对新题征展(31)第3题的订正

题　已知复数 z满足条件 | z| =1 ,求| z - i| .| z - 12 32 - i|的最大值 .解法 1　设 z =cosθ isinθ,其中θ∈[0 ,2π) ,| z - i| =| cosθ i( sinθ - 1 ) |= cos2 θ ( sinθ - 1 ) 2 =2 ( 1 - sinθ)= 2 [1 - cos( π2 -θ) ]=2 | sin( π4 - θ2 ) || z - 12 32 i|= | ( cosθ - 12 ) i( sinθ 32 ) |= ( cosθ - 12 ) 2 ( sinθ 32 ) 2= 2 2 sin(θ - π6 )=2 [1 cos( 2π3-θ) ]=2 .2 cos2 ( π3- θ2 )=2 | cos( π3- θ2 ) | .则　 | z - i| .| z - 12 32 i|=4 | sin( π4 - θ2 ) .cos( π3- θ2 ) |=…     

公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量解释

在直角坐标系内单位圆上设A (cosα ,sinα) ,B (cosβ ,sinβ)(其中α ,β∈R) ,则OA———→ =(cosα ,sinα) ,OB———→ =(cosβ ,sinβ) .又　 |OA———→| =|OB———→| =1,OA———→·OB———→ =cosαcosβ +sinαsinβ ,cos(α -β) =cos∠BOA =cos〈OA———→ ,OB———→〉 .而OA———→·OB———→ =|OA———→|·|OB———→|cos〈OA———→ ,OB———→〉=cos〈OA———→,OB———→〉=cos(α-β) ,∴　cos(α -β) =cosαcosβ +sinαsinβ .公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量解释$山…     

为几例三角题解把脉

三角函数是中学数学的重要内容之一 ,它除具有一般函数性质外 ,还具有一系列特殊的性质 ,同学们在求解时 ,稍有不慎就会“误入歧途”且不易觉察 .本文为几例三角题解把把脉 ,望同学们能从中有所领悟 .病因 1　忽视三角函数的有界性例 1　已知sinαcosβ =12 ,求t =sinβcosα的范围 .病解　把sinαcosβ =12 与t=sinβcosα相加 ,得sin(α +β) =12 +t .∵ - 1≤sin(α +β)≤ 1,∴ - 1≤ 12 +t≤ 1,即 - 32 ≤t≤ 12 .诊断　未能充分挖掘正、余弦函数的有界性 .事实上 ,由sinαcosβ =12 ,得sin(α +β) +sin(α - β) =1,即sin(α +β) =1…     

2003年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)

参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ=12 〔sin(α+ β) +sin(α- β)〕cosαsinβ =12 〔sin(α+ β) -sin(α- β)〕cosαcosβ =12 〔cos(α+ β) +cos(α- β)〕sinαsinβ=- 12 〔cos(α + β) -cos(α- β)〕正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′+c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球体的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一 选择题( 1 )同新课程卷 ( 2 )( 2 )圆锥曲线 ρ=8sinθcos2 θ的准线方程是(A) ρcosθ=- 2 (B) ρcosθ=2(C) ρsinθ=- 2 (D) ρsinθ=2( 3)同新课程卷 ( 3)( 4 )…     

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）

第Ⅰ卷(选择题　共 5 0分 )参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 〔sin(α+ β) +sin(α- β)〕cosαsinβ=12 〔sin(α+ β) -sin(α- β)〕cosαcosβ=12 〔cos(α+ β) +cos(α - β)〕sinαsinβ=- 12 〔cos(α+ β) -cos(α- β)〕正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′ +c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球体的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一 选择题 :本大题共 1 0小题 ,每小题 5分 ,共 5 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .( 1 )设集合A={x｜x2 - 1 >0 },…     

三角“条件求值”问题的一些解法

1　代入法例 1　已知 tgα .ctgβ =5,求 sin(α β) .csc(α -β)值 .解　∵　　　 tgα .ctgβ =5,∴　 sin(α β) csc(α -β) =sin(α β)sin(α -β)=sinαcosβ cosαsinβsinαcosβ - cosαsinβ=tgαctgβ 1tgαctgβ - 1=5 15- 1=32 .2　配凑法例 2　已知 π2     

2002年普通高等学校春季招生考试数学(理工农医类)试题及解答

参考公式三角函数的积化和差公式sinα cosβ =12 [sin(α β) sin(α -β) ]cosα sinβ =12 [sin(α β) - sin(α -β) ]cosα cosβ =12 [cos(α β) cos(α -β) ]sinα sinβ =- 12 [cos(α β) - cos(α -β) ]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′ c) l;其中 c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长 .球体的体积公式V球 =43πR3 ,其中 R表示球的半径 .1.选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1)不等式组 x2 - 1<0x2 - 3x <0 的解集是 (　…     

