一道俄罗斯“四点共圆”试题的探究

<正>"四点共圆"问题常出现在中高考问题中,知道"圆内接四边形的对角互补"便可证得这个四边形的四个顶点共圆.本文源自俄罗斯国家统一考试专业水平数学试卷,是一道关于四点共圆问题的平面几何题.俄罗斯考试中的平面几何有什么特殊之处?俄罗斯的"四点共圆"试题有什么特点?我们不妨做些简单地分析.     

圆锥曲线中关于四点共圆的几个结论

四点共圆在平面几何里是研究的重点之一，但在平面解析几何里，较少涉及与圆锥曲线有关的四点共圆问题．笔者经过研究后发现，在圆锥曲线中也有一些关于四点共圆的定理．下面列出其中几个，并给出证明．     

掌握四点共圆简解中考题

<正>近两年,中考题中的直线型问题中出现了很多四点共圆问题,有些省市在标准答案中直接用了四点共圆证明,在阅卷中,对于学生用四点共圆解题表示赞赏,说明四点共圆在中考的几何解题中是十分重要的.在初中阶段,判定四点共圆的方法有三种,如图1所示:     

一个与费尔马点相关的等边三角形问题的思考与探索

<正>在平面几何的学习中,适当地借助平面几何中的一些名题,不仅有利于传播数学文化、提高学生学习几何课程的兴趣,而且还有助于丰富学生的知识,提高运用知识分析问题与解决问题的水平.三角形中的费尔马点就是一个难得的案例,借助这个案例不仅能加深学生对四点共圆、三角形全等、三角形相似、图形的旋转、图形的对称等基本知识的认识,而且还能发展学生的研究能力.     

“四点共圆”教学实录

课题:四点共圆教学要求:1.使学生牢固掌握几种判定四点共圆的方法,并能运用这些方法解题。 2.培养学生灵活运用知识的数学思维能力。教学重点:四点共圆的判定。教学难点:创设条件来判定四点共圆,并依据四点共圆来研究图形的性质。教学方法:启导法教具:圆规、三角板、几何图片及投影仪。一、引言过不在同一直线上的三点能作且只能作一个圆。如有A、B、C、D四点,过这四点能否     

谈谈“三点共线”的教学

在统编教材《几何》中,“三点共线”问题是不乏其例的.这类问题是平面几何教学的难点之一.学生对“三点共线”问题之所以感到困惑和棘手,主要表现在两个方面:一是认为“无章可循”,觉得证明三点共线问题无据可依,不好下手,不象证明四点共圆那样有规律.二是感到“有口难言”,知道那样证,就是说不清,往往似是而非,答非所问.     

椭圆上四点共圆的充要条件的行列式证明

圆锥曲线是高中数学的重要内容,其中圆锥曲线上四点共圆的相应内容也是高考考查的热点.如2005年湖北高考理工第21题以及2002年广东、江苏卷第20题.圆锥曲线上四点共圆均有相应的充要条件,但其证明过程一般都是用参数方程等内容,计算量大且较复杂.本文将应用行列式给出椭圆上四点共圆的一个充要条件的证明.这个证明是非常自然的,也是容易理解接受的.     

排除干扰善切换，特殊图形需识别--由2015年广东省中考卷第24题的解析说起

平面几何内容一直是各地中考试卷中的重点考查内容,在每份中考卷的最后两道把关题中,至少有一道题涉及较为繁杂的平面几何题,本题以2015年广东省中考卷第24题为例,讲解这道平面几何题的突破思路,并就该题的命题立意给出思考,与同行研讨。     

与圆有关的多解问题分类解析

问题的多解性总是数学教学中的一个重点和难点 .问题多解性的教学有利于培养学生思维的广阔性和慎密性 ,它是培养学生创新意识的好素材 .因此 ,近几年来全国各地中考数学试题中常常出现这一类试题 ,成为中考命题的热点问题之一 .平面几何中圆的一章是多解问题的重要内容之一 .我们在进行圆这章内容的教学时 ,有意识地加强相关的多解问题的训练 ,是很有必要的 .本文以课本中的例、习题的改编题及近几年来全国各地的中考题为例 ,将与圆有关的多解性问题分类举例说明 .以飨读者 .一、由点与圆的位置关系不定而产生的多解由于点与圆有三种位置关…     

一道第49届IMO试题的解题分析

第49届IMO第一题是一道平面几何题:已知H是锐角三角形ABC的垂心,以边BC的中点为圆心,过点H的圆与直线BC相交于两点A_1,A_2;以边CA的中点为圆心,过点H的圆与直线CA相交于两点B_1,B_2;以边.AB的中点为圆心,过点H的圆与直线AB相交于两点C_1,C_2.证明:六点A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2共圆.     

