用向量的性质巧解一类竞赛题

向量是新教材中的一个重点内容,笔者发现利用向量的性质可解方程(组)．思路新颖,简洁明快,略举两例,供读者参考．     

用向量解竞赛题

向量是数学中的重要角色 ,是沟通数和形内在联系的有力工具 ,也有着深刻的物理背景 ,用它来解决复数问题既简捷又直观 ,不仅免去了冗长的运算 ,而且能直接抓住问题的本质 ,是数形结合不可多得的例证 ,对学生数学能力的培养及数学素养的养成都具有重要的作用 .例 1　 (1999年全国高中数学联赛加试第二题 )给定实数ａ ,ｂ ,ｃ ,已知复数ｚ1,ｚ2 ,ｚ3满足|ｚ1|=|ｚ2 |=|ｚ3|=1,ｚ1ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=1.求 |ａｚ1 ｂｚ2 ｃｚ3|的值 .解　∵ |ｚ1|=|ｚ2 |=|ｚ3|=1,∴ |ｚ1ｚ2|=|ｚ2ｚ3|=|ｚ3ｚ1|=|- 1|.又ｚ1ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=1,∴ ｚ1ｚ2 ｚ2…     

利用向量法巧解竞赛题

向量是高中教材的新增内容 .由于向量具有几何和代数的双重属性 ,以向量为工具 ,改变了传统的平面三角、解析几何、立体几何等内容的学习体系 ,使几何问题彻底代数化了 ,使数形结合思想体现得更深刻、更完善 .本文试图以向量为工具 ,来探究一些竞赛试题的新解法 .1　 代数试题例 1　 ( 2 0 0 3年全国联赛试题 )设32 ≤ x≤ 5,证明不等式2 x + 1 + 2 x - 3+ 1 5- 3x <2 1 9.证明　设　 v=( 1 ,1 ,1 ,1 ) ,u=( x + 1 ,x + 1 ,2 x - 3,1 5- 3x ) ,由 u.v≤ | u| .| v| ,得2 x + 1 + 2 x - 3+ 1 5- 3x≤( x + 1 ) + ( x + 1 ) + ( 2…     

用构图法巧解竞赛题

所谓构图法,指的是构造与数量关系对应的几何图形(解题时不一定要画出具体的图象),用几何图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法.鱼有了水,才会有生命的延续;数有了形,使得数学更精彩.数学竞赛中的很多代数问题,一般都以实际问题为背景,而这些背景又可以由几何图形来反映,这时抽象的数量关系完全可以通过构造由它所对应的几何图形直观地表达出来,通过研究其几何特征,我们便可以根据图形的性质来解决它.下面举几例加以说明.例1(第十一届“希望杯”数学竞赛初二第1试试题)适合|2a 7| |2a-1|=8的整数a的值的个数有()(A)5个(B)4个(C)3个(D…     

用向量数量积公式巧解一类数学竞赛题

向量是解决数学问题的一种重要工具,它在数学解题中尤其在不等式的证明中有着广泛的运用.下面仅就它在数学竞赛中的应用举例说明.     

用柯西不等式巧解竞赛题

用柯西不等式巧解竞赛题２１５６００江苏张家港市一中任夏明设ａ１，ａ２，…，ａｎ及ｂ１，ｂ２，…，ｂｎ为任意实数，则当且仅当时等号成立．此即柯西不等式．对某些竞赛题，若能注意因式的巧妙分拆，结构的灵活变形，并应用柯西不等式，常能收到出奇制胜的效果．例１...     

用二进位制巧解一道竞赛题

题目 :(第四届美国数学邀请赛试题 )递增数列 1 ,3,4 ,9,1 0 ,1 2 ,1 3,…由一些正整数组成 ,它们或者是 3的幂 ,或者是若干个不同的 3的幂之和 ,此数列的第 1 0 0项为(　　 ) .( A) 72 9　 ( B) 972　 ( C) 2 4 3　 ( D) 981解　可把问题看作从 1 ,3,32 ,… ,3n中任取一个或几个的和组成 (不可重复 ) ,即对于任一个 3的幂 ,只存在取与不取两种情况 .∴　可把这种情况看成 1个 2进制数 ,其中 1表示取其对应的 3的幂 ,0表示不取 .∵　这样可把二进制数的大小与这一递增数列一一对应起来 .二进制 110 1110 0 10 1110数　列 134910 12二进制…     

用对偶式巧解三角竞赛题

所谓对偶式,就是成对出现的对称结构. 在三角函数求值中,根据三角函数式的对称结构,灵活构造对偶式,不但可以简化计算,还能切身体会数学中的对称美.     

