對代數學教程中近似算法的一點意見

作者在本文中举出(?)著,赵根榕、張理京译代數學教程第二章“近似算法”及第四章“幂舆根”中所存在的一些問题並提出了修改的意見,我們在这里特別指出作者在本文中所提出的準確有效數字的定義的修改意見与原書有着原则上的分歧,原書的定義是按四舍五入法的標准来确定一个近似数的有效數字的,四捨五入法是最好的近似数的記法,在中等技術學校里把計算和测量的结果按四捨五入法记錄下來這個規則介紹給學生對於养成學生的优良習慣來說是十分必要的。结合四捨五入法的規則來下準確有效數字的定義是有根据的。作者認為在實践中近似数可以採用四捨五入的記法,但在理論上準確有效数字不能以四捨五入的記法作為判斷的準繩,所以作者另下定義,這是和原書精神不一致的。 關於有效數字的定義,有規定以不超過近似数的最末位上半个單位為標準的(例如(?)的书),亦有規定以不超過最末一位上一个單位為標準的,也有兩種都採用的(例如(?)的近似计算法,但該書特别指出按四捨五入法記成的近似數,它的有效數字的定義是以下超過最末位上的半個單位為標準的)。闵乃大先生在近似數誤差分析(數學通報1954年10,11,12月號)一文則把符合第一種定義的数字稱為準確有效數字而把符合第二種定義的數字稱為可靠數字以示區別。究竟应該把那一種有效数字的定義介紹給中等技術學校的學生或者把兩種都介紹給學生的問题,我們希望有關讀者能展開討論,好有所决定。     

中等學校裹序列的學習

本文的目的是按照中等學校裏應該講授的計畫給中學數學教師以學習序列問題的典型的探討。序列應該看作是以自然數為變元的函數,因此,必需重複一下學生們在八年級就已得到了的關於函數的基本知識。函數的定義大致以下面的形式教給八年級的學生們。如果變元x的每一允許的數值,對應著某個完全確定了的數值y,那末y就是變元x的函數。所給的x值的集合叫做變元的允許的數值的集合或函數的定義域,而相應的y的數值的集合就叫做函數的數值的集合。要規定一個函數,就應該確定變元的允許的數值的集合和一個對應的規律,按照這個規律,可以給變元的每個已給的數值確定一個唯一的函數值。 學生們應該知道,集合和對應的概念是函數的定義的基礎,它們是基層的,那就是說,集合和對應的概念不能藉助更簡單的概念來定義。     

在中等學校內序列及其極限的概念

1 在中等學校九年級內集合和序列的概念 1.衆所周知,在現代的數學內,集合概念有何等重大的意義,在中學初等數學的各部門內也經常地遇到這一概念,但是通常並不這樣來叫它而已,有些教師甚至極力避免使用術語“集合”,而在實際例題上闡明集合概念的意義,並在以後舆數學的其他基本概念以同等的權利來利用它。 據我們看來,這種情形之所以產生有兩個主要的原因: 1)在中學数學教學大綱和教科書裏沒有用到術語“集合”。 2)在中等學校內引入這一概念的教學法還未擬定。可由五年級開始,給學生舉集合的各種不同的實際例題,不要害怕術語“集合”這兩個字。集合的概念應該建立在八年級內詳細地被研究     

關於初中代數第一章(Ⅰ)的教學問題

(一)教學目的 這一部分的主要教學目的是使學生瞭解使用文字的便利,其次則應使學生熟練地掌握計算的程序,從而能够熟練地求出代數式的值。 學生在算術中對於文字符號的使用,雖已具有一定的某礎,但尚未臻十分熟練,而且使用文字符號究竟有什麼好處亦未透澈理解。因為使用文字來代替一般的數以研究數舆敷間的普遍關係乃是代數學的主要精神,所以在這一單元中,便應在講課時把這一點說得非常突出。在計算程序方面,關於加減乘除學生雖已熟悉,但再加入乘方的運算,其運算程序為何,對於學生還是一個新的東西,因而在講課中應該特別注意。 關於代數教學的整個的教學目的,已具見教學大綱代數部分的說明中,教師首先必須明確,但關於這點僅能在學習過程中逐步使學生明確,在教代數的開始,教師似可不必講給畢生。     

