圆锥曲线两个性质的推广

《数学通报》2 0 0 2年第 6期文 [1 ]给出了圆锥曲线的如下两个性质 :性质 1　若Ｆ是圆锥曲线的焦点 ,Ｅ是与焦点Ｆ相对应的准线Ｌ和圆锥曲线对称轴的交点 ,ＡＢ是过焦点Ｆ的弦 ,ＢＣ∥ＦＥ ,点Ｃ在Ｌ上 ,则直线ＡＣ平分线段ＥＦ .性质 2　若Ｆ是圆锥曲线的焦点 ,Ｅ是与焦点Ｆ相对应的准线Ｌ和圆锥曲线对称轴的交点 ,ＡＢ是过焦点Ｆ的弦 ,点Ｃ在Ｌ上 ,直线ＡＣ平分线段ＥＦ ,则ＢＣ∥ＦＥ .本文旨在将以上两个性质进行推广 ,即若将性质中的焦点Ｆ推广为圆锥曲线 (包括圆 )对称轴上的任意一定点 ,是可得如下若干结论 ,1　性质 1的推广定理 1…     

等腰梯形的一个优美特性

如果称椭圆ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1与双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2=1为一对等轴圆锥曲线 ,那么 ,笔者经研究发现 ,等腰梯形具有下面的优美性质 :定理　等腰梯形底上的两对顶点在一对等轴圆锥曲线上 ,且其对角线的交点为等轴圆锥曲线的一个公共顶点 .证明　如图 ,设梯形ＡＢＣＤ的两腰与两条对角线分别相交于点Ｅ、Ｆ ,以ＥＦ中点为原点 ,ＥＦ所在直线为ｘ轴建立直角坐标系 ,则Ａ与Ｂ、Ｃ与Ｄ均关于ｘ轴对称设经过点Ａ ,Ｅ ,Ｂ ,Ｆ的椭圆方程为ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 ) ,Ａ (ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｂ(ｘ1 ,-ｙ1 ) ,由Ｆ(ａ ,0 ) ,Ｅ(-ａ ,0 )得直线ＢＤ、…     

一道高考解析几何试题的引伸及推广

20 0 1年全国高考文、理科解几试题是 :设抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的焦点为Ｆ ,经过点Ｆ的直线交抛物线于Ａ ,Ｂ两点 ,点Ｃ在抛物线的准线上 ,且ＢＣ∥ｘ轴 .证明直线ＡＣ经过原点Ｏ .显然本题是课本习题的逆命题 ,本文给出其所有的逆命题 ,并把它引伸到椭圆、双曲线的情形 ,进而推广到更一般的情形 .我们把本题的 3个条件及结论写成 ;(1 )弦ＡＢ过焦点Ｆ ,(2 )点Ｃ在准线上 ,(3 )ＢＣ ∥ｘ轴(对称轴 ) ,(4 )ＡＣ过顶点 .则有1° (1 ) (2 ) (3 ) (4 ) (上述高考题 )2° (1 ) (2 ) (4 ) (3 ) (课本习题 )3° (1 ) (3 ) (4 ) (2 ) (证略 )4…     

圆锥曲线的又一个有趣性质

笔者近日在对圆锥曲线内点性质研究时 ,发现了圆锥曲线内点的一个新颖有趣的性质 .图 1性质 1　设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是椭圆Ｅ内部一定点 (异于Ｅ的中心Ｏ) ,过点Ｐ引直线ｌ交椭圆Ｅ于Ａ、Ｂ两点 ,以ＯＡ、ＯＢ为邻边作平行四边形 (当Ａ、Ｏ、Ｂ三点共线时 ,可视为退化情形 ,下同)ＯＡＱＢ ,则点Ｑ的轨迹是以Ｐ为中心且与椭圆Ｅ有相同离心率的椭圆Ｅ′(当原曲线为圆时 ,点Ｑ轨迹是圆 ) ,同时椭圆Ｅ′过Ｅ的中心 .图 2性质 2　设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是双曲线Ｅ内部 (含焦点的区域 )一定点 ,Ｅ的中心为Ｏ .过Ｐ引直线ｌ交双曲线Ｅ于Ａ、Ｂ两点 ,以ＯＡ、…     