巧解一道竞赛题

<正>~~     

用柯西不等式的向量形式解竞赛题

以部分数学竞赛试题为例,介绍了柯西不等式的向量形式在解题中的应用.     

用导数知识巧解两道竞赛题

学习导数以后，我发现它是一个很好的工具，应用非常广泛，为很多问题的解决提供了新的视角和思路．     

用平面向量巧解一题

题目 已知圆C:x2+y2=4和两个定点A(-1,0)、B(1,0),P为圆C上的动点,过点P的圆C的切线为l,点A关于l的对称点为A′,求|A′B|的最大值.     

巧构重心解竞赛题

2004年全国高中数学联赛选择题4为: 设O点在△ABC内部,且有OA十ZOB+ 3OC一O,则△ABC的面积与△AO〔:的面积之 比为(). ,‘、。,~、3,~、八,~、5 又八,乙气廿)万又七,d又U,了 预备知识若OA+OB十OC一。,则O为 △ABC的重心,且△AOB、△BOC、△AOC的 面积相等. 证明取BC中点D, AC中点E,则口刀十OC一 ZOD,从而O八一一ZOD,故 aA,OL)共线,它们都过O 点,从而O、A、D三点共线, 故O在BC边中线AD上. 同理O在AC边中线 △ABC的重心. 由OA~一ZOD,得 图1 BE上,故O为 S△乃/一25△联一普S△ACD 1。 一了。△ABC 同理 故 …     

构造一元二次方程巧解竞赛题

对于实数a,b,若满足:a+b=p且ab=q,则a,b是关于x的一元二次方程:x2-px+q =0的两个实数根,于是△≥0,即:(-p)2 -4q≥0,则p2≥4q.利用上述构造一元二次方程的方法,通过建立不等式,我们可简洁、有效地解答数学竞赛题,本文举例介绍其应用.     

利用概念巧解竞赛题

在近几年的数学竞赛中,有些试题并不深奥,却令不少学生为之困惑,望题兴叹.究其原因,有的学生对概念、定义一知半解,盲目追求题海战术,试图从中获得解题的能力与技巧,而忽视了概念、定义等基本知识的认真学习与深刻领悟.本文将通过几个典型的实例分析,介绍如何利用概念、定义巧解竞赛题,以此引起学生对学习数学基本知识的重视和兴趣.     

妙用旋转巧解竞赛题

<正>旋转是几何中的一种图形变换,充分利用旋转的性质,将分散的已知条件和未知条件巧妙加以整合,可以在已知与未知之间架起一座桥梁,可使复杂问题简单化,使解题过程简洁.下面举例说明.例1(第十九届全国中小学生数学公开赛八年级人教版第24题)如图1,△ABC是边长为1的等边三角形,△BCD是顶角为120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的∠MDN,点M、N分别在AB、AC上,求△AMN的周长.     

利用基本形巧解竞赛题

平面几何的图形形形色色,千变万化,但如若我们仔细研究,很多的复杂图形都是由某些基本图形变化而来的.例1 如图1,在△ABC中,D为AB边上任意一点,过点A、B分别作CD的平行线交BC,AC的延长线于点E、F.求证:1/AE+1/BF=1/CD.证明 ∵ AE∥CD,∴ CD/AE=DB/AB     

构造不等式 巧解竞赛题

不等式既是初中数学的有机组成部分,也是解决数学问题的秘密武器.本文以竞赛题为例,介绍几种构造不等式的方法,意在增强同学们应用不等式的意识,开拓思维空间,提高解题能力,迎接新知识、新科技的挑战.     

构造方程巧解竞赛题

利用两数和与积构造一元二次方程,是初中数学的重要内容,在数学的应用中有着重要作用.运用构造方程解决有关的数学竞赛题,能开拓思维空间,提高解题能力,使人耳目一新,感受到数学的无穷魅力,提高对数学的兴趣.求代数式的值     

用待定系数法巧解两道国外竞赛题

题1（第44届加拿大数学奥林匹克）已知x,y,z是正实数,证明：x2＋xy2＋xyz2≥4xyz-4.原解注意到（x-2）2≥0→x2≥4x-4,x（y-2）2≥0→4x＋xy2≥4xy,xy（z-2）2≥0→4xy＋xyz2≥4xyz,以上三式相加即得证.上述解法虽巧妙无比,美轮美奂,让人夸口称赞,但解题技巧性强,不具有普遍性,不太符合学生的思维规律,学生一般很难想到.对此,