On the thermodynamics of viscoelastic continua

Summary The thermodynamic foundations of a theory of permanent deformations are considered: in the axioms, an appropriate definition of free enthalpy plays an essential rôle. Our developments are parallel (but in a certain sense dual) to those which occur in a theory of viscoelastic materials, due to Coleman and Noll.

---

Sommario Si propone una trattazione dei fondamenti della teoria delle deformazioni permanenti (plastiche, dovute a scorrimento a caldo, ecc.), legata a certi postulati termomeccanici dove gioca ruolo essenziale una opportuna definizione di entalpia libera. La trattazione ha un carattere in certo senso duale di quella relativa ai continui viscoelastici di Coleman e Noll.

     

The dynamic coupling of torsional and flexural strains in cylindrical helical springs

Summary We have examined, both theoretically and experimentally, the coupling between torsional and flexural strains in cylindrical helical springs axially excited. The analytical investigation, developed on the basis of the theory till now at our disposal, has shown the existence of two series of resonance conditions: the first one corresponds to the one already known for the axial vibrations, the other one is relative to the vibrations constituted by the rotations of the coils around the spring axis. The experimental research, developed into two springs having different characteristics and subjected to different assembly preloadings, has shown that the coupling between torsional and flexural strains is much more complex than the one indicated by theory, because of the presence of lateral deformations of the spring. The different tests, effected with an exciting variable frequency in a field below the second natural frequency of the axial vibrations, have shown the existence of more than two resonances.

---

Sommario Viene esaminato, sia teoricamente che sperimentalmente, l'accoppiamento tra le deformazioni torsionali e flessionali in molle ad elica cilindrica sottoposte ad eccitazione secondo il proprio asse. L'indagine analitica, svolta sulla base della teoria finora disponibile, ha messo in evidenza l'esistenza di due serie di condizioni di risonanza: la prima corrisponde a quella ben nota per le vibrazioni assiali, la seconda è relativa alle vibrazioni costituite da rotazioni delle spire intorno all'asse della molla. L'indagine sperimentale, svolta su due molle aventi diverse caratteristiche e sottoposte a precarichi di montaggio diversi di volta in volta, ha mostrato che l'accoppiamento fra le deformazioni torsionali e flessionali è ben più complesso di quello indicato dalla teoria, a causa della presenza di deformazioni laterali della molla. Le diverse prove, effettuate con frequenza eccitante variabile in un campo al di sotto della seconda frequenza naturale delle vibrazioni assiali, hanno messo in evidenza l'esistenza di più di due risonanze.

---

---

Research supported by the Italian Research Committee (C.N.R.).     

Correction of two errors in the kinetic theory of gases which have been used to cast unfounded doubt upon the principle of material frame-indifference

Summary Certain results of formal processes of approximation in the kinetic theory are similar in form to constitutive relations of continuum mechanics. It is wrong to regard them as such. Continuum mechanics takes the variables entering constitutive functions as being independent. Thus it is possible to ask whether or not those functions be frame-indifferent. In the kinetic theory, on the contrary, all solutions automatically satisfy the principle of linear momentum. In order even to ask whether gross relations satisfied by solutions be frame-indifferent, it would be necessary to show first that those relations pertain to a class of solutions that correspond to velocity fields which differ from one another by arbitrary time-dependent orthogonal transformations of the motion. It is not presently known whether any such classes of solutions exist in the kinetic theory. Indeed, as the constraint imposed by the principle of linear momentum is frame-dependent, the existence of any such class is implausible. Be that as it may, to claim that the kinetic theory can bear in any way whatever upon the principle of material frame-indifference is presently ridiculous.

