当导数遇到绝对值时

当函数中出现绝对值时,一般不能直接使用导数求解,学生针对这类问题感到不好处理.为此特总结了如下转化策略,供同学们参考.1.利用导数定义转化例1函数y=f(x)在x=x0有极值是f′(x0)=0的()条件.(A)充分不必要;(B)充分不必要;     

问题错在哪儿

课堂上,老师出了这样一道题:已知︱x︱=ax+1(a>0)有两个非零的实根,求实数a的取值范围.题目给出后,我的第一想法就是要除去绝对值,继而想到两边平方再根据解含参数的一元二     

含参一元二次不等式的解法与恒成立问题

<正>一、含参一元二次型不等式的解法例1解关于x的不等式ax2-(a-8)x+1>0.解析二次项系数含参数a,使得该不等式的类型不确定,需分类讨论.(1)当a=0时,原不等式化为8x+1>0,得原不等式的解集为{x︱x>-(1/8)}.(2)当a≠0时,原不等式为一元二次不等式.接下来的关键是找划分参数的标准,类比一元二次不等式的解题步骤:二次项系数化正     

证明一道高考题的心路历程

题目(2012年高考.天津卷理(20))已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a>0.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)若对任意实数的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,求实数k的最小值;(Ⅲ)证明:ni=122i-1-ln(2n+1)<2(n∈N+).     

一个重要函数不等式x/(x+1)≤ln(1+x)≤x及其应用

在导数的应用里很容易得到这样一个重要不等式x/(x+1)≤ln(1+x)≤x,(x＞-1,当且仅当x=0时取等号),通过利用这个不等式或者它的等价变形可以用来证明一些数列不等式或者函数不等式的问题,下面搜集了在近年来的部分省份高考试题中的一些应用.例1 (2008年山东理21)已知函数f(x)=1/(1-x)n+aln(x-1),其中n∈N*,a为常数.(Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值;(Ⅱ)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x-1.     

一道高考压轴题的解答

<正>问题(2018年新课标3卷(理))已知函数f(x)=(2+x+ax²)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-10时,f(x)>0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a．对于本题第二问:若x=0是f(x)的极大值点,则在x=0的左侧附近f′(x)>0,在x=0的右侧附近f′(x)<0,且f′(0)=0.     

新题征展(23)

A.题组新编1 .设集合 M ={3,4,5},N ={6 ,7,8,9,1 0 }.( 1 )映射 f:M→ N ,使对任意的 x∈ M都有 x f( x) xf ( x)是奇数 ,这样的映射f的个数是 (　　 ) .( A) 2 5　　 ( B) 50　　 ( C) 75　　 ( D) 1 2 5( 2 )若映射 f :M→ N,使对任意的 x∈ M都有 x f( x) xf ( x)是偶数 ,这样的映射f的个数是 (　　 ) .( A) 0　　 ( B) 50　　 ( C) 75　　 ( D) 1 2 5(吴新华供题 )2 .函数 y =x 5- x的值域是;函数 y =x - 5- x的值域是.(向国华供题 )3.已知圆 C:( x - a) 2 ( y - a) 2 =a2 ,直线 l:3x 4 y 3=0 .( 1 )若圆上有…     

初二代数第二学期期中自测题

A组一、填空题 ( 1— 5题 ,每小题 3分 ,6— 1 0题每小题 4分 ,共 3 5分 ) .1 .数的平方得 812 5 6,4962 5 的开平方得 .2 . 1 72 -82 的算术平方根是 .3 . -12 是数a的一个平方根 ,则a=.4.若 3 -2x有意义 ,则x=.5 .当a =3时 ,( 2 -a) 2a -2 =.6.(± 13 ) 2 的平方根是 ;9的算术平方根是;-82 7的立方根是 .7.如果a2 =2 5 ,则a3 =;如果 (a -5 ) 2 =5-a ,则a 5 ;如果 -a =3 ,则a =.8.当x =时 ,代数式 2x +3 -x有意义 ;若x<0时 ,则3 x3|x|=;若x+12 +|y -3 |=0 ,则x2 +y2 =.9.若 1 .0 0 7=1 0 0 3 ,1 0 0 7=3 1 73 ,则0 .0 0 1 0 0 7=;若 3 …     

