用曲线系方程解题应注意的两个问题

大家都知道,过两曲线 f_1(x,y)=0,f_2 (X,y)=0的交点的曲线系方程为:f_1(x,y)+λf_2(x,y)=0(λ∈R)。利用它来处理解几中过两曲线交点求一新曲线方程的问题显得特别方便,但是用曲线系方程时应注意以下两个问题。一、首先应判定解的存在性所谓首先应判定解的存在性,是指解题之前首先应判定曲线f_1(x,y)=0与f_2(x,y)=0是否有交点,如果有交点,则可用曲线系方程解之;如果无交点,则说明本题无解,不能用曲线系方程解,不然就可能将无解题求出解     

浅谈曲线系方程的应用

设f(x,y)=0,g (x y)=0 是两曲线的方程,求证方程f(x y)+λg(x y)=0表示经过这两条曲线的交点的曲线。这是十年制学校高中第二册复习题六的第一题的第(4)小题它的正确性,我们已经证明,还可证明其逆命题也成立。我们把方程f(x,y)+λg(x,y)=0(λ为任何实数)叫做经过两曲线f(x,y)=0和g(x,y)=0的交点的曲线系方程。(不包括曲线g(x,y)=0) 直线系方程和圆系方程是曲线系方程的两个     

曲线的交并方程在解题中的应用

过两曲线f_1(x,Y)=0与f_2(x,y)=0交点的曲线方程f_1(x,y)+λf_2(x,y)=0在统编教材中已作习题提出,笔者以为这两曲线并集的曲线方程f_1(x,y)f_2(x,y)=0亦同样应引起重视。因为前者固可在两高次曲线的交族中找到所需要的曲线,而后者则可将两低次曲线合并为高次曲线。这些都是解析法处理问题时常用的变形技巧。平面上,我们经常研究一直线1:f(x,y)=0     

浅谈用曲线系方程解题

在解平面解析几何题时,常常会遇到过两曲线交点求一新曲线方程的问题,使用曲线系方程解这类问题是一种比较好的方法,此方法具有思路清晰、运算简捷等优点。下面用几个例子说明以上观点。例1.求过两直线x-2y+3=0和x+2y-9=0的交点和原点的直线方程。解:过交点的直线系为 x-2y+3+λ(x+2y-9)=0。∴ (1+λ)x+(2λ-2)y+3-9λ=0。∵直线过原点(0,0),故得3-9λ=0,∴λ=1/3。∴直线方程为(1+1/3)x+(2·1/3-2)y+3-9·1/3=0, ∴ x-y=0为所求。     

利用曲线系求过二次曲线上一点的切线方程

现行高中课本《平面解析几何》P110复习参考题（以下简称参考题）二第7题：如果两条曲线的方程是f1（x,y）=0和f2（x,y）=0,它们的交点是P（x0,y0）．证明：方程的曲线也经过点P（λ是任意实数）本文通过对"参考题"的改进,介绍求过二次曲线上一点的切线方程的一种新方法--曲线系法．1"参考题"的改进定理如果两条曲线C0：f（x,y）=0和C∞：g（x,y）=0有且只有n（nεN）个公共点,那么对于任意λR,曲线系C：f（x,y）＋M（X,y）一O中的任何两条曲线十、勺（人大人）也有且只有这几个公共点,并且曲线Cλ不同于C∞.事实上,利用…     

关于对称曲线与曲面方程的几个定理

在几何学中,关于对称曲线、曲面的研究,常见于特殊情况。本文推导几个定理,将其推广到一般情况,从而能方便地求出平面曲线的对称曲线方程,空间曲面的对称曲面方程以及空间曲线的对称曲线方程。定理1 平面曲线F(x,y)=0关于定点(a,b)的对称曲线方程是F(2a-x,2b-y)=0。证明:设曲线F(x,y)=0上任一点P_1(x_1,y_1)关于     