---

Sommario Alcuni risultati di procedimenti formali di approssimazione nella teoria cinetica dei gas sono formalmente simili a relazioni costitutive della meccanica dei continui. È peraltro errato considerarli come tali. La meccanica dei continui considera le variabili che entrano nelle funzioni costitutive come indipendenti. È così possibile domandarsi se queste funzioni siano, o no, indipendenti dal sistema di riferimento. Nella teoria cinetica dei gas, invece, tutte le soluzioni soddisfano automaticamente il principio delle quantità di moto. Al fine di poter domandarsi se relazioni globali soddisfatte da soluzioni siano indipendenti dal riferimento, sarebbe necessario dimostrare anzitutto che queste relazioni appartengono a classi di soluzioni che corrispondono a campi di velocità differenti l'uno dall'altro per trasformazioni arbitrarie ortogonali dipendenti dal tempo. Non è al presente noto se tali classi di soluzioni esistono nella teoria cinetica. Anzi, poichè il vincolo imposto dal principio della quantità di moto è dipendente dal riferimento, la esistenza di una classe siffatta non è plausibile. Ad ogni modo, l'asserire che la teoria cinetica possa aver riferimento in un qualche modo con il principio della indipendenza dal riferimento è al presente assurdo.

---

---

Investigation supported by a grant of the U.S. National Science Foundation. I am indebted to Messrs. Müller, Wang, Ericksen, and Muncaster for discussion over the past several years and to Messrs. Ericksen and Wang for criticism of the first draught of this note.     

On physical foundations of plasticity

Complexity of plastic response is caused by the fact that plastically deformed solids are composites with a changing structure. At the mesoscale (m) a pattern of high and low dislocation density regions is spontaneously formed. The evolution of the composite structures is treated as a consequence of the structuralization process governed by four types of mechanisms: (i) the overproduction of dislocation, (ii) the screening of their elastic fields, (iii) the formation of dipolar dislocation patterns, (iv) the instability transition leading to the formation of subgrain boundaries, dislocation grids, microshear bands, or persistent slip bands. The proposed theoretical model consists of the balance law for the dislocation density of stored dislocations, the relations which determine the average shape of glide dislocations, and the continuum mechanics equations for stress and strain. To demonstrate the capacity of the model some available solutions simulating the mesoscale structure evolution are briefly reviewed.

---

Sommario La complessità della risposta plastica è dovuta al fatto che i solidi soggetti a deformazioni plastiche sono corpi compositi di struttura variabile. A mesoscala (m) si forma spontaneamente un insieme di regioni di alta e bassa densità di dislocazioni. Si tratta il comportamento delle strutture composite come conseguenza di un processo di strutturalizzazione governato da quattro tipi di meccanismi: (1) sovrapproduzione di dislocazioni; (2) la schermatura del loro campo elastico;(3) la formazione di tipi di dislocazioni dipolari;(4) transizione di instabilità. Il modello teorico proposto è composto dalle equazioni di bilancio per la densità di dislocazione delle dislocazioni immagazzinate, dalle relazioni che determinano l'andamento medio delle dislocazioni di scorrimento e dalle equazioni della meccanica dei continui per sforzi e deformazioni. Per controllare la validità del modello, si riesaminano brevemente alcune soluzioni conosciute che simulano l'evoluzione della struttura a mesoscala.

     

Dislocation theory as a physical field theory

Dislocations are the elementary carriers in many situations of plastic flow. Since they can be seen, counted and typified, e.g. in the electron microscope, and since their presence changes the state of the (elastoplastic) medium, the dislocations have the status of a physical state quantity. In spite of this a continuum theory of elastoplasticity can be built up which does not use the concept of dislocation. However, disregarding the dislocations implies approximation, and this approximation is not always good, in spite of the smallness of the dislocation diameter (order atomic distance). It is discussed how a field theory of dislocations can be developed which takes full account of the dislocational degrees of freedom.

---

Sommario In molte situazioni le dislocazioni sono i portatori puntiformi del flusso plastico. Poiché esse possono essere viste, contate e classificate, per esempio mediante il microscopio elettronico, e poiché la loro presenza cambia lo stato del mezzo (elastoplastico), le dislocazioni svolgono il ruolo di una variabile di stato. Nonostante ciò, si può formulare una teoria dell'elastoplasticità che non usa il concetto di dislocazione. Tuttavia, il trascurare le dislocazioni comporta un'approssimazione, e tale approssimazione non è sempre buona nonostante la piccolezza delle dislocazioni (dell'ordine della distanza interatomica). Si discute come si possasviluppare una teoria di campo delle dislocazione che tenga conto completo del loro grado di mobilità.

