角形鞋带定理的证明、改进及应用

<正>1问题的提出在平面直角坐标系内,若△ABC顶点的坐标分别为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),则△ABC的面积是多少?同学们通常采用的方法有以下几种:(1)充分利用坐标的特点,通过割补法求三角形的面积;(2)先计算线段AB的长度和点C到直线AB的距离d,从而S_(△ABC)=1/2·|AB|·d;     

巧用斜率公式二例

已知 A、B 两点的坐标分别为(x_1,y_1)和(x_2,y_2)(x_1≠x_2),则直线 AB 的斜率为 k=(y_1-y_2)/(x_1-x_2)。这是大家十分熟悉的两点间的斜率公式,巧用这个公式解题.有时可以收到事半功倍之效。例1 当 k 为何值时,直线 y=kx+2k+1与直线2x+y-4=0的交点位于第一象限.分析:见到这道题,一般会想到用这样的方     

一个可被中学生掌握的插值公式

在中学函数教学中,利用描点法,作出简单函数y=f(x)的图象,是要求学生必须掌握的基本功。好动脑筋的同学不禁要问:若把问题反过来,知道几个点A_1(x_1,y_1),A_2(x_2,y_2),……A_n(x_n,y_n),(其中要求x_1,x_2,…x_n两两不等)能寻求一个函数y=f(x),使其图象恰好过A_1,A_2,…A_n各     

巧用三角形的重心和外心重合性质解题

我们知道,设△ABC的顶点坐标分别是A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)、C(x_3,y_3),那么它的重心坐标是 x=1/3(x_1 x_2 x_3),y=1/3(y_1 y_2 y_3)而当△ABC的重心和外心重合在一起时,△AB     

一道赛题的又一简证

<正>题目点A为y轴正半轴上一点,A、B两点关于x轴对称,过点A任作直线交抛物线y=2/3x²于P、Q两点.(1)求证:∠ABP=∠ABQ.(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60°,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式(如图).文[1]利用轴对称知识及函数与方程思想进行解答,应该肯定解法很全新,笔者本着一切从学生所掌握的基本知识出发来解答,从三角形角平分线定理入手,解答比较通俗简单,供同学们参考.(1)证明设点A坐标为(0,a),P、Q坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2),令直线PQ方程:y=kx+a,再联立y=2/3x2于P、Q两点.(1)求证:∠ABP=∠ABQ.(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60°,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式(如图).文[1]利用轴对称知识及函数与方程思想进行解答,应该肯定解法很全新,笔者本着一切从学生所掌握的基本知识出发来解答,从三角形角平分线定理入手,解答比较通俗简单,供同学们参考.(1)证明设点A坐标为(0,a),P、Q坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2),令直线PQ方程:y=kx+a,再联立y=2/3x²解得2/3x2解得2/3x²-kx-a=0,则x_1x_2=-3/2a(即a=-2/3x_1x_2),y_1=2/3x_12-kx-a=0,则x_1x_2=-3/2a(即a=-2/3x_1x_2),y_1=2/3x_1²、     

Cauchy-三次函数方程及其Hyers—Ulam稳定性

给出Cauchy-三次函数方程f(x_1+x_2,2y_1+y_2)+f(x_1+x_2,2y_1-y_2)=2f(x_1,y_1+y_2)+2f(x_1,y_1-y_2)+12f(x_1,y_1)+2f(x_2,y_1+y_2)+2f(x_2,y_1-y_2)+12f(x_2,y_1)的一般解,并用直接方法和不动点方法研究它在Banach空间上的HyersUlam稳定性及模糊稳定性.