一个数学问题的简证及其引申

《数学通报》1 999年第 3期 .第 1 1 82号数学问题 :求 1 9991 999 1 999的末六位数 (1 999个 1 999) .本文将这个数学问题作如下引申 :设ｆ(ｎ) =1 9991 999 1 999(ｎ个 1 999) .(1 )对任意自然数ｎ ,ｆ(ｎ)的末三位数是 999.(2 )当ｎ≥ 2时 ,ｆ(ｎ)的末六位数是 997999.(3 )当ｎ =2时 ,ｆ(ｎ)的末九位数是999997999.(4)当ｎ ≥ 3时 ,ｆ(ｎ)的末九位数是991 997999.证明　 (1 )当ｎ=1时 ,ｆ(1 ) =1 999.命题成立 .当ｎ ≥ 2时 ,ｆ(ｎ) =1 999ｆ(ｎ- 1 ) =(2 0 0 0 -1 ) ｆ(ｎ- 1 ) .由二项式定理可知 ,其展开式从首项至倒数第二项 ,各项均…     

应用几何意义求一类绝对值函数的最小值

<正>先看下面三个小题目及分析:(1)求函数f(x)=|x-a|的最小值.分析由绝对值的几何意义可知,当x=a时,函数f(x)取得最小值f(a).(2)求函数f(x)=|x-a_1|+|x-a_2|(a_1相似文献   

Lienard方程周期解、概周期解的存在性

本文考虑 Lienard方程 x″+f (x) x′+g(x) =e(t) ,我们得到 :当 -∞ 0且 0 相似文献   

一个猜想的证明

文[1]给出了:在任意△ABC中,A、B、C表示其三内角,则cos3A cos3B cos3C≥38.(当且仅当△ABC为正三角形时等号成立)并给出了如下猜想:cosnA cosnB cosnC≥32n.(n≥2,n∈N*)　(*)本文将利用著名的Jacobsthal不等式[2]:“设x≥0,y≥0,对任意正整数n,有xn (n-1)yn≥nxyn-1”的变形:“当x≥0,y>0时,有xnyn-1≥nx-(n-1)y”,以及相关的函数性质给出猜想的如下证明.证明　(1)若n=2k(k∈N*)时,　cosnA cosnB cosnC=cos2kA cos2kB cos2kC=(14)k-1[(cos2A)k(14)k-1 (cos2B)k(14)k-1 (cos2C)k(14)k-1]≥(14)k-1{[kcos2A-14(k-1)] [kcos2B-14…     

运算与逆运算的复习課一例

在平面三角課本习題二十第9题(2)中提出:“x在什么区間內,arc cos(cos x)中等于x?”学生在回答这个問題时与在高中一年級回答,“x在什么区間內,x~2~(1/2)才等于x?”一样地遇到困难(甚至困惑)!为了使得学生能正确地、自觉地认清这个問題,我在耕解时是从“运算与其逆运算的順序”这一角度出发,井从复习下面几个問题开始: 1.(1) (x a)-a=x,(原数x) (2) (x-a) a=x;(原数x) 2.(1) (x·a)÷a=x,(原数x;为了能够进行运算,必須使a≠0) (2) (x÷a)·a=x;(原数x;为了能够进行运算,必須使a≠0) 3.(1) ((x)~(1/2))~2=x,(原数x;为了使得运算能在实数集合内进行,必須     

考点43 综合题与创新题

1.(湖北卷,6)在y=2x,y=log2x,y=x2,y=cos2x这四个函数中,当0f(x1)+2f(x2)恒成立的函数的个数是().(A)0(B)1(C)2(D)32.(湖南卷,10)设P是△ABC内任意一点,S△ABC表示△ABC的面积,λ1=SS△△PABBCC,λ2=S△PCAS△ABC,λ3=SS△△APABCB,定义f(P)=(λ1,λ2,λ3).若G是△ABC的重心,f(Q)=(21,13,61),则().(A)点Q在△GAB内(B)点Q在△GBC内(C)点Q在△GCA内(D)点Q与点G重合3.(全国卷,12)计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号.这些符号与十进制的数的对应关…     

MULTIPLE AND SIGN-CHANGING SOLUTIONS FOR NONLINEAR ELLIPTIC EQUATION WITH CRITICAL POTENTIAL AND CRITICAL PARAMETER

Some embedding inequalities in Hardy-Sobolev space are proved.Furthermore,by the improved inequalities and the linking theorem,in a new k-order Sobolev-Hardy space,we obtain the existence of sign-changing solutions for the nonlinear elliptic equation {-△(k)u:=-△u-(((N-2)2)/4)U/︱X︱2-1/4 sum from i=1 to(k-1) u/(︱x︱2(In(i)R/︱x︱2))=f(x,u),x ∈Ω,u=0,x ∈Ω,where 0 ∈ΩBa(0)RN,N≥3,ln(i)=i éj=1 ln(j),and R=ae(k-1),where e(0)=1,e(j) = ee(j-1) for j≥1,ln(1)=ln,ln(j)=ln ln(j-1) for j≥2.Besides,positive andnegative solutions are obtained by a variant mountain pass theorem.     