圆锥曲线第二定义的应用

提到椭圆或双曲线 ,自然会想到到两定点距离之和 (差 )等于定值的点的轨迹 ,但是它们的第二定义却在解题中有绝妙之处 ,常可以化繁为简 .下举两例 ,与同学们共赏 .图 1　例 1图例 1　已知椭圆Ｃ的直角坐标方程为 ｘ24 + ｙ23=1.若过椭圆Ｃ的右焦点Ｆ的直线ｍ与椭圆Ｃ相交于Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )两点 (其中 ｙ1>ｙ2 ) ,且满足|ＡＦ||ＢＦ| =2 ,试求直线ｍ的方程 .分析 :本题的常规做法是设出ＡＢ的斜率 ,再将ＡＢ方程与椭圆方程联立 ,但由于|ＡＦ||ＢＦ| =2 ,即Ｆ并非ＡＢ的中点 ,故在解一元二次方程时不能直接应用韦达定理而需用求根…     

一个定点问题的研究性学习

文[1]认真研读天津2004年高考理科卷第22题,从中挖掘了圆锥曲线的以下性质:性质1设椭圆xa22 by22=1(a>b>0)的焦点为F,相应于F(c,0)(c>0)的准线l与x轴相交于点Aac2,0,过点A的直线交椭圆于点P,Q,过点P且平行于准线l的直线与椭圆交于另一点M,则M,F,Q三点共线.性质2设双曲线ax22-yb     

关于四面体的两个新命题

四面体是空间较简单的几何体 ,笔者通图 1　命题 1图过将它与三角形进行类比 ,得到如下两个命题 .命题 1　如图 1 ,Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ分别是四面体Ａ ＢＣＤ棱ＡＢ ,ＢＣ ,ＣＤ ,ＤＡ上的点 ,则Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ四点共面的充要条件是ＡＥＥＢ·ＢＦＦＣ·ＣＧＧＤ·ＤＨＨＡ=1 .证　先证充分性 .分两种情况 :　　 1 )当ＥＦ∥ＡＣ时 ,有 ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ.由 ＡＥＥＢ·ＢＦＦＣ·ＣＧＧＤ·ＤＨＨＡ=1知ＣＧＧＤ=ＨＡＨＤ.∴ＨＧ∥ＡＣ .∴ＥＦ∥ＨＧ .∴Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ四点共面 .2 )当ＥＦ∥\ＡＣ时 ,设直线ＥＦ与直线ＡＣ相交于点Ｐ ,连结Ｐ…     

综合题新编

题 2 4　已知平行四边形ＡＢＣＤ ,Ａ (-2 ,0 ) ,Ｂ(2 ,0 ) .且 |ＡＤ| =2 .1)求平行四边形ＡＢＣＤ对角线交点Ｅ的轨迹方程 .2 )过Ａ作直线交以Ａ ,Ｂ为焦点的椭圆于Ｍ ,Ｎ两点 .且 |ＭＮ| =832 ,ＭＮ的中点到ｙ轴的距离为 43,求椭圆的方程 .3)与Ｅ点轨迹相切的直线ｌ交椭圆于Ｐ ,Ｑ两点 .求 |ＰＱ|的最大值及此时ｌ的方程 .解　 1)设Ｅ(ｘ ,ｙ) ,连ＯＥ ,则ＯＥ 　∥=12 ·ＡＤ .∴ |ＯＥ| =1.∴ｘ2 ｙ2 =1(ｙ≠ 0 ) .2 )由圆锥曲线的统一定义可知 :|ＭＡ|=ａ ｅｘ1,|ＮＡ| =ａ ｅｘ2 .∴ |ＭＮ| =2ａ ｅ(ｘ1 ｘ2 ) =832 .∵ｃ=2 ,∴…     