用两圆公共弦的方程解题

解析几何课本 P6 1第 1 1题 :求经过两条曲线 x2 y2 3x - y =0和 3x2 3y2 2 x y =0交点的直线方程 .此题安排在曲线与方程这一节 ,我们认为目的有二 :其一 ,可以先求出两个交点再求直线方程 ;其二 ,可以从曲线与方程的关系的角度 ,设两曲线交于两点 A、B,则 A、B两点坐标也满足方程 ( x2 y2 3x - y) - ( x2 y2 23x 13y) =0即 7x - 4y =0 ,而此方程表示一条直线 ,又过 A、B的直线是唯一的 ,所以方程 7x - 4y= 0即为所求 .当圆的方程讲过后 ,我们便可以告诉学生 :方程 7x - 4y =0就是两圆x2 y2 3x - y =0和　 x2 y…     

把直角坐标方程化为极坐标方程的等价问题

在直角坐标系中,点与坐标是一一对应的。若方程F_1(x,y)=0与方程F_2(x,y)=0同解时,这两个方程就表示同一曲线;反之,表示同一曲线的两个方程也必同解。但在极坐标系中,一个点对应无数个坐标((-1)~kρ,kπ θ),其中k∈Z。方程f_1(ρ,θ)=0与f_2(ρ,θ)=0若同解就表示同一曲线,但表示同一曲线的两个方程却不一定同解。如方程ρ=θ与p=2π θ表示同一曲线,但方程并不同解。我们在极坐标中把表示同一曲线的方程称为等价方程。显然所有的同解方程都是等价方程。     

曲线系方程及其应用

曲线系是指具有某种共同性质的曲线的集 .曲线系方程的形式通常表现为含有一个或几个独立参数的二元方程 .利用曲线系方程解题体现了参数变换的数学思想、整体处理的解题策略、以及待定系数法等重要的解题方法 .这种思想、策略、方法的三位一体 ,常能使解题的水平更高 ,思维更活 .下面介绍几种常用的曲线系方程 .1　直线系1)经过两条直线li∶Aix +Biy +Ci=0 (i=1,2 )交点的直线系方程为λ1l1+λ2 l2 =0 (λi∈R ,i=1,2 ) .2 )过定点 (x0 ,y0 )的直线系方程为λ1(x -x0 )+λ2 (y - y0 ) =0 (λi∈R ,i=1,2 ) .3)与直线Ax +By +C =0平行的…     

一个定理的再推广

文[1]对文[2]中的定理推广为:若方程x f(x)=m和x f-1(x)=m的根分别为a,b.则a b=m.经类比探讨,笔者得到如下结论.定理若方程x·f(x)=m和x·f-1(x)=m分别有唯一根a,b.则a·b=m.该定理的证明用到类似文[2]的引理:若函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点为P(x0,y0),则点P′(y0,x0)一定是函     

一类直线方程求法的探讨及应用

在圆锥曲线中,已知弦的定比分点,求弦所在直线的方程常见解法是利用直线的参数方程及参数的几何意义求解.当分点为弦的中点时,求弦所在直线的方程还有设所求直线斜率为k利用韦达定理及中点条件求出k值或者利用差换法求斜率等方法.这些解法运算量较大,不如下面两种解法简便。一、对称曲线作差法二次曲线f(x,y)=0中,以已知点M(x_0,y_0)为中点的弦如果存在,则弦所在直线的方程为f(x,y)-f(2x_0-x,2y_0-y)=0(*) 证明:设圆锥曲线的方程为f(x,y)=0,M(x_0,y_0)为已知点,如果曲线f(x,y)=0和     

线段与圆锥曲线的公共点问题探讨

设线段P1P2的两个端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),圆锥曲线G的方程为f(x,y)=Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F=0.则直线P1P2的两点式参数方程为x=x1 λx21 λ,y=y1 λy21 λ其中λ为P(x,y)分有向线段P1P2所成的比,即P1P=λPP2代入f(x,y)=0,并整理化简可得f(x2,y2)λ2 H·λ f(x1,y1)=0(1)其中H=2Ax1x2 B(x1y2 x2y1) 2Cy1y2 D(x1 x2) E(y1 y2) 2F.当f(x2,y2)=0时,P2在曲线G上,方程(1)退化为关于λ的一次方程.当f(x2,y2)≠0时,方程(1)的两根λ1,λ2分别是曲线G与直线P1P2的交点分P1P2所成的比,此时,若f(x1,y1)=0,则P1在曲线G上,方程(1)有一根λ…     

