“猜姓氏”与“二进制”

<正>在上世纪90年代,社会上曾流行过一种“猜姓氏”的街头把戏.算命者会对求卦者信誓旦旦地承诺:“如果你诚心算命,那我就先向你展示未卜先知的本领,以获得你的真正信任.请看,在我面前摆着9块写着密密麻麻姓氏的面板,我会依次问你每块板上有无自己的姓氏,你不需要说话,只要点头(肯定)或摇头(否定),那么,经过这最多9步,我就能准确猜中你的姓氏,绝无半点差错,除非你有意撒谎或不配合.     

关于“问题变换”教学的探讨

把一个数学问题加以改造、延伸或推广 ,得到一些新的题目 ,称为问题变换 .这些新题目 (变换题 )立意新颖 ,富有生命力 ,对巩固基础知识 ,启迪学生思维 ,提高能力是十分有益的 .问题变换不仅是命题者用来检查学生对知识是否理解和能否举一反三的手段 ,也是教师培养学生能力 ,使学生脱离题海 ,克服贪多求全的一个好方法 .1　“一般化”变换 ,就是把一个具体“数学题目”通过延伸 ,推广到一般形式 .例 1　解不等式ｌｏｇ13(ｘ2 - 3ｘ- 4) >ｌｏｇ13(2ｘ 1 0 )这是《代数》下册第 2 3页例 7,把它“一般化” ,即把数字底数改为字母底数 ,把对数…     

关于平整土地工程中土方计算的近似公式

平整土地是农田基本建设的重要内容.对于大面积土地的平整,通常采用“方格法”进行测量设计和计算土方工程量.大型建筑场地的平整也用此法.“方格法”就是在平面图上把要平整的土地用经线和纬线划成若干方格,测出经纬线各交点即每个方格角点的地面标高,在确定了各角点的设计标高后,便可定出各角点的填挖数(即设计标高与地面标高的差),这些填挖数便是计算土方量的依据.计算的方法是,首先算出每个方格中填和挖的土方立体体积,然后相加得该工程填方和挖方的总量.每个方格中填和挖的土方     

趣谈"错位问题"

在《中学数学》2 0 0 3年第 5期《“请生入座”话“坐法”》的第 4类“错位入座”问题中 ,袁老师采用了元素与位置综合分析法 ,给出了简洁的解答过程 .又如 :将数字 1,2 ,3,4填入标号为 1,2 ,3,4的四个方格里 ,每格填入一个数字 ,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有　　种 .分析　若将 2填入第一个方格中 ,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有3种 ,即 2 341,2 4 13,2 14 3;同样地 ,将 3或 4填入第一格中 ,也都对应着 3种填法 ,因此共有填法3.P1 3 =9(种 ) .但是用上述的方法解决 5个或 5个以上的元素的“错位入座”问题…     

简易逻辑中的几个常见错误及教学建议

高一新教材增加了“简易逻辑”内容 ,从教学实践与一些教学辅导书上看 ,由于是新增内容 ,常犯一些典型错误 ,本文对与“或”、“且”、“非”有关的一些常见错误加以分析 ,并提出一些教学建议 .1　“或”1 .1　教材中典型例子1 )Ｐ2 5引例 :① 1 0可以被 2或 5整除 .②不等式ｘ2 -ｘ - 6 >0的解集是 {ｘ|ｘ <- 2 ,或ｘ >3}.2 )Ｐ2 6例 1 ( 2 ) :李强是篮球运动员或跳高运动员 .3)Ｐ2 6练习 2 ( 4 ) :正数或 0的平方根是实数 .从以上可以看出教材中给出的“或”形式有两种最基本类型 :①Ａ是Ｂ ,其中Ｂ中有联结词“或”(如例 1 ( 2 ) ) ;②Ａ…     

对“或”命题真假性判断的一点思考与辨析

新教材高中代数第一章增加了简易逻辑这一节内容 ,对提高学生逻辑分析能力无疑是很有益的 ,但在具体的教授中对“或”命题碰到了一个疑问 ,现给出我们的一点思考 ,不很成熟 ,和大家商榷 .命题 1　若ｘ >2 ,则ｘ≥ 2 .命题 2　若ｘ≥ 2 ,则ｘ >2 .分析　在命题 1中 ,结论为 :ｘ≥ 2 ,即ｘ >2或ｘ =2 ,故命题 1实际上可分解为“或”命题 :若ｘ >2 ,则ｘ >2或若ｘ >2则ｘ =2 .易知前者为真 ,后者为假 ,由“或”命题真假判断法知 ,原命题为真 .这与我们已学的知识相一致 .在命题 2中 ,我们似乎同样可分解为“或”命题 :若ｘ >2 ,则ｘ >2 ,或若ｘ…     