     

Transverse Decay of Solutions in an Elastic Cylinder

In a semiinfinite cylinder composed of anisotropic linearised elastic material, loaded on the base and clamped along the lateral surface, it is known that the solution as measured, for example, by the strainenergy flux through a plane crossection decays longitudinally at most exponentially with respect to the axial distance from the base. There is, however, also a transverse radial decay of the solution, again measured for example by the strainenergy, occurring from the region close to the cylinder's axis to the region near the lateral surface, where the energy vanishes.This problem is considered in the present paper which discusses a circular semiinfinite cylinder and derives an estimate for the strainenergy contained in a cylindrical annulus at a given distance from the base and of variable height, and whose outer surface coincides with the lateral surface of the cylinder. It is shown that the strainenergy decays at most algebraically to zero as the inner radius of the annulus increases to that of the cylinder.Sommario. E'noto che in un cilindro semiinfinito composto da materiale elastico lineare anisotropo, caricato sulla base ed incastrato lungo la superficie laterale, la soluzione elastica, misurata, per esempio, dal flusso di energia di deformazione attraverso una sezione trasversale piana, decade con legge al più esponenziale con la distanza dalla base. C'è tuttavia, anche un decadimento radiale della soluzione, misurato, per esempio, dall'energia di deformazione che passa dalla regione vicina all'asse del cilindro a quella vicin alla superficie laterale dove l'energia si annullaQuesto problema è qui studiato. Si discute in particolare un cilindro circolare semiinfinito e si deduce una stima per l'energia di deformazione contenuta in un anello cilindrico ad una distanza assegnata dalla base e di altezza variabile, e la cui superficie esterna coincide con la superficie laterale del cilindro. Si dimostra che l'energia di deformazione decade al più con legge algebrica a zero quando il raggio interno del cilindro si avvicina a quello esterno.     

On elastic-plastic structures with associated stress-strain relations allowing for work softening

Summary For the elementary (finite or infinitesimal) constituents of the structure are assumed generalized stress-strain relations which satisfy the condition of normality but which may exhibit work-softening, concavity of yield surfaces, variation of elastic coefficients with stress and/or plastic strain.The usual phenomena of geometric instability are excluded. Sufficient conditions are formulated for overall stability in spite of the presence of unstable elements, and for uniqueness of the incremental boundary-values problem. Conditions are discussed with a view to applications and expressed in terms of positive definiteness of appropriate quadratic forms.Finally, yield surfaces and flow laws for the structure are examined, and among other things their necessary association is shown.

---

Sommario Per i costituenti elementari (finiti o infinitesimi) della struttura si assumono legami incrementali tra sforzi e deformazioni generalizzati che soddisfano alla condizione di normalità ma che per il resto sono generici, cioè tali da presentare eventualmente incrudimento negativo, concavità del campo elastico, variazione dei coefficienti elastici con gli sforzi e/o con le deformazioni plastiche.Esclusi per il sistema i fenomeni usuali di instabilità geometrica si formulano condizioni sufficienti per la stabilità del complesso nonostante la presenza di parti a funzionamento instabile, e per l'unicità del problema incrementale al contorno. Le condizioni sono discusse in vista delle applicazioni ed espresse in termini di definizione positiva di forme quadratiche opportune.Si esaminano infine le superfici di snervamento e le leggi di scorrimento per l'intera struttura e, tra l'altro, se ne dimostra la necessaria associazione.

---

---

First published in Italian in Rendiconti dell'Istituto Lombardo Classe Scienze e Lettere, A 100, 1966.The present investigation has been promoted and financed by the Consiglio Nazionale delle Ricerche (C.N.R.) at the Istituto di Scienza delle Costruzioni of the Facoltà di Architettura, Politecnico of Milano. Part of it was carried out at Brown University (Providence R. I. - U.S.A.). The author acknowledges with tanks the NATO Fellowship assigned by the C.N.R. in 1964, the encouragement and kind hospitality he received from Professor D.C. Drucker, and the interesting discussions he had with Professor Drucker and Dr. A. C. Palmer.     