等分圓周法

分圓周為n等分,或與此有聯繫的關於作正多角形的問題,在學校裏的教科書中,構成了平面幾何作圖問題的一部份。教師教給學生的,是利用圓規和直尺,把圓周分為3、4、6等份的方法;有時還講把圓周分成10或5等份的方法,並把能否等分圓周的高斯檢驗法,介紹給學生。當準確的作圖不能做到時,教師們便介紹一種近似的利用量角器分圓周的方法,墨守着教科書的成法,他們常常僅作到這一步為止。利用幾何的方法是可以準確地分圓周為3、5、6、15、17、及257等份的,然而這裏並沒有一個統一的方法;分圓周為15等份的方法是這樣,而分圓周為5或6等份的方法又是那樣,所有的方法都得記住,這對學生有何益處呢? 正由於這樣,從學校裏畢業的人,幾乎在任何時候,誰也不用把圓周分為5、10、17等份的幾何方法,他們往往純粹只利用量角器來分圓周     

對“數學學習”的两點意見

“數學學習”本年4月號第20頁所載“三個親密的朋友-0,1,∞”中有兩句話:“0可以看做∞的例數,∞可以看做0的例數”。我以為這兩句話不但容易使初學的人誤認為1/∞=0和1/0=∞,並且“∞的例數”和“0的例數”是沒有意義的。現在將有意義的0和∞看做沒有意義的東西,殊覺费解。舊書如葛斯郎三氏微積分中確乎有c/∞=0,c/0=∞這些樣的記法,雖然書中已談明這些是(?)的簡略形式,絕不是用∞或0去除常數c,但這兩種記法很容易引起不正確的觀念,還是應該批判的,又第22頁所載“一個小問題”的原文是:“如果以x-a除x的多項式f(x)     

關於評定五至七年級學生數學書面作業和口頭回答的經驗

正確評定學生數學書面作業和口頭回答所具有教育的和實際的重大意義;是提高學生知識質量和學業成績的各種措施之一,並且對於學生畢業考試成绩的優劣也起着重要的作用。 關於學生書面作業和口頭回答的要求問題,在教育界和科學界有着不少值得注意的意見,這些意見表明,在數學書面解題的要求上存在着一系列的爭論,因而也涉及書面作業評定這一問題的爭論,讓我們把這些意見綜合起來研究一下,就不難看出它們的分歧是由於一方面對教育部各項關於學生數學書面作業評定標準原則的指示掌握得不够,只憑主觀和個人看法來理解和解釋這些指示;在另一方面,又沒有把正規的作業要求同個別人士對這個問題的見解和希望區別開來,學生書面作業正式要求和其評定     

希尔伯脫的“幾何学基礎”及其在问題的歷史發展中的地位(續)

第一章包含我們會敍述過的公理法,而且它也包含著最直接地從公理得出的一系列定理,讀者有必要注意到掌握這些定理的證明的會部重要性,檢查甚至記憶希爾伯脫的系統的全部公理,是頗不困難的,可是如果不學會實際上運用這些公理,就是在這些公理的基礎上嚴密邏輯地來證明這些定理,那麼對於數學的發展是毫無用處的。希爾伯脫的敍述每次重版都是向著更容易理解與更完備這一面改變的,雖然,在其中到現在還有不少的在證明上的空白,讓讀者來補充它們,究其實,這樣的情況有力地減低了該書的教育價值,問題不僅在於若干省略了的證明是相當困難的地方,還更重要是別的,初學者甚至在已經作出證明之後,未必能夠有把握地了解他的證明在邏輯的方面是否無可責難,或者在其中某些地方難入從直觀所假借來的假設:所以編者和譯者抱定目標,用附在該書後面(原書403-488頁)的附錄來補足敍述的空白。     

在中學數學教學中向忽視各科之間的聯系这一現象進行鬥爭

在我們的中學數學教學中存在着一個相當普遍的不健康現象,這就是不少數學教師在教學中對數學各科之間的聯系的忽視。誠然,中學數學各科各有其獨自的對象舆獨特的方法;可是另一方面,它們却是相互緊密地聯系着的。研究‘形’的幾何學常要用到‘數’來研究‘形’,同時研究‘數’的代數學又常借助於‘形’的直觀性去研究‘數’。在數學教學中忽視數學各科之間的聯系是違反辯證唯物主義的精神的。辯證唯物主義教導我們:數學是一個有聯系的統一整體,其中各科之間存在若緊密的有機聯系。在教學中忽靦客     