求解含有绝对值的“三个二次”综合题的五个着眼点

中学数学中的“三个二次”是指二次函数、二次方程、二次不等式 .以二次函数为中心 ,用它的图象和性质串联另外两个“二次”以及其他知识组成的综合题是历年高考的重点 .含有绝对值的“三个二次”综合题乃重中之重 ,解答这类问题常从以下几个方面考虑 .1　运用公式 | |ａ| - |ｂ| |≤ |ａ±ｂ|≤ |ａ| + |ｂ|例 1　函数ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ　 (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 ) ,若函数ｆ(ｘ)的图象与直线ｙ =ｘ和ｙ =-ｘ均无公共点 ,求证 :1) 4ａｃ -ｂ2 >1;2 )对一切实数ｘ ,恒有 |ａｘ2 +ｂｘ +ｃ| >14 |ａ| .分析 :1)略 .2 ) |ａｘ2 +ｂｘ …     

代换法的几种策略

在初中数学竞赛中 ,经常用代换法来解答一些问题 .然而 ,运用此法需要注意一些策略 ,才能得心应手 .本文举例介绍如下 ,供读者学习参考 .策略之一　以常数代换代数式在解一些附有一定条件的求代数式值的问题时 ,用常数代换代数式 ,不但使计算简化 ,计算量减少 ,而且可以收到很好的效果 .例 1　若 3ｘ3-ｘ =1,则 9ｘ4 + 12ｘ3-3ｘ2-7ｘ + 2 0 0 1的值等于 (　　 ) .(Ａ) 1999(Ｂ) 2 0 0 1(Ｃ) 2 0 0 3 (Ｄ) 2 0 0 5(2 0 0 1年全国初中数学联赛武汉选拔赛 )解　由题设 ,得 3ｘ3-ｘ -1=0 ,用“0”代换“3ｘ3-ｘ -1” ,则原式 =9ｘ4 -3ｘ2 -3ｘ …     

一元一次方程错解剖析

初一同学刚学一元一次方程解法时 ,由于对知识理解不透 ,基础掌握不牢 ,常常在解题时出现各种错误 .现将同学们常见的错误解法剖析如下 :【题 1】　解方程　ｘ -1=1-ｘ .解　ｘ -1=1-ｘ =ｘ +ｘ =1+ 1=2ｘ =2 =ｘ =1.【剖析】　这题错解在于连用等号 ,混淆了代数式运算与解方程知识 ,这是初学者受知识负迁移的影响 .本题正确解法如下 :ｘ -1=1-ｘ ,ｘ +ｘ =1+ 1,2ｘ =2 ,ｘ =1.【题 2】　解方程　 8ｘ + 12 -9ｘ + 5 =8.解　 8ｘ -9ｘ =8+ 12 + 5 ,-ｘ =2 5 ,∴　ｘ =-2 5 .【剖析】　此题违反了“移项要变号”法则 .移项必须变号 ,它是由等…     

高屋建瓴事半功倍

在高中数学新教材中 ,大量的高等数学知识被引进 ,如向量、微分、积分和概率等 .这些内容的引入 ,给我们处理一些初等问题带来了新的方法 ,若能站在高等数学的角度 ,应用这些知识去处理初等问题 ,可以收到事半功倍的效果 .本文从 6个方面对高等数学知识在初等数学解题中的应用作一些分析 .1　利用微分解题例 1　已知 0 <ｘ<π2 ,求证 :ｓｉｎｘ>ｘ -ｘ36(第三届希望杯试题 )证明　设ｆ(ｘ) =ｓｉｎｘ-ｘ-ｘ36,则ｆ′(ｘ) =ｃｏｓｘ-1 -ｘ22 =2 [(ｘ2 ) 2 -ｓｉｎ2 (ｘ2 ) ]当 0 <ｘ<π2 时 ,ｘ2 >ｓｉｎ ｘ2 >0 ,故ｆ′(ｘ) >0所以ｆ(ｘ)在 …     

