三棱锥体积在解题中的应用

三棱锥是一种特殊的棱锥;它的每一个顶点都可为棱锥的顶点,它的每一个面均可为棱锥的底面,而体积总是不变的。利用这一特点,可以把求多面体的体积和多边形的面积分别转化为求三棱锥的体积和三校锥的底面积;把求点到平面的距离、直线和平面的距离以及两条异面直线的距离转化为求三棱锥的高等等。一求多面体的体积多面体的体积,可以转化成若干个三棱锥的体积和,由于三棱锥的底面具有轮换性,可适当选取三棱锥的底面,较容易地求出三棱锥的体积,进而求出多面体的体积。     

点面距离，一招三式

求点到平面的距离是立体几何的重要内容 ,在高考中也经常出现 ,并且直线到平面的距离 ,两个平面间的距离也可以转化成点到平面的距离去求解 .因此 ,点面距离就成了这一类距离问题的交汇点 .直接作出点面距离而得解的例题不多 ,很多情况下都必须把点面距离通过转化变换成较为熟悉简单的模型求解 .本文给出求解点面距离的一招三式———一招 :转化思想 ;三式 :等积转化 ,平行转化 ,比例转化 .下面通过几个具体例子一起来探索题型规律 ,掌握相应的解题方法 .1　等积转化———构造三棱锥模型通过三棱锥模型 ,把点面距离看成棱锥的顶点到对面三…     

特殊三棱锥顶点在底面射影的位置

<正>我们在解有关点到面的距离问题,或求一个棱锥的体积时,常常需要过点作面的垂线,垂足的位置在哪儿一直困扰着同学们.如果我们能够熟练地运用构成棱锥的顶点在底面射影的特殊位置,就能迅速把握它与其他几个相关量间的关系,避免繁冗的运算,大大简化解题过程.现将特殊三棱锥顶点在底面上射影的情况总结如下:     

恰当选取三棱锥的底面解题

一、三棱锥的每个面都可作为棱锥的底面,每个顶点都可成为棱锥的顶点.在解题中,若能充分利用三棱锥的这一特点,往往可使问题简明易解.     

对棱相等三棱锥例说

在三棱锥中 ,如果三组对棱分别相等 ,我们通常把这样的三棱锥称为对棱相等三棱锥 .在长方体中以不相邻四个顶点为顶点所成的三棱锥就是一个对棱相等三棱锥 .受此启发 ,我们常构造长方体来解答与对棱相等三棱锥有关的问题 .例 1　如图 1 ,三棱锥 A - BCD中 ,AB=CD =a,AC =BD =b,AD =BC =c,求异面直线 AB与 CD所成角的大小 .解　如图 2 ,构造长方体 ,使三棱锥 A -BCD的对棱分别为长方体相对面的对角线 .∵　 A′ B′∥ CD,∴　 AB与 A′ B′所成角即为 AB与 CD所成角 .图 1　　　　　　图 2设长方体的三条棱 AC′、AB′、AA…     

利用等积变换求三棱锥体积的几种技巧

在求三棱锥的体积时 ,当棱锥的底面面积或高较难直接求 ,甚至不能求时 ,这就要求我们将三棱锥的底面或高进行变换 ,利用等积变换来求其体积 .利用等积变换求三棱锥的体积时 ,常有如下几种技巧 :图 1(1)1　换顶点 ,换底面例 1　如图 1 (1 )所示 ,正方形ABCD的边长为 1 ,点E ,F是BC ,CD的中点 ,现沿AE ,EF ,AF折成一个三棱锥 ,使B ,C ,D三点重合 ,记作S如图 1 (2 ) ,求所得三棱锥S -AEF的体积 .分析　此三棱锥体积直接求解难点在于选择AEF为底面 ,较难求出其锥体的高 ,这时 ,我们若将此锥体的底面与顶点换一下 ,换成以点A为顶点 ,…     

用三棱锥的体积关系式解题

在立体几何中，求点或直线到平面的距离、两异面直线的距离、三角形面积、二面角；求证四面体中有关距离的等式或不等式问题，可以利用三棱锥的体积关采式获解，这是一种简捷而有效的方法．1求点到平面的距离例1已知P为矩形平面ABCD外一点，PD上平面ABCH，AB—a，PD—b，来A点到平面PBC的距离d．解田三垂线定理知，BC上PC．在R’thABC中，S。。。一了a“BC，放由VA．P。一VP。BC，待于是汪用三俊雄的体积等回关系式来点到平面的距离的优点是，不需作出波点到此平面的垂线段．Zk直线到旱面的距志例2已知亘三棱枉ABC——AIB…     