关于直线系过定点的证明

证明直线系过定点,可采用以下四种方法证明之: 一、参数取二特殊值,求出二定直线的交点,再证明交点坐标满足直线系方程. 例1证明不论a、b为何实数,直线系(2a+b)x+(3a一b)y+a-2b=0必过一定点.     

怎样证明曲线(直线)恒过定点

1　直线或曲线恒过定点的理论依据1.1　由“y- y0 =k(x- x0 )”求定点众所周知 ,直线方程 y - y0 =k(x - x0 )中 ,如果 M0 (x0 ,y0 )为定点 ,k为参数 ,则可视其为过定点 M0 (x0 ,y0 )的直线系方程 .根据这一道理 ,如果能把含有参数的直线方程改写成 y - y0 =k(x - x0 )的形式 ,     

由一点向圆锥曲线引切线

众所周知,圆锥曲线f(x,y)=Ax~2+2Bxy+Cy~2+2Dx+2Ey+F=0上一点P(x_0,y_0)的切线是f＇=Ax_0x+By_0x+Bx_0+Cy_0+D(x_0+x)+E(y_0+y)+F=0,利用公式f＇=0,可以求得曲线上一点的切线方程。但点P(x_0,y_0)不在曲线f=0上时,过点P所作的切线是用判别式法,方法麻烦。本文欲介绍一个定理,可得求切线的一般简易方法。定理由一点P(x_0,y_0)向非退化圆锥曲线f(x,y)=0所引的切线是 f＇~2-f_0f＇=0 这里f_0=Ax_0~2+2Bx_0y_0+Cy_0~2+2Dx_0     

图象法求方程近似解思想的几个应用

高中代数(甲种本)第一册68页,介绍了用图象求方程近似解。这个方法可以简述如下: 要求方程f(x)+φ(x)=O(*)的解,只须在同一坐标系作出y=f(x)及y=-φ(x)的图象,则它们交点的横坐标x=x_0就是原方程的近似解。     

过哪些点可以作三次函数图象的三条切线

2007年高考全国卷理22题为:已知函数f(x)=x3-x.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程;(Ⅱ)设a>0,如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:-a0时,-a相似文献   

三“恒”问题的题型及解法归类

在数学问题中常遇到所谓恒成立问题.恒成立问题常见有三类:一是在某条件下曲(直)线恒过定点;二是在某条件下代数式恒取定值;三是在某条件下不等式(等式)恒成立.本文归纳三“恒”问题的题型及解题方法,并以高考题或全国各地高考模拟题为例进行说明.一、在某条件下曲(直)线恒过定点这类问题的解题关键是先求满足条件的曲(直)线方程,再根据曲(直)线方程探求符合条件的定点.例1已知函数f(x)=3ax3-x(a∈R,a≠0).(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)曲线y=f(x)在点(3a,f(3a))处的切线恒过y轴上一个定点,求此定点坐标;(Ⅲ)若a>0,x1>3a,曲线y=f(x)在点(x1,f(…     

对一道高考题的推广与改编

<正>2013年高考陕西理科数学第20题是:已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线L与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线L过定点.推广已知抛物线C:y2=2px(p为正常数),点A(-p4,0),设不垂直于x轴的直线L与抛物线C交于不同的两点M,N,若x轴是∠MAN的角平分线,求证:直线L恒过定点(p4,0).证明由题意,设直线L的方程为y=kx     

谈过任一点作三次曲线切线的条数问题

2007全国卷(Ⅱ)22题:已知函数f(x)=x3-x,(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程;(Ⅱ)设a>0,如果过点N(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:-a相似文献