两道高考试题涉及的函数相关性

2001年广东、全国高考题:设y=f(x)是定义在R上的偶函数。其图像关于直线x=1对称,对任意x1,x2∈[0,1/2],都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.(1)求     

一道全国高中数学联赛预赛试题的推广

<正>题目(2015年全国高中数学联赛四川预赛15题)过双曲线x²-y2-y²/4=1的右支上任意一点P(x_0,y_0)作一直线l与两条渐近线交于A、B,若P是AB的中点.(1)求证:直线l与双曲线只有一个交点;(2)求证:△OAB的面积为定值.解答证明:(1)双曲线的两条渐近线方程为y=±2x.当y_0=0时,易得直线l的方程为x=x_0,此时直线l与双曲线只有一个交点.     

圆锥曲线的一个最值问题

在圆锥曲线的学习中 ,我们遇到了如下的最值问题 :抛物线x2 =2 y上离点A(0 ,a)最近的点恰好是顶点 ,则a的取值范围是 (　　 )(A)a≤ 0 .　　　 (B)a≤ 12 .(C)a≤ 1. (D)a≤ 2 .通过探究 ,同学们得到了如下几种不同的解法 .解法 1　 (二次函数最值法 )设P(x ,y)为抛物线x2 =2 y上的任意一点 ,则 |PA|2 =x2 +(y -a) 2=2 y +(y -a) 2 =y2 - 2 (a - 1) y +a2 =[y - (a -1) ]2 +2a - 1(y≥ 0 ) .当a >1时 ,a - 1>0 ,y =a - 1时 ,|PA|2 min=2a - 1;当a≤ 1时 ,a - 1≤ 0 ,y =0时 ,|PA|2 min=a2 ,此时P点为抛物线的顶点 .　　故当a≤ 1时 ,…     

直线方程四则运算的意义和价值

1　直线方程的加减运算1 1　意义已知两条直线l1 :A1 x B1 y C1 =0 ,l2 :A2 x B2 y C2 =0 .我们来分析l3:(A1 A2 )x (B1 B2 )y C1 C2 =0和l1 、l2 有什么关系 .( 1 )当l1 ∥l2 时 ,l3也和它们平行 .因为l1 ∥l2 ,有 ,A1 A2 =B1 B2,则 A1 A2A2 =B2 B2B2,所以l3∥l2 .( 2 )当l1 和l2 相交时 .记两直线的交点为P(x0 ,y0 ) ,那么 ,A1 x0 B1 y0 C1 =0和A2 x0 B2 0 C2 =0 ,因此 ,(A1 A2 )x0 (B1 B2 )y0 C1 C2 =0也成立 .所以l3也过点P .我们还可以推广到一般的情况 :直线A1 x B1 y C1 λ(A2 x B2 C2 ) =0…     

课外练习

高一年级1.已知m ,n ,p∈A ={x |x - 1|≤ 3且x∈Z}.试求logm +nP的不同值的个数 .2 .已知函数 f(x)为偶函数 ,对于定义域R内在任意x ,都有 f(x) =f( 4-x) ,且当x∈ [0 ,2 ]时 ,f(x)=1-x2 ,求x∈ [2 0 0 2 ,2 0 0 4 ]时f(x)的解析式 .3 .已知函数 f(x) =- 2x +2 ,x∈ [12 ,1] ,设 f(x)的反函数为y =g(x) ,a1 =1,a2 =g(a1 ) ,… ,an =g(an-1 ) ,求数列 {an}的通项公式高二年级1.已知函数f(x) =lg(log3 2 x -klog2 x +2 ) ,若f(x)在( 1,+∞ )上均有意义 .试求实数k的取值范围 .2 .设a∈k,函数 f(x) =ax2 +x -a ( - 1≤x≤ 1) .( 1)若 |a|≤ …