漫画趣题

第一题”下“图””成‘”份,””份中””之和都等于.琶状 二枚 第二越 把16枚硬币像下图那样排成5行.请你想想,在不增加硬币的情况下,每行4枚,呈五角星.要使每行硬币变成875. 第三皿把从2开始的价数按图中的葵形(每个葵形内都含有16个教)顺序排列下去.试问么功这个数排在第几列?厂第四题::热燕燕;水,费用最少是多少?伟4拥漫画趣题答案 第一题 分法如右图. 第二题 把每行最外面的1枚硬币都叠在中心的硬币上,每行的硬币都变成了8枚. 第三题 2000排在第7列. 每个菱形最上面的一个数依次为2、32、62、92、122、…、1982、…由此可找到2000的位…     

“轻负高质“要在教学设计上下功夫

实施素质教育的主渠道是课堂教学 ,如果课堂教学是省时、省力、高效 ,教学的结果必然是“轻负高质”.教学有法 ,而无定法 ,众多成功教例 ,名师经典名言告诉我们 ,要学生轻负高质 ,教师必须要在教学设计上下功夫 .1　让每个学生都有效地动起来学生学习知识是一个动态的过程 ,学生学习应以一种积极的心态 ,调动原有的知识经验尝试解决新问题 ,同化新知识并构建自己的知识体系 .学习过程应该是由参与欲望、参与过程、体验成功的喜悦组成的三个过程 ,只有三者合一 ,学生的学习才是主动的 .1 .1　让学生的脑动起来要让学生动脑并不难 ,但要让每个…     

上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试数学试题

一、填空题 (本大题共 14题 ,每题 2分 ,满分 2 8分 )1.计算 :( 12 ) -2 =.2 .如果分式 ｘ + 3ｘ - 2 无意义 ,那么ｘ =.3.在张江高科技园区的上海超级计算中心内 ,被称为“神威 1”的计算机运算速度为每秒 384 0 0 0 0 0 0 0 0 0次 ,这个速度用科学记数法表示为每秒次 .4 .方程 2ｘ2 - 1=ｘ的根是 .5.抛物线 ｙ =ｘ2 - 6ｘ + 3的顶点坐标是 .6 .如果 ｆ(ｘ) =ｋｘ ,ｆ( 2 ) =- 4,那么ｋ =.7.在方程ｘ2 + 1ｘ2 - 3ｘ=3ｘ - 4中 ,如果设 ｙ =ｘ2- 3ｘ ,那么原方程可化为关于ｙ的整式方程是.8.某出租车公司在“五一”长假期间平均每天的营业额…     

如何构造命题的非

怎样构造一个命题的非是数理逻辑用语一节的一个教学难点 .下面 ,笔者将结合教学实践谈谈突破难点的几点方法 .1　否定词分析　抓住否定词 ,建立一些固定的求非模式 .首先 ,必须掌握命题中常用的一些互为否定的词 ,如“等与不等” ,“是”与“不是” ,“小于”与“不小于” ,“任意一个”与“存在一个”等 ;掌握一些互为否定的关系 ,如“对 ｘ∈Ｒ ,具有性质 ｐ”与“ ｘ∈Ｒ ,不具有性质 ｐ” .其次 ,了解全称量词的一些等价说法 ,如“任意” ,“所有” ,“一切” ,“每一个” ,“任意一个” ;了解存在量词的一些等价说法 ,如“有些”、…     

对逻辑联结词再理解

高中数学新教材“简易逻辑”中规定 :“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词 .不含逻辑联结词的命题是简单命题 .由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题 .根据以上定义 ,如何解释“方程 (ｘ - 1 )(ｘ - 2 ) =0的根是ｘ =1或ｘ =2”是简单命题还是复合命题呢 ?如果是简单命题 ,那么又怎样对语句中的“或”作解释呢 ?如果是复合命题 ,那么由“方程 (ｘ - 1 )(ｘ - 2 ) =0的根是ｘ =1”是假命题 ,“方程(ｘ - 1 ) (ｘ - 2 ) =0的根是ｘ =2”也是假命题得 :复合命题“方程 (ｘ - 1 ) (ｘ - 2 ) =0的根是ｘ =1或ｘ =2”也是假命题 .…     