在立体幾何第一章教學中理論与實際相聯系的一些經驗

本文不準備論述“理論舆實際相聯系”這一原則在教學中的意義,因爲這已爲每個教師所公認的真理,本文亦非專事教學方法的介紹,它所追求的目的,僅在於介紹作者在教學實踐當中,曾經作到,而且主觀認為行之有效的一些具體材料,作為講述該章教材之同志們的參考,我將依着教材順序,以單元爲段落,分別介紹如下: 第一單元平面位置的確定。本單元由第二節至第四節之目的,在於使學生明確平面的概念及其基本性質,由此得出確定     

改進幾何作業批改方法的體驗——批改作業和課外輔導相結合

在中學裏,批改數學練習本,一般的說,目前還是一個存在的問題,特別是批改幾何練習本困難最多,問題最大,因此許多老師大多採取“全面檢閱,輪改抽查,重點批改,加强總結”等辦法,最近數學通報上又介紹了一種批改紙片上的習題的辦法(1955年2月號),這些方法,雖然都有着一定的優點,能節省老師們一定的時間和精力,使他們能更好地進行備課和學習,以及進修等工作,但根據目前學生的知識質量,學生的學習態度舆學習方法的情况來說,特別是對初中的學生青少年們來說,這些批改方法的實際效果和作用究竟有多大,還有值得研究的地方,我認為這些方法(包括全批全改在內)都有下列幾個共同的缺點: 1.不管全批全改也好,重點批改也好,輪改抽查也好,當練習本發給同學後,他們是否認     

在數學教學中如何培養學生的獨立思考

我們經常聽到,學生訴苦式的,向老師說:「老師課堂上講的都明白,就是一遇稍難的題目就作不出來。」當某些教師,聽到這樣反映時,却很心安理得的說:「既然老師講的都明白了,不會作題,這是你們缺乏獨立思考能力。」但是請問,學生缺乏獨立思考能力。這應當由誰來負主要的責任呢? 作為一個教師,他不僅要教明白一定的科學知識,同時還要努力促進學生智力的發展,如何才能盡到這一任務,而是一個很艱鉅的工作,需要教師經常的努力,並掌握一定的科學方法,下面就個人所見,談幾點不成熟的體會。     

關於判斷冪級數一致收斂的Abel定理

斯米爾諾夫所著高等數學教程第一卷第四章,為了講冪級數一的致收斂,先在該章§3,[147]提出了一個判斷函數項級數一致收斂的Abel定理: 定理A. ■在閉區間[a,b]上一致收斂;並且把它叫做Abel判別法,其實這定理的第(iii)條假設不必一切v_k(x)〉0;即便採用該書的證法,只須將字句略加修改,很可以將(iii)換作 (iii＇)對於[a,b]上的每個x,{u_k(x)}~∞,構成單調有界數列,雖然如此修改之後,還不是Abel定理的一般情形。一般情形是u_k(x)=a_k(x)v_k(x)     

對中學几何教本的商榷

本文主要是討論幾何教本教材編排上的幾個問題。根據個人的感覺、和數學教師們交談的結果,對格拉哥列夫教授改變吉西略夫第二部教本的教材,一致認為在教學法的觀點上,是不够正確的。第一章(空間的直線和平面)的教材內容有些改變,吉西略夫的舊版本以及達維多夫,格伯爾,拉舍夫斯基等的教本,都把第一章分為四節命名如下: 1) 平面位置的確定, 2) 平面的垂線和斜線, 3) 平行的直線和平面, 4) 二面角和多面角, 教材这樣的編排,是完全合乎由易到難的原则,學習“平面的垂線和斜組”的定理此學習“平行直線與平面”的定理困難要少些,平行直線与平面的定理,常用反證法證明,大家知道這是一種較直接證法難以使學生接受的證法。     