综合题新编选登

题 39　 已知椭圆Ｃ的方程为ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ>ｂ >0 ) ,双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1的两条渐近线为ｌ1,ｌ2 ,过椭圆Ｃ的右焦点Ｆ作直线ｌ,使ｌ⊥ｌ1,又ｌ与ｌ2交于Ｐ点 ,设ｌ与椭圆Ｃ的两交点从左到右依次为Ｂ ,Ａ(如图 1) .图 1　题 39图求|ＰＢ||ＰＡ| 的最大值及取得最大值时椭圆Ｃ的离心率ｅ的值 .解　设Ｃ的半焦距为ｃ,由对称性 ,不妨有ｌ1:ｙ =- ｂａｘ ,ｌ2 :ｙ =ｂａｘ .由ｙ =ｂａｘ ,ｙ =ａｂ(ｘ -ｃ) ,得Ｐ ａ2ｃ ,ａｂｃ .知点Ｐ在椭圆的右准线ｘ =ａ2ｃ上 .设点Ａ内分有向线段ＦＰ的比为λ ,由定比分点坐标公式求出点Ａ的…     

一道课本习题的引申

高级中学课本《平面解析几何》（必修）Ｐ９９上有这样一道习题：过抛物线焦点的一条直线与它交于两点Ｐ、Ｑ,通过点Ｐ和抛物线顶点的直线交准线于Ｍ;求证：直线ＭＱ平行于抛物线的对称轴;由抛物线我们联想到椭圆,若将以上命题引申到椭圆会有怎样的结论？经过探讨,发现有如下性质;定理１　过椭圆一个焦点Ｆ的直线与它交于两点Ｐ、Ｑ,通过点Ｐ和椭圆长轴上一个顶点的直线交距点Ｆ较近的准线于Ｍ,则直线ＭＱ通过长轴上的另一个顶点;ｘ２ＡＯＦＰ１ＡＱｙｌＭ证明　设椭圆的方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）,焦点Ｆ（－ｃ…     

用圆锥曲线的定义搭桥铺路

解析几何中某些问题 ,若能灵活运用圆锥曲线定义搭桥铺路 ,便能使解题过程简洁明快 ,收到事半功倍的效果 .1　求圆锥曲线的离心率例 1　 (2 0 0 1年全国高考理 (7)题 )若椭圆经过原点 ,且焦点为Ｆ1(1,0 ) ,Ｆ2 (3,0 ) ,则其离心率为(　　 )(Ａ) 34 .　 (Ｂ) 23.　 (Ｃ) 12 .　 (Ｄ) 14.分析 :∵ 2ｃ=|Ｆ1Ｆ2 |=2 ,∴ｃ =1,又∵椭圆经过原点 ,根据椭圆第一定义 ,∴ 2ａ =|ＯＦ1| |ＯＦ2 |=1 3=4,∴ａ=2 ,∴ｅ=ｃａ =12 ,故应选 (Ｃ) .例 2　 (1999年全国高考理 (15 )题 )设椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ>0 )的右焦点为Ｆ1,右准线为ｌ1,若过Ｆ…     

圆锥曲线通径长公式的应用

定义　过圆锥曲线焦点作垂直于过焦点的对称轴的垂线被圆锥曲线所截得的线段叫做圆锥曲线的通径 .定理　椭圆、双曲线、抛物线通径长为2ｅｐ( ｐ为圆锥曲线焦点到相应准线的距离 ) .证明　抛物线 (略 )、椭圆、双曲线的通径长均为2ｂ2ａ ,而 | ａ2ｃ-ｃ| =ｂ2ｃ=ｐ ,∴　2ｂ2ａ =2× ｃａ×ｂ2ｃ=2ｅｐ .例 1　过抛物线ｙ2 =2ｐｘ( ｐ >0 )的焦点且垂直于ｘ轴的弦为ＡＢ ,Ｏ为抛物线顶点 ,则∠ＡＯＢ(　　 ) .　 (Ａ)小于 90°　 (Ｂ)等于 90°　 (Ｃ)大于 90°　 (Ｄ)不能确定与 90°的大小图 1解　∵　通径长为2 ｐ ,如图 1 ,∴　 |ＡＦ| …     

