|A B|~(1/n)≥|A|~(1/n) |B|~(1/n)的一个证明

文[1]、[2]用两种方法证明了命题:设A,B是n阶正定矩阵,则有|A B|~(1/n)≥|A|~(1/n) |B|~(1/n)等号成立当且仅当A=kB(k>0)。本文用矩阵迹的概念给出一个不同的证明。我们首先证明下面两个引理。     

一类含平方数因子的伪素数

笔者曾构造出一类表示伪素数的公式 [1] ,张善立在文 [3]中指出这一类中存在含平方数因子 1 0 932 的伪素数 ,有没有含其它平方数因子的伪素数呢 ?本文将从文 [1 ]给出的公式中找出含平方数因子 1 0 932 和 351 1 2 的伪素数 (本文中字母为正整数 ,p为奇素数 ) .引理 1　设 A≥ 2 ,( p,A) =1 ,满足 ( p,2 A - 1 ) =1及 A 2 A( 2 A( p-1) - 1 )2 A - 1则　 n =2 Ap - 12 A - 1 是伪素数[1] .引理 2　 2 Q1- 1 | 2 Q1Q2 - 1 [1] .引理 3　设使同余式 :2 r ≡ 1 ( mod m)成立的最小正整数为 r,则 2 a≡ 1 ( mod m)成立的充要条件是 r| a[3…     

有限传输设备系统的Feinstein引理

<正> 本文研究有限传输设备系统的统一编码问题,给出了类似[1]中 Feinstein 引理的结果.这个结果看来与[2]中问题 XLIX 有关,而可以用来加强那里列举的情况1.本文的前半部分讨论了在抽象变量场合下半信息稳定的 Feinstein 引理.本文的基本思想类似[3].而其中基本引理是[4]中定理1的推广(我们称它为Shannon 引理).本文的叙述方式类似[1],沿用[1]中符号时不多加说明.     

关于n~(1/k)的不等式猜想的研讨

文 [1 ]给出了一个关于kn的不等式猜想 ,猜想的右侧不等式是 :正整数n ,k >1 ,则nk 2时 ,( 1 )式成立 .为证明上述结论 ,先给出两个引理引理 1　 [贝努利 (Bernoulli)不等式 ]若x >- 1且k是正整数 ,则 ( 1 +x) k≥ 1 +kx .等号当且仅当x =0时成立 .利用二项式定理易证引理 1 .引理 2 [2 ] 　若 - 1 相似文献   

关于姜伯驹的三个引理

本文标题中的三个引理是[1]中的引理4.3、4.4和4.5,也就是[2]中的引理Ⅲ4.2,Ⅲ4.3(i)和Ⅲ4.4(i).它们在证明[2]Ⅱ§5的两主要定理中有重要地位.但它们原来的证明都运用泛复迭空间理论,从而需要相当多的准备知识.我们在本文第二部分中将不用这一理论,而是用“直接”法(参看[2]Ⅱ§2中的附记)来证明三个引理A,B,C.其中的后两个引理就是原来的后两个,只引理A的叙述形式已和原来的第一个引理的不同.在本文的第三部分中,我们将证明,在针对非空的不动点类的对应关系方面,这两种叙述形式给出的结果相同. 本文所用的术语和记号(除另有解释者外)都来自[2],文中所论及的空间X,Y都是连通的有限多面体.     

正Fibonacci数的标准分解式中因子2的指数

Fibonacci数列 {Fn}定义如下 :F0 =0 ,F1 =1,Fn + 1 =Fn +Fn -1 (n =1,2 ,… ) ,我们把 {Fn}中每一项Fn 叫做一个Fibonacci数 ,当n≥ 1时 ,称Fn 为正Fibonacci数 .关于正Fibonacci数的奇偶性及其中偶Fibonacci数中因子 2的指数 ,笔者在文 [1]中已有部分结果 (见下文中引理 1) ,即正Fibonacci数Fn 的奇偶性 ,由其下标n是否含因子 3来确定 ,且当n是一个奇数的 3倍时 ,Fn 的标准分解式中 ,因子 2的指数确定为1.本文所做的工作 ,是利用同余的知识 ,对于n是一个正偶数的 3倍时 ,Fn 的标准分解式中因子 2的指数给出一个准确的结果 .定理 1…     

关于《连对角占优矩阵的一些性质》的注记

本文指出[1]中一些结论是错误的,并说明产生错误的原因. 为了便于说明问题,我们采用文[1]中的定义和记号.首先将[1]中引理2叙述如下: 引理2 若A∈C~(m×n)为不可约矩阵,又假定A的一个特征值λ是卵形|z-a_(ii)||z-a_(jj)|≤Λ_iΛ_j的并集的一个边界点,则所有n(n-1)/2个卵形圆周|z-a_(ii)||x-a_(ii)|=Λ_iΛ_j(i≠i,i,j=?)都通过点.     