The effect of thickness on stress distribution in the region of intersection between two cylindrical shells with orthogonal axes

Summary A study for the investigation of the stress characteristics in the region of connection between two cylindrical shells with orthogonal axes was performed, within the classical elasticity theory. The stress analysis concerns the area near the intersection of two shells, except for the singular points. Three approximation levels of the analytical model make it possible to graduate the complexity of calculation according to the geometrical characteristics of the two shells.

---

Sommario E' stato sviluppato uno studio per determinare le caratteristiche di tensione nella regione di collegamento fra due gusci cilindrici con assi ortogonali. Lo studio è basato sull'impiego delle formulazioni classiche della teoria dell'elasticità. L'analisi dello stato di tensione riguarda la zona prossima all'intersezione dei due gusci, con esclusione dei punti singolari. Tre gradi di approssimazione del modello analitico permettono di graduare la complessità del calcolo in relazione alle caratteristiche geometriche dei due gusci.

     

New trends in the analysis of masonry structures

The modern theory of masonry structures has been set up on the hypothesis of no-tension behaviour, with the aim of offering a reference model, independent of materials and building techniques employed. This hypothesis gives rise to inequalities which have to be satisfied by the stress tensor components and, as a dual aspect, to the kinematic behaviour characteristics of media which can be classified as lying between solids and fluids: the structure of the masonry material consists of particles reacting elastically only when in contact. An examination of the plane-stress problem leads us to define, within the prescribed domain under admissible loads, three different subdomains with null, regular, or non-regular principal stress tensors, respectively. As the boundaries of such subdomains are not known a priori, the problem can be classified as a free boundary value problem. The analysis concerns mainly the subdomains where the stress tensor is non-regular; and a non-regularity condition det =0 is added to the equilibrium equations. This condition makes the stress problem isostatic and leads to a violation of Saint-Venant's compliance conditions on strains. Hence there is a need to introduce a strain tensor, not related to the stress tensor, which can be decomposed into an extensional component and a shearing component; we prove that such strains, of the class ^c, are similar to those of the theory of plastic flow. From the point of view of computational analysis the anelastic strains are considered as given distortions; they are computed by means of the Haar-Kármán principle, modified for computational purposes by an idea of Prager and Hodge.

---

Sommario La moderna teoria delle strutture murarie, fondata sulla rigorosa non reagenza a trazione del materiale, ha lo scopo di fornire un modello di riferimento indipendente sia dalle caratteristiche del materiale sia dalle techniche costruttive impiegate. L'ipotesi di non reagenza a trazione si traduce in disuguaglianze che le componenti del tensore di stress devono verificare; dualmente il comportamento caratteristico cinematico può esser classificato di confine, come del resto la stessa statica, tra solidi e fluidi: la struttura ipotizzata del materiale muratura consiste di particelle che reagiscono solo se sono in contatto. L'esame del problema piano porta a definire all'interno del dominio di definizione tre differenti tipi di sub-regioni in cui lo stress è nullo, canonico, o singolare. Poiché le frontiere di queste sub-regioni non sono note a priori il problema può anche essere classificato di frontiera libera. L'analisi concerne fondamentalmente la sub-regione in cui il tensore è non regolare, perché deve verificare anche la condizione det =0. Ciò rende isostatico il problema e conduce anche alla violazione della condizione di integrabilità delle deformazioni. Questo passaggio può essere superato introducendo un tensore di deformazioni a tensioni nulle che si può decomporre in una componente estensionale ed in una componente di scorrimento; si dimostra che queste deformazioni sono equivalenti a quelle che intervengono nella Teoria del flusso plastico. Dal punto di vista computazionale le deformazioni anelastiche sono considerate come distorsioni impresse determinate attraverso il principio di Haar-Kármán modificato, per le techniche computazionali, su idee di Prager e Hodge.