曲线系方程活用一例

题如图，已知抛物线y2＝2Px（P＞0），过焦点F任作两条亘相垂直的直线与抛物线分别相死于两点A、B和C、D；问这四点能否共圆？若共圆，求出所共圆的方程．解此题的常规思路是，先将两直线方程用点斜式设出，然后为别与抛物线方程联立求得A、B及C、D的坐标，看这四点能否共圆．用这种方法求解是难以方通的．但若用直线的参数历程及韦这定理，或用抛物线的焦半径公式及韦这定理，都能表示出圆的相交弦定理里所需的两积[AF]·[FB]与[CF]·[FD]，从而说明四点能否共圆及共圆的条件，再由共圆的条件即可求得所共圆的方程．这两种方法仍不…     

四点共圆的应用

诚然,有些几何题,其图形的结构较为复杂,不过,经考察条件,若能从中得出某四个点共圆,那么就能挖出隐藏条件,扩充已知,拉近结论,如线段、角、圆弧的相等,均可通过四点共圆得到,进而为完成解题打开通道.     

两道初中生可以解答的高考几何题赏析

<正>在中考数学试卷中,考查圆有关的知识的问题是每年必考内容之一.如判断已知直线是圆的切线,求证四点共圆等类型的问题,常常备受命题者青睐,常考常新.2016年全国高考数学试卷中有两道这样好的试题,运用我们初中所学的知识,同学们能顺利解决,分享如下,供同学们学习与参考!试题一(2016年全国高考新课标I数学理科卷第22题)如图1所示,△AOB是     

找回了漏的解

原题:已知直线l_1:x+3y-6=0,l_2:y=kx+b,若l_1、l_2与x轴、y轴正半轴围成的四边形有外接圆,则k=____.这是解析几何教学中,教师经常使用到的例(习)题.此题难度不大,主要考查直线的斜率、四点共圆等知识点和数形结合的思想.在执教过程中,笔者发现:在参考资料上提供的和网上搜索的答案均为3,解     

一道2015泰国数学奥林匹克题的拓展及简证

<正>题目~([1])如图1,在不等边△ABC中,∠ACB=90°,内切圆⊙I分别与边AB、BC、CA切于点D、E、F,直线AI、BI分别与直线EF交于点M、N.若G为边AB的中点,证明:M、N、D、G四点共圆.文献~([1])不仅用了多点共圆的知识,而且还用到了"根轴"的知识以及"九点圆"的知识,使证明顺利完成.     

找回了漏的解

原题：已知直线l1：x＋3y-6=0,l2：y=kx＋b,若l1、l2与x轴、y轴正半轴围成的四边形有外接圆,则k=_______。 这是解析几何教学中,教师经常使用到的例（习）题．此题难度不大,主要考查直线的斜率、四点共圆等知识点和数形结合的思想．在执教过程中,笔者发现：在参考资料上提供的和网上搜索的答案均为3,解法也为大家所认同．     

三角法简证一道奥赛题

<正>(2021年欧洲女子数学奥林匹克第3题)对于钝角△ABC,∠A为钝角,E,F分别为∠A的外角平分线与顶点B,C关于△ABC的垂线的交点,M,N分别为线段EC,BF上的点,满足∠EMA=∠BCA,∠ANF=∠ABC．证明:E,N,M,F四点共圆．该题主要考查三角形垂心,圆的割线定理及四点共圆的判定等知识点．     

2018年北京中考第27题的思路与解法

<正>随着教育的发展与考试的改革,中考注重考查学生的数学核心素养,四基(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)和四能(发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力),特点是算得少一点,想的多一点.2018年北京中考第27题是一道平面几何的好题,考查的知识较多,解题时需要学生充分借助几何直观,深刻领会题意,巧妙添加辅助线,由浅入     

聚焦几何推理能力 落实数学核心素养——对一道中考几何试题的分析与思考

通过深度解读2022年福建省中考数学试卷第21题的试题特点和解答,揭示双减后中考如何巧妙考查学生的几何推理能力,落实数学核心素养.在分析其错因及主要方法的基础上,给出几点教学建议,以期引起广大教师对初中几何推理教学的重视与研讨.     

从五点共圆到四点共圆

从五点共圆到四点共圆２４６１４２安徽省怀宁县江镇中学黄全福在通常情况下，判断五点共圆要比判断四点共圆困难得多，这是因为判断四点共圆有章可循，有法可依；而判断五点共圆就谈不上有什么有效方法了。但是，在某些特定的条件下，情形正好相反：判断五点共圆一目了然...