不能忘記的一件事

在一個月以前,我在上海看了一個蘇聯電影:“不能忘記這件事”。裹面描寫了一個作家爲了要寫一本揭露國際資產階級罪惡活動的書,在書未寫成之前,就受到一羣宵小的破壞和打擊,一個“可憐”的寄宿在作家家裏的老太婆,在極端關心作家一家的掩蔽下挑撥着他們之間的關係。一個大學教授一面用别人的姓名出面寫稿攻擊作家的那本著作,一面親自到作家家裹慇懃慰問,表示憤慨,在課堂裹,又借着“批判”來向青年學生們灌輸某一反動作家的思想。還有一個“博學”的舊書商老闆,把隱藏着的反動書籍借給“有可乘之隙”的人們。最後,才發現了這是一批有組織的特務們的有計劃的行動,那個“好心腸”     

在十年级裏代数方程的讨论

通過“方程的討論”課題後,學生必須學會解决相應的習題,給所得到的解答以充份的討論,並附之以明瞭的解釋。對於習題的解答,必须先行對於討論的意義及解答的存在規則作基本的理論上的研究。在吉謝遼夫的代數教本上有和方程的討論相關的一章,然而那一章存在以下缺點:1)“方程的討論”一名詞的定義不明確;2)方程的解必須和對應數字的集合相關聯,這一思想的表達不明確;3)只用五種典型的分析情形顯示討論的輪廓,而沒有討論到這种情形:當方程的解應該只属于自然数的集合、整數的集合等等。     

关于代数学教程中“近似算法”几个問题的商榷

本通报1955年10月号發表了兩篇关於中等技术学校代数学教程中的近似算法的一些意見,看过后,我有一些不同的看法,願意提出来和大家共同研究。 (1)在通报的21頁最后所提到的是说:在原書(譯本)67頁例3中違背了近似数的乘法法則,我認为这正是符合於原書所提到的法則:在求中間結果时,应多取一个数字的法則是一致的。 (2)关於有效数字与存疑数字定义的問題,在胥長辰同志的意見認为应把这兩个定义統一起来,以避免兩个定义不相啣接,因此胥長辰同志認为应該修改,这样一来就忽視了近似数的最好的記法——四捨五入法,而这一方法在大綱中規定是中技校学生所必需掌握的,因此我認为除了原書所下的定义外,为了弥补这     

近似數運算誤差分析

引言在應用數學範圍以内,我们要遇到數字和公式。但是我們對於這些數字和這些公式的看法,和純粹數學工作者的看法,有一定不同的地方。例如e,π,2~(1/2)這些無理數,應用數學工作者不能採用它們的準確數值,只能採用它們的近似數值,如2.7183;3.1415;1.414。對於公式的看法,純粹數學工作者要求簡潔、明顯、完整。但應用數學工作者的要求便不同,並且看所用的計算工具不同而有所不同。例如:如何容易計算,如     

关于北京大学数学力学系編“数学分析”上册一书教学实践的点滴体会与意見

我們愉快地教完了北京大學數學力學系編的“數學分析”上冊(以下簡稱“上冊”)。感到該書在某些方面具有特色,學習之後受益不淺。但另一方面也還覺得有些不足之處,下面想就此兩方面談談自己的體會和意見,以就教于同志們。一、關於若干基本概念的處理“上冊”對於“極限”特別是對於“微分”與“定積分”這兩個概念的處理是有鮮明特色的。 數學分析是用極限方法來研究函數的。因此一開始就接觸到極限這個重要的概念以及它的一般性貭與     

關於在中學數學教學中如何形成學生辯證唯物主義的世界觀的問题

中央教育部編訂的中學數學教學大綱(草案)中規定:“教師在講授數學的過程中,要貫徹新民主主義教育的一般任務,形成學生辯證唯物主義的世界觀,培養他們新的愛國主義以及民族自尊心,鍛鍊他們的堅强的意志和性格”。近年來,全國各地教師們在努力完成這樣光榮而艱鉅的任務中也積累了一些寶貴的經驗,這些經驗如果能經常及時交流,總結推廣,會使我們的工作提高一步。但這方面我們的經驗還遠不够多,如何創造性地想出一些辦法來實现這些任務,目