     

A matrix theory of elastic-locking structures

Summary The theory developed exhibits the following peculiar features: structures are discretizised in finite elements, the constitutive laws piecewise linearized, the problem is split in a preliminary linear elastic solution and a corrective nonlinear subproblem; concepts and techniques of quadratic and linear programming theory are utilized. The main results are: for the analysis under given loads and dislocations, a pair of extremum theorems for locking stresses, corresponding to dual quadratic programs; for the limit analysis with respect to locking situations two already known theorems, which are here deduced from the solvability conditions of the above quadratic programs and formulated as dual linear programs. The extension of the results to imperfectly locking behavior is carried out. Some examples illustrate the solution techniques based on the theory expounded.

---

Sommario Caratteristiche peculiari della teoria sviluppata sono: discretizzazione della struttura in elementi finiti, linearizzazione a tratti delle leggi costitutive, suddivisione del problema in una preliminare soluzione elastica lineare ed in una fase nonlineare correttiva, utilizzazione di concetti e tecniche della teoria delle programmazioni quadratiche e lineari.Si ottengono, per l'analisi di continui a deformabilità limitata soggetti a dati carichi e distorsioni, due teoremi di estremo corrispondenti a programmi quadratici negli sforzi di bloccaggio; per l'analisi limite al bloccaggio del sistema, due teoremi già noti, che qui si deducono dalle condizioni di solubilità dei precedenti programmi quadratici e si presentano in veste di programmi lineari duali. I risultati ottenuti vengono generalizzati ai casi definibili a deformabilità imperfettamente limitata. Alcuni esempi illustrano le tecniche risolutive che sorgono dalla teoria svolta.

---

---

The study presented here forms part of a research program supported by the C.N.R.     

The propagation of the tide inside a lagoon

Summary Propagation of the tide in a lagoon is studied, taking into account expansion of the waves in the shallows, but otherwise utilizing the classic theory of first approximation. The time lag in propagation and the attenuation of the wave may thus be determined.

---

Sommario Si studia la propagazione della marea in una laguna, tenendo conto della espansione delle onde sui bassifondi, ma per il resto, utilizzando la teoria classica di prima approssimazione. Si giunge così a determinare il ritardo nella propagazione e l'attenuazione dell'onda.

     

The displacements solution for steady-state longitudinal vibrations of segment-wise inhomogeneous elastic rods

Summary The Laplace Integral Transform is used to construct the displacements, solution for steady-state vibrations of an inhomogeneous elastic rod made up of n, (n2) homogeneous elastic segments of the same cross section. The method consists in determining the displacements function of the inhomogeneous rod for zero initial conditions and for displacements type superimposed boundary conditions, with the residues calculated for the poles of the Laplace images of the ends boundary conditions. The correctitude of the constructed solution is then proved and several examples are given to illustrate the method (harmonic end excitations are included).

---

Sommario Si usa la trasformata integrale di Laplace per costruire gli spostamenti soluzione del problema delle vibrazioni stazionarie di una barra elastica non omogenea fatta di n, (n2) segmenti elastici omogenei di uguale sezione. Il metodo consiste nel determinare la funzione per gli spostamenti della barra non omogenea in corrispondenza di condizioni iniziali nulle e per sovrapposte condizioni al contorno del tipo spostamento, coi residui calcolati per i poli delle immagini di Laplace delle condizioni al contorno agli estremi. Si dimostra poi la correttezza della soluzione costruita e si danno diversi esempi per illustrare il metodo (comprese le armoniche e le eccitazioni).

     

On mean rotations in finite deformations

Summary Firstly, the classical interpretation of the mean rotation tensor of Cauchy and Novozhilov is revised. Indeed, two distinctive and defective features of this interpretation reflect a severe restriction on the class of admissible deformations. Secondly, an alternative measure of mean rotation is introduced and its explicit aspect for pure rotations, pure strains and additively pure rotations is determined.

---

Sommario In questa nota viene riesaminata l'interpretazione classica del tensore di rotazione media di Cauchy e Novozhilov. Preliminarmente, si mostra come due tratti distintivi di questa interpretazione ne limitino l'ampiezza e riflettano una severa restrizione della classe delle deformazioni ammissibili. Successivamente, si perviene ad una misura alternativa di rotazione media, il cui calcolo esplicito è condotto nei casi di rotazioni pure, deformazioni pure e rotazioni additivamente pure.