抛物线中的几个常用性质

抛物线中的性质较多 ,如能熟练记忆 ,在解题过程中将大大提高解题速度 .本文主要介绍与抛物线焦点弦有关的几个性质 .图 1　证明用图以抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ(ｐ >0 )为例 ,线段ＡＢ为过其焦点Ｆ的弦 ,由Ａ ,Ｂ分别向准线引垂线ＡＡ1,ＢＢ1,垂足分别为Ａ1,Ｂ1(见右图 )性质 1:以焦半径ＢＦ(或ＡＦ)为直径的圆与 ｙ轴相切 ;性质 2 :以焦点弦ＡＢ为直径的圆与其准线ｘ =- ｐ2 相切 ;性质 3:以线段Ａ1Ｂ1为直径的圆与ＡＢ相切 ,切点为Ｆ .证明　设Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) .性质 1:即证线段ＢＦ的中点到 ｙ轴的距离等于线段ＢＦ长度的一半 .设…     

二次曲线定比分点弦的存在定理

文 [1 ][2 ]分别给出了求二次曲线定比分点弦所在直线方程的消去法和较为简洁的解方程方法 ,本文就二次曲线定比分点弦存在区域作一探讨 ,以使这类问题进一步完善 .设定 :Ｆ(ｘ ,ｙ) =Ａｘ2 +2Ｂｘｙ+Ｃｙ2 +2Ｄｘ+2Ｅｙ+Ｆ ,　φ(ｘ,ｙ) =Ａｘ2 +2Ｂｘｙ+Ｃｙ2 ,ｆ1 (ｘ,ｙ)=Ａｘ+Ｂｙ +Ｄ ,　ｆ2 (ｘ ,ｙ) =Ｂｘ+Ｃｙ +Ｅ ,Ｉ2 =Ａ　ＢＢ　Ｃ ,Ｉ3=Ａ　Ｂ　ＤＢ　Ｃ　ＥＤ　Ｅ　Ｆ.定理　过Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的直线交二次曲线Ｆ(ｘ ,ｙ) =0于Ｐ1 、Ｐ2 两点 ,点Ｐ分Ｐ1 Ｐ2 的比为λ ,则Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )满足　Ｆ(ｘ0 ,ｙ0 ) Ｉ2 Ｆ(ｘ0 ,ｙ0 ) -…     

圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质及其简证

文 [1 ]指出了圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质 ,读了有所启发 ,李老师对圆锥曲线是椭圆、双曲线、抛物线的情况分别给出了证明 ,由于证明较繁 ,笔者经过探索发现点Ａ可以是圆锥曲线上任意点的情况 ,并给出它们的一个统一命题及其简证 .引理　设Ｆ为圆锥曲线焦点 ,其相应准线为Ｌ ,作一直线交圆锥曲线于Ａ ,Ｐ两点 ,交Ｌ于Ｍ点 ,则ＦＭ平分△ＡＦＰ的∠ＡＦＰ外角 .图 1证　如图 1 ,从Ａ ,Ｐ分别向Ｌ引垂线ＡＡ1 ,ＰＰ1 垂足为Ａ1 ,Ｐ1 ,由圆锥曲线定义得 :｜ＡＦ｜｜ＡＡ1 ｜ =ｅ ,｜ＰＦ｜｜ＰＰ1 ｜ =ｅ ,所以 ,｜ＡＦ｜｜ＡＡ1 ｜ =｜ＰＦ…     