2004年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)

第Ⅰ卷　　参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 [sin(α β) sin(α- β) ]cosαsinβ=12 [sin(α β) -sin(α- β) ]cosαcosβ=12 [cos(α β) cos(α - β) ]sinαsinβ =- 12 [cos(α β) -cos(α - β) ]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′ c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一、选择题( 1 )设集合M ={(x,y) ｜x2 y2 =1 ,x∈R ,y∈R},N ={(x ,y) ｜x2 -y=0 ,x∈R ,y∈R},则集合M∩N中元素的个数为 (　　 )(A) 1　　 (B) 2　　 (C) 3…     

“求复平面上点的轨迹”初探

我们将处理复平面上的点轨迹问题,归纳其解法如下,供参考。一、定义法。所谓定义法就是应用实数、复数相等等概念处理点的轨迹问题。例1 已知复数z_1=cosθ isinθ(0≤θ<π),z_2=1 4cos2θ i4sin2θ,若复数z=z_2·z_1~(-1),试求复数z所对应的动点轨迹的普通方程。解:∵z=z_2·z_1~(-1)=(1 4cos2θ i4sin2θ)·(cosθ isinθ)~(-1)=(1 4cos2θ i4sin2θ)[cos(-θ) isin(-θ)]=5cosθ i·3sinθ, 设复数z=x yi(x,y∈R),根据复数相等的     

解复数题的几个误区

实数集扩充成复数集后 ,有些在实数集成立的性质 ,在复数集不再成立了 .在复数集中建立了许多新概念、性质和法则 .许多同学对于新的东西理解不深 ,应用不力 ,故常犯错误 .一、混淆复数的模和实数的绝对值例 1　关于x的实系数方程x2 +4x +p=0 ,有两个虚根为α、β ,且 |α -β|=2 .求P的值 .错解　由韦达定理 ,得α +β =-4 ,　αβ =p .又　 |α -β|2 =(α -β) 2=(α +β) 2 -4αβ=( -4 ) 2 -4 p=4.∴　 16-4 p =4,　∴　p =3 .辨析　此题解法似乎正确 ,但实际上是错误的 .错在 |α -β|2 =(α -β) 2 ,例如α -β =2i时 ,|α -β|2 =|…     

一个条件,多种结论

若α、β、γ满足: sinα sinβ sinγ=0 (1) cocα cosβ cosγ=0 (2)则有 sinα=-(sinβ sinγ)(3) cosα=-(cosβ cosγ) (4) (3)的平方加上(4)的平方得: cos(β-γ)=-1/2 (5) 这是我们要证的第一个结论由(5)还可得:β-γ=2/3π 2kπ其中k∈Z。同理可证:γ-α=2/3π 2kπ,α-β=2/3π 2kπ、因此,在(1)、(2)条件下,有结论:α、β、γ依次相差2/3π 2kπ,(k∈Z)——这是要证的第二个结论。     

应用万能公式解竞赛题

在众多竞赛题中,虽然不是三角题目,但若能类比万能公式,往往可以推陈出新.本文撷取几例以供参考. 1.应用于证明不等式(或恒等式) 例1 已知x,y,z为正实数,且 求证:证明考虑要证式子的特点,可作代换x=tanα,y=tanβ,z=tanγ,其中α,β,γ均为锐角,则已知可化为sin2α sin2β sin2γ=2,同时cos2α cos2β cos2γ=1,而     

四面体的一个体积公式--三面角的棱面角公式的一个应用

文 [1 ]给出了三面角中棱与面所成角与三面角之间的关系如下 :定理 1　在三面角S—A1 B1 C1 中 ,三个面角∠C1 SB1 =α ,∠A1 SC1 =β,∠A1 SB1 =γ ,且棱SA1 和平面C1 SB1 所成的棱面角为θ1 ,棱SB1 和平面A1 SC1 所成的棱面角为θ2 ,棱SC1 与平面A1 SB1 所成棱面角为θ3,则cosθ1 =cos2 β+cos2 γ- 2cosαcosβcosγsinα ,cosθ2 =cos2 γ+cos2 α- 2cosαcosβcosγsinβ ,cosθ3 =cos2 α +cos2 β- 2cosαcosβcosγsinγ .(三面角的棱面角的余弦公式 )文 [2 ]给出了定理 1的一个简证 .受定理 1启发 ,如图 ,若分别在SA1…     