不等式F(x)·(Φ(x))~(1/2)≥0的解法探讨

例　解不等式(ｘ - 4)ｘ2 - 3ｘ - 4≥ 0 .错解 :原不等式等价于不等式组 :ｘ - 4≥ 0 ,ｘ2 - 3ｘ - 4≥ 0 ,即 ｘ≥ 4,ｘ≥ 4或ｘ≤ - 1,解得ｘ≥ 4,∴原不等式的解集为 {ｘ|ｘ≥ 4} .剖析　显然当ｘ =- 1时 ,原不等式也成立 .为什么漏掉ｘ =- 1这个解呢 ?究其原因是忽略了原不等式中的“≥”号具有不等和相等的双重性 .要注意 :同解定理“不等式Ｆ(ｘ)·Φ(ｘ) >0与不等式组Ｆ(ｘ) >0Φ(ｘ) >0 同解”中的不等号是“ >” ,而不是“≥” .下面介绍三种可以防止错解的简便方法 ,供读者参考 .1　符号分解　符号“≥”是由“ >”与“ =”复合…     

从判定两个单调函数乘积的单调性谈起

自 2 0 0 0年高考题给出关于“ｙ =-ｘｃｏｓｘ”的部分图象的选择题后 ,有关涉及两个单调函数乘积的单调性问题就受到中学数学界的普遍关注 .例如已知ｘ∈Ｒ ,ｆ(ｘ) =ｘ2 - 1 ,ｇ(ｘ) =ｘ ,试讨论Ｆ(ｘ) =ｆ(ｘ)ｇ(ｘ)的单调性 .对于此类问题 ,学生感到陌生 ,教师感到新颖 ,那么我们如何去复习指导呢 ?近几年来 ,笔者在与高三学生面对面的交流中 ,获悉一些重点高中的数学教师对此类问题也出现了错误的判断与不正确的指导 ,有的甚至把“一个增函数与一个减函数的乘积必为减函数”抄写在黑板上当作“定理”来教学生 ,另外还发现相当数量的高…     

不成功的推广——“习作”简评

不久前 ,笔者在阅稿时看到 ,有两篇学生习作写的是对同一道颇为流行的习题的推广 ,所得结果也相同 .可惜这一推广并不成功 ,因为其结果是不成立的 .简评如下 .原题　设ｘ1 是方程ｘ +ｌｇｘ =3的根 ,ｘ2 是方程ｘ + 1 0 ｘ=3的根 ,求证 :ｘ1 +ｘ2 =3 .“习作”提供的证法 :将两个方程变形为ｌｇｘ =3 -ｘ和 1 0 ｘ =3 -ｘ .因ｘ1 和ｘ2 分别是两个方程的根 ,故可设直线ｙ= 3 -ｘ交曲线ｙ =ｌｇｘ于点Ａ(ｘ1 ,ｙ1 ) ,交曲线ｙ =1 0 ｘ 于点Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) .因ｙ=ｌｇｘ和ｙ =1 0 ｘ 互为反函数 ,它们的图象关于直线ｙ =ｘ对称 ,又因直线 ｙ =3…     

深入理解偶函数概念

本文帮助同学们深入理解偶函数概念 .1　形象化感受作出函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 的图象如图 1,你觉得这个图 1　ｆ(ｘ) =ｘ2 的图象图象与 ｙ轴之间有什么关系吗 ?若把 ｙ轴形象地看成“平面镜” ,把图象右支看成一个物体 (比如弯曲的铁丝 ) ,那么左支就可以看成什么 ?图象左右两支关于ｙ轴对称 .当把 ｙ轴看成平面镜时 ,那么图象左支可看成右支的像 ,左右两部分成双成对 ,我们不妨把它比喻作一对“配偶” .请同学们自己作出函数 ｆ(ｘ) =- |ｘ|的图象 ,再作类似如上的思考 .数学家就把图象关于 ｙ轴对称的一类函数通称为偶函数 ,“偶”就是“配偶…     

三十六计与数学解题（二）

第三计　借刀杀人“借刀杀人”是根据《周易》六十四卦中《损》卦推演而得 .军事上主要体现在善于利用第三者的力量 ,或者善于利用、制造敌人内部的矛盾 ,达到取胜的目的 .“借刀杀人”在数学上应用十分广泛 .体现在善于借用其它方法获得巧解 .经常训练可以培养自己思维的灵活性和敏捷性 ,提高自身的创造能力 .例 1　 (遗产难题)一富翁死了留下了 2 3头牛的遗产 ,遗嘱规定大儿子得遗产的 52 4 ,二儿子得 16 ,三儿子得 14 ,小儿子得 13,四个儿子都找不到分法 .他们只好请阿凡提帮忙 .你知道聪明的阿凡提是如何分牛的吗 ?原来 ,阿凡提在领居家…