     

“Modified” phase equilibria

Summary The Authors examine first and second order phase equilibria for classical bodies in the sense of Toupin and Truesdell[9], by assuming a partial equality between the intensive thermal substates of the two phases.In the case of first order equilibria, a system of partial differential equations for the equilibrium manifold is proposed. This system, which reduces to the generalized Clapeyron equations on the assumption of complete equality of the intensive variables[13], is shown to be always integrable.In the case of second order equilibria, a similar modification of the generalized Ehrenfest equations[14] is proved. A straight-forward derivation of the integrability conditions for the system of partial differential equations is given.

---

Sommario Gli Autori esaminano gli equilibri di fase del primo e del secondo ordine per corpi classici nel senso di Toupin and Truesdell[9], nella ipotesi di eguaglianza parziale dei sottostati termici intensivi delle due fasi.Nel caso di equilibri del primo ordine gli Autori deducono un sistema di equazioni alle derivate parziali per la varietà di equilibrio, estendendo le equazioni di Clapeyron generalizzate relative agli equilibri di fase con completa eguaglianza delle variabili intensive[13]. Vengono ricavate e discusse le condizioni di integrabilità del sistema.Per gli equilibri del secondo ordine, gli Autori pervengono ad un sistema di equazioni che estende le equazioni di Ehrenfest generalizzate, perchè rimuovono l'ipotesi di totale eguaglianza delle variabili intensive[14]. Anche di questo sistema vengono ricavate le condizioni di integrabilità.

---

---

Work supported by the Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica, C.N.R.     

Second order analysis of elastic frames

Summary A second order theory for the analysis of elastic frames is presented. Its derivation, by successive simplifications from the theory of finite deformations, allows for the range of the theory to be clearly established.The physical meaning of the variables which are introduced will be self-evident.A simple way of evaluating the critical load is also presented.

---

Sommario Viene presentata una teoria del secondo ordine per l'analisi delle strutture intelaiate elastiche. La sua derivazione per successive approssimazioni dalla teoria delle deformazioni finite permette di definire chiaramente i limiti di applicabilità.Il significato fisico delle grandezze introdotte risulta immediato. Viene anche presentato un semplice metodo per la valutazione del carico critico.

     

First instabilities in the wake past a circular cylinder. Comparison of transient regimes with landau's model

Velocity measurements were carried out in the flow past a circular cylinder at Reynolds number ranging from 30 to 180 to study the genesis and the evolution of the first instabilities in the wake. Since the occurrence of aeroelastic coupling between flow and cylinder has been cause of debate about the results obtained in recent experiments on the subject, a great deal of care has been taken to avoid that coupling. We focused our attention on two points: the onset of the first instability and the transition from the low-speed to the high-speed oscillation mode. With regard to the second topic we can confirm the existence of a discontinuity in the relation between St and Re at Re90 even in the absence of any aeroelastic coupling. However, no band enlargements in the velocity spectrum, indicating the appearance of highly disorganized motion, were observed for Re varying through that discontinuity interval. To investigate the onset of the first periodic oscillation we performed measurements with a slowly varying Reynolds number by means of very small positive or negative accelerations. Our results indicate that in the neighborhood of the onset of the first oscillation the amplitude of the transient velocity fluctuations does not obey the so-called Landau model.