抛物线的一个几何性质的推广

《数学通报》2 0 0 0 (7)文 [1 ]给出了抛物线的一个几何性质 ,本文把它记为定理 1　设Ａ是抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的轴上一点 (位于抛物线内部 ) ,Ｂ是Ａ关于ｙ轴的对称点 ,(1 )若过Ａ点引直线与这抛物线相交于Ｐ ,Ｑ两点 (图 1 ) ,则∠ＰＢＡ =∠ＱＢＡ ;(2 )若过Ｂ点引直线与这抛物线相交于Ｐ ,Ｑ两点 (图 2 ) ,则∠ＰＡＢ+∠ＱＡＢ =1 80°.图 1图 2　　定理 1揭示了抛物线对称轴上任意关于顶点对称的两点所具有的性质 ,我们自然要问 :椭圆、双曲线有没有类似的性质呢 ?定理 2　设Ａ ,Ｂ是椭圆ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 (ａ>ｂ>0 )长轴上分别…     

用导数解初等数学题

对于某些较难的数学题 ,若想到运用导数解决 ,则能居高临下 ,往往能揭示题目之内核 ,且使得解题更容易操作 ,从而获得淡化复杂技巧的功效 .本文拟以数学竞赛题为主 ,就七个方面总结如下 .图 11　求切线的斜率例 1　 (《中等数学》)ＩＭＯ训练题 (6) .二(4) )如图 1 ,已知椭圆ｘ22 ｙ2 =1 ,ＤＡ⊥ＡＢ ,ＣＢ⊥ＡＢ且ＤＡ =3 2 ,ＣＢ= 2 ,动点Ｐ在ＡＢ上移动 ,则△ＰＣＤ的面积的最小值为 .解　易求直线ＣＤ :ｘ ｙ- 2 2 =0 .设切点Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,显见过Ｐ0 点与ＣＤ平行的切线ＥＦ和ＣＤ的距离为最小 .在ｘ轴上方 ,椭圆方程为ｙ= 1 - ｘ2…     

例谈高考填空题的解法

在高考中 ,选择简洁合理的方法是快速求解填空题的关键 ,下面我们就以近两年高考数学的填空题为例 ,谈谈一些常见的求解方法 ,以期对学生高考复习有所帮助 .1　直接求解法　　即从题设条件出发 ,运用定义、性质、定理、公式等知识 ,通过变形、推理、计算等 ,直接得到所求的结论 .例 1　 ( 1999年高考理 ( 15)题 )设椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2= 1(ａ >ｂ >0 )的右焦点为Ｆ1 ,右准线为ｌ1 .若过Ｆ1 且垂直于ｘ轴的弦的长等于点Ｆ1 到ｌ1 的距离 ,则椭圆的离心率是 .解　设过Ｆ1 且垂直于ｘ轴的弦为ＡＢ ,Ｆ1 到ｌ1 的距离为ｄ ,则 |ＡＦ1 | =12 |Ａ…     

圆锥曲线一个统一性质的简单证明

文[1]给出了如下性质:性质设圆锥曲线E的一个焦点为F,相对应的准线为l,过焦点F的直线交圆锥曲线于A,B两点,C是圆锥曲线E上的任意一点,直线CA,CB分别与准线l交于M,N两点,则以线段MN为直径的圆必过焦点F.文章就抛物线、椭圆和双曲线情形分别加以证明,非常繁琐,而且关键部分语焉不详.本文将给出     

关于曲线的离心率

1　求离心率的值对于求曲线的离心率的值的题目 ,应从曲线的性质入手 ,通过距离之间的关系 ,来求离心率 .例 1　 ( 1999年全国高考题 )设椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )的右焦点为Ｆ1 ,右准线为ｌ1 .若过Ｆ1 且垂直于ｘ轴的弦的长等于点Ｆ1 到ｌ1 的距离 ,则椭圆的离心率是 .解　设Ｆ1 (ｃ ,0 ) ,则右准线为ｌ1 :ｙ =ａ2ｃ ,将ｘ =ｃ代入椭圆方程 ,得ｙ =±ｂ· ａ2 -ｃ2ａ2 =± ｂ2ａ .即过Ｆ1 的弦长为 2 |ｙ| =2ｂ2ａ .∴ ａ2ｃ -ｃ =ａ2 -ｃ2ｃ =2·ｂ2ａ=2·ａ2 -ｃ2ａ .故　ｅ=ｃａ =12 .例 2　根据下列条件分别求出各圆锥曲线…