一个极值定理的简单证明

本文的目的是给出定理的较为直观的简单证明.2.我们需要一个引理.引理 设 f(t)是[0,T]上的 L 可积函数,a=(?)|f(t)|dt>0,那么对于区间[-α,a]中的任意数ρ,必有[0,T]上的可测函数 I(t)=I_ρ(t),满足如下的条件:     

实随机矩阵的Jordan标准型

“正好有非线性初等因子的矩阵在实际工作中几乎是不存在的 .…… ,舍入误差通常将导致一个已经不再有非线性初等因子的矩阵”[3 ] ,根据 J.H.Wilkinson揭示的这些客观规律 ,以及 G.H.Golub给出的结论 :“Rn× n中的可对角化矩阵在 Rn× n中是稠密的”[1 ] ,使我们联想到以下命题成立的可能性 :“在 Rn× n中具有重特征值的矩阵集合的 L ebesgue测度为零”.本文的主题就是证明该命题成立 .引理　设 F(x1 ,… ,xm)为变元 x1 ,… ,xm的实系数多项式 ,那么μm{ x|F(x) =0 ,‖ x‖ 相似文献   

多边形的分类

边不相交的闭折线称为多边形 .多边形的分类是一个令人关注的问题 .近年提出的有“按折性数列”[1] 和“按单双折边排列”两种分类方法 .但前者的一个缺点是把本属同一类的多边形 ,如轴对称的 (图 1中的 ( a)和 ( b) ) ,算作不同类 ,与综合几何的分类法相悖 .本文讨论按单双折边排列进行分类的问题 ,需如下引理 . 图 1　　引理 1 [2 ]　闭折线如有双折边 ,则必有偶数条 ,左、右旋边各半且相间排列 .现以 d表示单折边 ,s表示双折边 .那么我们有定理 1　设 Hm( n) ( n≥ 5 )表示 2 m个 s和k =n- 2 m( m =0 ,1 ,… ,[n2 ])个 d这 n个元素的环…     

再论函数的非周期性

关于函数的非周期性,在文[2]中证明了一大批所谓复合正弦函数如sinex,sinln(x2 4)等为非周期函数,但如果limx∞f'(x)=k(常数),文[2]的定理就无能为力了,本文将部分解决上述问题.为简单起见如无特别声明,本文所说函数仍设为定义在R上的连续函数,同时我们还引进渐近曲线概念:定义对于定义在R上的函数f(x),g(x),若limx∞|f(x)-g(x)|=0,我们称f(x)为g(x)的渐近曲线,当然g(x)也是f(x)的渐近曲线,记为f(x)～g(x).我们有以下结论定理1设f(x)～g(x),且g(x)和f(x)都是周期函数,则有f(x)≡g(x).我们先证如下引理.引理任意给定两个正实数ω1和ω2,…     

一个猜想的证明

文 [1 ]提出了一个对称不等式 :已知x ,y ,z∈R+,且x+y+z=1 ,则( 1x -x) ( 1y -y) ( 1z -z) ≥ ( 83) 3 ( 1 )并在文末提出一个猜想 :设xi>0 ,i=1 ,2…n ,且 ni=1 xi=1 ,n≥ 3,则Πni=1 ( 1xi-xi) ≥ (n- 1n) n ( 3)本文将利用文 [2 ]中的结论 ,即下述引理 (审者注 :此引理由 [1 ]中定理 3,定理 4结合得出 )去证明这个猜想 .引理　设a 相似文献   

关于《可求和性与解析开拓》一文的注记

除特别申明外,木文均沿用[1]中的定义和记号现在我们通过反例来说明 V.F,Cowling 在[1]中提出的引理,定理3.1和定理4.3是不正确的。为此,我们需要下面的引理。引理1(*) 当|γ|<1时,我们有     