对“一类三角题的复数解法”的补充

《中学数学》刊登的“一类三角题的复数解法”一文介绍了复数在三角方面的一些应用。笔者试作如下补充。(原文见1985年2月号) 设z=cosθ+isinθ,z=cosθ-isinθ。显然有z·z=1。易求得sinθ=z-z/2=z~2-1/2iz,cosθ=z~2+1/2z,tgθ=z~2-1/i(z~2+1),由棣美弗公式     

配凑二项平方和,巧解三角问题

配方法是广大同学非常熟悉的数学思想方法,但解题时,很多同学都不习惯于配凑二项的平方和,使配方法的作用大打折扣.下面结合一些三角问题,举例说明配凑二项平方和在解题中的应用.1　求值已知sinθ+cosθ=2 ,求log12 sinθ·log12 cosθ之值.解　由sinθ+cosθ=2 ,有2sinθ+2cosθ=2 ,即sinθ- 222 +cosθ- 222 =0 ,∴sinθ=22 ,cosθ=22 .故　log12 sinθ·log12 cosθ=14 .例2　已知α,β为锐角,且cosα+cosβ-cos(α+β) =32 ,求α,β之值.解　由已知,得4cos2 α+β2 - 4cosα+β2 cosα- β2 +1=0 ,即　2cosα+β2 -cosα- β22 +sin2 α…     

一类正则函数的性质

设函数 f( z) =z+a2 z2 +…在单位圆盘 D={z |z|<1 }中正则 ,我们记这种函数的全体为 N,设β>0 ,令Sβ=f ( z) f ( z)∈ N且 (β-1 ) zf′( z)f ( z) -1 +1 +zf″( z)f ( z) 1 +4 z+z21 -z2 .本文给出了 Sβ 中函数的一些性质     

复数多项式H（z）模最值的一种解析求法

设z为复数,且|z|=1,对于实系数复多项式为h(z)=h0 h1z h2z2 … hnzn,h0·hn≠0,为求|h(z)|max与|h(z)|min,令f(z)=h(z)h(z-1)=r0 nj=1 rj (zj z-j),其中r0=nk=0 h2k,rj=nk=0 hk·hk j (hk=0,k＞n时),由|z|=1可设z=cosθ isinθ,θ∈［0,2π］,由欧拉公式知z=eiθ.于是有|h(z)|=h(eiθ)=|h(eiθ)·h(e-iθ)|12=|f(eiθ)|12=|f(z)|12,所以f(z)=f(eiθ)=r0 nj=1 rj(eijθ e-ijθ)=r0 nj=1 2rjcosjθ,其中cosjθ可表示成cosθ的函数,因此f(eiθ)也可表示成cosθ的一元函数,即f(eiθ)=r0 2r1cos…     

三角函数线的妙用

同学们在学习三角函数时 ,大多比较注重三角函数的图象与性质 ,而对三角函数线重视不够 .其实用三角函数线解题直观、简捷 ,省时省力 .下面通过 6例以展示其解题的奇特功能 .例 1　若 0 <α <β <π2 ,试比较sinα -α与sinβ - β的大小 .此题求解方法繁多 ,今给出利用三角函数线的简捷求解方法 .图 1　例 1图解　如图 1 ,在单位圆中 ,CM与DN分别为角α ,β的正弦线 ,从而有12 (α -sinα) =S1为弓形ABC的面积 ,12 ( β -sinβ) =S2为弓形ACD面积 .显然S1sinβ - β.例 2　求…     

向量的教学体会

一、利用向量可简化某些定理、公式的推导例1求证:cos(α-β)=cosαcosβ sinαsinβ证:在单位圆中作向量OA,OB,与x轴正向的夹角分别是α、β,则点A的坐标是(cosα,sinα),点B的坐标是(cosβ,sinβ),则OA·OB=cosα·cosβ sinα·sinβOA·OB=|OA|·|OB|·cos(α-β)=cos(α-β)故等式成立.又如正弦定理、余弦定理、点到平面的距离公式用向量法证明,其证明过程也大大简化.二、向量使立体几何摆脱了纯逻辑推理,大大降低了求解难度用空间向量的知识和方法,使我们能用代数的观点和方法解决立体几何问题,用具体计算代替空间想象,可操作…     

一道试题的背景研究及其推广

定理如果一个虚数的三次方是实数,那么,这个虚数必有形式Aw或Aw2,其中,w是1的立方虚根,A∈R且A≠0.证法1设z=r(cosθ isinθ),r∈R且r≠0,sinθ≠0,ω=-12 32i=cos23π i sin2π3,则z3=r3(cos3θ i sin3θ)∈R,∴sin3θ=0.3θ=kπ,θ=kπ3,k∈Z.1)当k=6n(n∈Z,下同)时,θ=2nπ,