---

Sommario Al fine di studiare la genesi e l'evoluzione delle prime instabilitá nelle scie si sono eseguite delle misure della velocitá nel flusso a valle di un cilindro circolare variando il numero di Reynolds tra 30 e 180. Poiché esiste, per questo tipo di esperimento, la possibilitá di ritrovarsi in una situazione di accoppiamento aeroelastico tra il cilindro ed il flusso, situazione tale da inficiarne l'attendibilitá e che é stata causa di dispute scientifiche sull'interpretazione dei risultati ottenuti nei piú recenti esperimenti sul soggetto, si é accuratamnete progettato l'esperimento in modo da escludere qualisiasi condizione suscettibile di innescare un tale accoppiamento. Si é concentrata l'attenzione su due punti principali: l'insorgere della prima instabilitá e la transizione tra il low-speed ed il high-speed oscillation mode. Per quel che concerne il secondo punto noi possiamo confermare l'esistenza di una discontinuitá nella relazione St=f(Re) quando il Re 90 anche in assenza di qualsiasi accoppiamneto aeroelastico. Inoltre, al variare del Re attraverso questa discontinuitá, non si é osservato nessun allargamento di banda nello spettro delle velocitá che potesse indicare l'apparire di un moto altamente disorganizzato. Per studiare la genesi della prima oscillazione periodica si sono eseguite delle misure al lento variare del Re per mezzo di piccolissime accelerazioni, sia positive che negative, impartite al campo di moto. I risultati ottenuti indicano che nelle vicinanze dell' insorgere della prima oscillazione l'ampiezza delle fluttuazioni transienti non obbedisce al modello di Landau.

     

On the incompressible flow in axial turbomachinery with several closely packed blade rows

Summary The velocity field in an axial multistage turbomachinery is easily investigated, ignoring the fluid viscosity and compressibility, by means of the actuator disc theory. By developing this theory, general expressions of fluid velocity in such a machine are obtained, these in turn yield the approximate expressions usually given in the literature.

---

Sommario Lo studio del campo di moto in una turbomacchina a più stadi puramente assiale per fluido inviscido ed incomprimibile viene sviluppato in modo agevole mediante la teoria del disco attuatore. Nella presente nota vengono ricavate, sviluppando tale teoria, le espressioni generali delle velocità del fluido in una tale macchina e da queste vengono derivate successivamente le espressioni approssimate comunemente riportate nella bibliografia a proposito.

     

Energy and frames of reference in general relativity

Summary When relativistic theory amalgamates space and time into event, other magnitudes of classical mechanics merge or superimpose. In special relativity it is still easy to find them again by referring to the inertial frame of reference, but general relativity presents them to us as already identified in the curvatures of the Riemannian universe, which admits of no inertial frames, except local ones. It is a search for particular magnitudes and relations (such as momentum and conservation laws), physically interpretablein the classical sense, which specifies a privileged frame. Starting from this frame of reference, the present Note sets out to define the energy-momentum density and super-potentials that give rise, in the same frame, to the known integral results due to the Einstein and Freud psendotensors. Thus the snags arising out of the transformation laws of these pseudotensors are eliminated at the same time.

---

Sommario Quando, nelle teorie relativistiche, si sostituisce alle grandezze spazio e tempo la loro fusione nell'evento, altre grandezze della meccanica classica si fondono e sovrappongono. Nella relatività ristretta è ancora agevole ritrovarle, riferendosi all'osservatore inerziale; ma la Relatività generale ce le presenta già fuse nelle curvature dell'Universo riemanniano, che non ammette osservatori inerziali, se non locali. E' la ricerca di particolari grandezze e relazioni, (come la quantità di moto e le leggi di conservazione), fisicamente interpretabili nel senso classico, che precisa un riferimento privilegiato. Valendosi di questo riferimento, vengono definiti, nella presente Nota, densità di energia-quantità di moto e superpotenziali che danno luogo, nello stesso riferimento, ai noti risultati integrali dovuti agli pseudo-tensori di Einstein e Freud. Risultano così eliminati, nello stesso tempo, gli inconvenienti dovuti alle leggi di trasformazione di questi pseudo-tensori.

---

---

Study conducted under the auspices of the mathematical teams of the Consiglio Nazionale delle Ricerche.     

Quadratic programming and theory of elastic-perfectly plastic structures

Summary For elastic perfectly plastic discretized structures acted upon by given loads and dislocations, it is shown, under holonomic constitutive laws or no local unloading hypothesis, that the formulation of the analysis problem in terms of finite (not incremental) stresses, is amenable to the Kuhn-Tucker conditions of a quadratic program. Then it is readily derived a generalized form of the principle of Haar and Kármán, together with an extremum theorem for displacements and plastic strains, which is the dual of the preceding one. As special cases of this theorems known variational principles follow, which thus turn out to be related in pairs by the duality notion as understood in programming theory. Also the statical and kinematical theorems of limit analysis are proved by means of the unitary conceptual framework supplied by quadratic programming.