Z变换在单位圆上有零点的信号恢复

本文是[2]的继续,所以沿用[2]中的所有符号和术语。在[2]中,我们对[1]的主要结果作了一个方面的推广,即我们证明了:若实数列x(n)和y(n)的Z变换X(z)和Y(z)有公共的对称正则域,而且都没有倒数对零点,则当它们的相位谱相等时(即θ_x(ω)=θ_y(ω),x(n)和y(n)只差寻个常数因子。     

与任意图正交的[0,k_i]_1~m-因子分解

设G是一个图 ,k1,… ,km 是正整数·　若图G的边能分解成m个边不交的 [0 ,k1]_因子F1,… ,[0 ,km]_因子Fm,则称 F =F1,… ,Fm 是G的一个 [0 ,ki]m1_因子分解·　如果H是G的一个有m条边的子图且对任意的 1≤i≤m有｜E(H) ∩E(Fi) ｜=1,则称 F与H正交·　证明了若G是一个 [0 ,k1 … km-m 1]_图 ,H是G的一个有m条边的子图 ,则图G有一个 [0 ,ki]m1_因子分解与H正交     

关于上纤维偶的一些讨论

<正> 具有绝对同伦扩张性质的空间偶称为上纤维偶.文[1]已指出上纤维偶不是伦型不变的,我们将文[1]的一个引理稍作修改,根据文[1]的结果,得到一个充分条件,从一个上纤维偶能断定另一个也是上纤维偶(第三节).我们的第二个问题是上纤维偶与连通性相关的问题(第四节).最后,在第五节中,我们讨论A是X的独点子集时的上纤维偶(X,     

一个平面点集问题上界的探讨

对于平面上ｎ个点 ,任意两点有一个距离 ,记这些距离中的最大者与最小者之比为λｎ,求λｎ的最小值ｉｎｆλｎ.在文 [2 ]中 ,笔者已经证明了ｉｎｆλｎ >1 2π ｎ- 1 ,下面我们证明ｉｎｆλｎ <1 2π ｎ 1 ,(1 )这是用初等方法给出的最好估计之一 .首先我们约定｜Ａ｜表示集合Ａ的元素个数 ,如Ａ为平面区域 ,Ｓ(Ａ)表示Ａ的面积 .下面给出(1 )的证明 .先给出几个引理 :　　引理 1　对于平面上任一圆Ｏ及圆外一点Ｐ ,有以下两个结论 :(1 )过点Ｐ一定有直线不和圆Ｏ相交 ;(2 )如果过点Ｐ有一条射线 ,它的反向延长线与圆Ｏ的某条直径所在的直线…     

三角形旁切圆的几个几何恒等式

关于三角形的内切圆有这样一个几何恒等式:引理1[1] 设I是△ABC的内切圆的圆心,则下列等式恒成立:IA2/AB·AC+IB2/BA·BC+IC2/CA·CB(1)该命题的证明见文[1].在文[1]中作者巧妙的运用了面积证法从而得到引理1.试想,将引理1中的“内切圆”推广到“旁切圆”,是否仍有类似相关的几何恒等式成立?于是得到下述命题:     

平均每个人查血次数的最小值

文[1]从概率的角度给出“要查出n个人患某种病(假定每人患某种病的概率都是0.1)所需查血总次数最少的一种查血方案”,本文再给出“k个人一组查血时,平均每人查血次数的最小值.”文[1]的(1)式已得:k个人一组查血时,平均每个人查血的次数是ak=11-0.9k 1k(k=1)(k∈N,且k≥2)下面求ak的最小值.定义下文中记f(x)=1x 1x 1-ln109(x>0),g(x)=0.9xx(x 1)(x>0);引理1 1)当00,2)当x≥19时,f(x)<0.证因为f(x)是减函数,又f(18)=0.0028…,f(19)=-0.0027…,所以引理1成立.引理2 1)g(1)g(k 1)(k∈N,且k≥19).证…     

有限群中一个未解决的丢番图方程

在文[1]中,我们曾介绍在有限群的研究中提出的二个丢番图方程 (1) P~m-2q~n=±1,p、q是素数,m>1,n>1的求解问题,并提到Crescenzo在文[2]中证明了定理:除开239~2-2.13~4=-1以外,方程(1)如有放,则m=n=2。 最近发现3~5-2.11~2=1也满足方程(1),因此,上述Crescenzo的定理是错的。错误产生的原因在于该文引理1用了论断:“1 ωq~k(其中k相似文献