在不定积分计算中不能忽视"区间I"

有这么一道求不定积分的题目 :例 ∫ 1 -sin2θdθ在以往的教学乃至某些考研资料中发现有这样做的 :解 ∫ 1 -sin2θdθ=∫ (sinθ-cosθ) 2 dθ=∫ |sinθ-cosθ|dθ=± (cosθ+sinθ) +C初看似乎没错 ,但仔细推敲就会发现有问题。实际上只有当θ∈ [2kπ -3π4,2kπ + π4]时 (k是整数 ) ,cosθ-sinθ 0 ,才有(cosθ+sinθ)′=cosθ -sinθ=｜sinθ-cosθ｜从而cosθ+sinθ在这些区间上才是 |sinθ-cosθ|的一个的原函数。而当θ∈ [2kπ + π4,2kπ + 5π4]时 ,sinθ-cosθ 0 ,(-cosθ-sinθ)′=sinθ -cosθ=｜sinθ-cosθ｜从而与上面…     

不定积分解法研究

通过对不定积分的研究,提出了求几类特殊函数不定积分的新方法.不但求出了高等数学中具有代表性的几种形式的不定积分,而且对不定积分的教学和积分方法的寻求都有启发作用.     

新不定积分表

将传统不定积分表中的递推公式全部展开,并将近200个常用不定积分公式合并为43个积分公式,从而给出一张新不定积分表.     

一类含指数函数的不定积分的探讨

通常的微积分教材中,可以计算的不定积分主要包括有理函数、三角函数有理式和某些含根式的函数.受几个具体函数积分方法的启发,证明了一类含有指数函数的积分公式,该结果包含了微积分教材中用常规积分方法较难推演的一类含指数函数的积分.     

巧用技巧求解不定积分

本文总结了六种不定积分求解的典型方法与技巧.     

定积分与不定积分关系

定积分与不定积分之间的关系始终是中学生在学习AP微积分过程中的一个问题,本文将针对此问题做详细的说明.指出引起困惑的原因,并从源头上挖掘它们的不同之处,揭示出两者是如何联系在一起的.最后,给出了一个简易的类比去理解两者之间的关系.     

三角函数有理式不定积分注记

针对求解三角函数有理式不定积分的问题,借助实例说明传统方法存在不足之处,并给出此类不定积分的完整解．     

谈不定积分运算中的一些灵活性

众所周知 ,在求一些函数的导数时 ,无论给定函数表达式有多么复杂 ,我们总可以按照求导法则 ,按部就班地求出其导函数。也许正是因为求导过程比较简捷明了 ,从而决定了它的逆过程即求不定积分的过程似乎变得复杂而烦琐 ,没有一个统一的法则可以遵循。但恰恰由于这种复杂性 ,也预示着求它的方法是灵活多变的 ,技巧性也是较强的。下面仅就不定积分运算中的一些灵活技巧给予诠释。例 1　求 :∫x +sinx1 +cosxdx解　原式 =∫( x1 +cosx+sinx1 +cosx) dx =　 (注 :( tanx2 )′=11 +cosx,sinx1 +cosx=tanx2 )∫xdtan x2 +∫tanx2 dx =xtanx2 +C本…     

一类不定积分的巧解

讨论一类分母为多项式二次幂的有理分式的特殊积分法,得到积分公式,并加以推广．新方法有别于将有理分式化为部分分式之和的常用方法．     

不定积分计算方法注记

针对不定积分分部积分公式中各部分函数的选择问题，给出一个口诀，并通过实例加以验证。针对含根式被积函数不定积分换元法中换元变换的问题，给出一个注记。     

对一个不定积分公式的一点注记

探讨积分表中的一个不定积分,即∫dx/a^2cos^2x＋b^2sin^2x=1/abarctan（b/atan x）＋C的不严密性,并给出了该积分的严密表示形式．     

关于不定积分的换元积分法

关于不定积分的换元积分法水乃翔，王美琴（杭州大学数学与信息科学系３１００２８）新近，文献［１］将不定积分的换无法分成直接代换和逆代换两类，它们分别正是教材［２］，［３］，［４］和［５］所述的第一类和第二类换元法，第一类换元法通常也称为凑微分法，在［１...     

一类不定积分的分部积分法

对于被积函数形如x^m（ax＋b）^n的一类不定积分,分别在m或n为正整数时,用分部积分法给出其求解思路,并举例说明．     

函数的商的不定积分

本文给出了函数的商的不定积分公式,揭示了该公式的应用方法.     

用定积分形式定义的不定积分

设f(x)有界且有原函数,把f(x)按照一定条件先限制再延拓到(-∞,+∞),得F(x).令x为自变量,s为参数,则形式定积分∫sxF(t)dt就是f(x)的不定积分.因此,不定积分可以看成另一种形式的定积分.是上限与下限都不定的定积分.     

关于连续分段函数不定积分的求法

对连续分段函数的不定积分进行比较深入的研究,通过构造例子,阐述连续分段函数不定积分的四种求法,即狭义上限函数法、广义上限函数法、方程（组）法和差分方程法．     

不定积分中的“积不出”问题

利用刘维尔(J.Liouville)定理讨论了几类不定积分是否初等函数的问题,并给出了相应的判定法则.     

全微分方程的不定积分解法及其证明

0　引言一个一阶微分方程写成P( x,y) dx +Q( x,y) dy =0 ( 1 )形式后 ,如果它的左端恰好是某一个函数 u=u( x,y)的全微分 :du( x,y) =P( x,y) dx +Q( x,y) dy那么方程 ( 1 )就叫做全微分方程。这里 u x=P( x,y) ,　　 u y=Q( x,y)方程 ( 1 )就是 du( x,y) =0 ,其通解为 :u( x,y) =C　 ( C为常数 )可见 ,解全微分方程的关键在于求原函数 u( x,y)。因此 ,本文将提供一种求原函数 u( x,y)的简捷方法 ,并给出证明。1　引入记号为了表述方便 ,先引入记号如下 :设 M( x,y)为一个含有变量 x,y项的二元函数 ,定义 :( 1 )“M( x,y)”表示 M(…     

不定积分定义的新表述

基于集合理论中的同余类概念,给出不定积分的新定义,解决了在原定义下存在的不定积分式间运算意义不明确等问题,使不定积分的定义变得准确合理.     

不定积分的代数解法

基于积分运算是微分运算的逆运算,利用线性代数方法,提出了一种求解几类特殊函数不定积分的新方法,并结合实例验证了方法的有效性.