---

Sommario Con riferimento a strutture discretizzate idealmente elastoplastiche, soggette a dati carichi e distorsioni, si mostra che nell'ipotesi di olonomia dei legami costitutivi o di assenza di ritorni elastici, la formulazione del problema strutturale negli sforzi finiti (non incrementali) è riducibile alle condizioni di Kuhn e Tucker di un programma quadratico. Se ne deducono direttamente una forma generalizzata del principio di Haar e Kármán ed un teorema di estremo negli spostamenti e nelle deformazioni plastiche, duale al precedente. Dai due teoremi discendono come casi speciali noti principi variazionali, che cosi risultano collegati in coppie dalla nozione di dualitá propria della teoria delle ottimizzazioni.Si mostra come anche i teoremi statico e cinematico del calcolo a rottura trovano una nuova dimostrazione nell'inquadramento teorico unitario fondato sulla programmazione quadratica.

---

---

The results presented here form part of a series of studies supported by the C.N.R. (National Research Council).     

Certain basic issues in finite-deformation continuum plasticity

Summary I consider the kinematical implications embedded in the decomposition of the deformation gradient F into two constituents, F^* (say, elastic) and F^p (say, plastic), in the form F=F^* F^p. Whatever the origin, nature, and physical meaning of these three deformation gradients, the decomposition can always be recast in the form F==V^* Q U^p, where V^* and U^p are stretch tensors, respectively associated with F^* and F^p, and Q is a unique rotation tensor. It then follows that the (elastic) spin associated with V^* and the (plastic) spin associated with U^p are fully defined by their corresponding deformation rates. I give explicit expressions defining elastic and plastic spins in terms of the elastic and plastic deformation rates, respectively. I show that, if the total velocity gradient and either the elastic or the plastic (but not both) deformation rate tensor, are given, then all the remaining kinematical rate quantities can be calculated explicitly, with no constitutive or other assumptions. I give explicit expressions for the rate of change of V^*, Q, and U^p, from which these quantities can be incrementally but directly obtained. In particular, I give explicit expressions for the elastic spin, plastic spin, and the rigid spin. Constitutive implications of these purely kinematical results are briefly discussed in connection with rate-independent and rate-dependent phenomenological elastoplasticity, and, particularly, kinematical hardening.

---

Sommario Si considerano le implicazioni cinematiche insite nella decomposizione del gradiente di deformazione F in due componenti, F^* (per esempio, la parte elastica) ed P^p (per esempio, la parte plastica), nella forma F=F^*F^p. Qualunque sia l'origine, la natura e il significato fisico di questi tre gradienti, la decomposizione si può sempre riscrivere nella forma F=U^* Q U^p, in cui V^* ed U^p sono tensori di deformazione associati rispettivamente con F^* ed F^p, e Q è un tensore di rotazione univocamente definito. Ne segue che lo spin (elastico) associato con U^* e lo spin (plastico) associato con U^p sono completamente definiti dalle corrispondenti derivate delle deformazioni: di questa dipendenza si forniscono le espressioni esplicite. Si mostra quindi che, se sono dati il gradiente della velocità totale e il tensore delle deformazioni elastiche o quello delle deformazioni plastiche (ma non entrambi), tutte le altre quantità cinematiche possono essere calcolate esplicitamente, senza alcuna ulteriore ipotesi, neanche sulla legge costitutiva. Si forniscono ancora espressioni per i gradienti di V^*, Q ed U^p, dalle quali queste quantità si possono ottenere direttamente, per incrementi successivi: in particolare, si danno espressioni esplicite per lo spin elastico, plastico e rigido. Si discutono brevemente le implicazioni costitutive di questi risultati puramente cinematici, in connessione con vari aspetti fenomenologici dell'elasto-plasticità, e in particolare l'incrudimento cinematico.

---

---

Invited Lecture presented at New Developments in Structural Mechanichs, International Meeting in memory of Professor Manfredi Romano; Catania, Italy, 4–6 July 1990.