用变换方法解决立体几何问题

变换在数学中起着重要作用 .下面介绍有关的几何命题 ,利用这些命题作为变换的依据 ,更好地解决问题 .1　变换位置1.1　变换点的位置命题 1　 (课本例题 )如果直线ｌ∥平面α ,那么直线ｌ上各点到平面α的距离相等 .图 1　例 1图例 1　如图 1,正四棱锥Ｓ -ＡＢＣＤ的顶点Ｓ在底面上的射影为Ｏ ,ＳＤ的中点为Ｐ ,且ＳＯ =ＯＤ =ａ ,直线ＢＳ上有一点Ｇ ,求点Ｇ到面ＰＡＣ的距离 .解　连结ＢＤ ,ＡＣ ,ＢＤ与ＡＣ交于点Ｏ ,连ＰＯ .知ＰＯ∥ＢＳ ,ＢＳ∥面ＰＡＣ ,因此直线ＢＳ上的点Ｇ和点Ｓ到面ＰＡＣ的距离相等 .由ＳＯ =ＯＤ ,知ＯＰ⊥Ｓ…     

运用化归思想解排列组合题

例 1　正方体八个顶点的连线中 ,异面直线有多少对 ?分析　因为一个三棱锥各对棱所在直线均异面 ,有 3对异面直线 .受这一结果的启发 ,原问题可化归为 :正方体八个顶点中任取 4个点 ,可构成多少个三棱锥 ?于是因由正方体的顶点构成的三棱锥的个数为Ｃ4 8- 12 ,故所求异面直线的对数为 :3(Ｃ4 8-12 ) =174 (对 ) .例 2　圆内接八边形的任意三条对角线不在圆内共点 ,那么所有对角线在圆内共有多少个交点 ?分析　因为圆内接四边形的两条对角线的交点位于圆内 ,故问题化归为只需考虑以圆内接八边形的顶点为顶点可构成多少个圆内接四边形 .因从圆…     

依“法”解题 简单容易

学习了《直线、平面、简单几何体》这一章后 ,经常遇到求点到面的距离和二面角以及直线与面的夹角的问题 .这类题若直接按定义做 ,许多同学都感到困难 .倘若采用法向量的知识解这类题 ,就变得十分容易了 .这里就谈谈运用法向量解这类题的方法 .1　求二面角、点面距离例 1　 (湖南省 2 0 0 2年高中数学竞赛试题 )如图 1,在棱长为a的正方体ABCD—A1 B1 C1 D1 中 ,E ,F分别是棱AB与BC的中点 .图 1　例 1图1)求二面角B -FB1 -E的大小 ;2 )求点D到平面B1 EF的距离 .解　如图 1,建立空间直角坐标系 ,则D( 0 ,0 ,0 ) ,B1 (a ,a ,a) ,E(a …     

例谈三棱锥体积的转化

引例（2010年江苏卷16）如图1,在四棱锥P—ABCD中,PD—L平面ABCD,PD—DC—BC-1。AB-2,AB//DC,∠BCD=90°（1）求证：PC⊥BC;（2）求点A到平面PBC的距离。     

空间中的平面轨迹--一类热门高考题

2004年重庆市高考题有这样一道题: 四面体ABCD,在面ABC内有一点P,P到 平面BCD的距离等于P到AB的距离,则在平 面ABC内的P点轨迹为(　　)? 图10图2 解　如图2所示,作PE⊥AB于H,PE⊥ 平面E,PF⊥BC于F,设PH=PE=a,平面 ABC与平面BCD所成的角为α,则PH=PE= PF·sinα,所以P在平面ABC的轨迹是直线, 答案(D) 同样的,在2004年北京市高考题有这样一 道题 P是正方体ABCD—A1B1C1D1面BCC1B1 上的任意一点P到棱B1C1的距离等于P到棱 CD的距离,则P的轨迹是(　　) (A)直线　　　　(B)椭圆 (C)双曲…     

考点30 空间角与空间距离

1.(江苏卷,4)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为().(A)43(B)23(C)343(D)32.(湖南卷,5)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离为().(A)21(B)42(C)22(D)23第2题图第3题图3.(福建卷,8)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是().(A)arccos15(B)π(C)arccos510(D)2π第4题图4.(辽宁卷,14)如图,正方体的棱长为1,C、D分别是两条棱的中点,A、B、M是顶点,那么点M到截面ABC…     

对一题多解的辩证理解

1 一题多解的优点“一题多解”之所以深受数学教师的重视,就是因为在解题过程中能够引导学生多层次、多角度的思考问题,全面地应用知识来分析问题与解决问题.例如人教版第二册(下B)的习题9.8的第4题:如图,已知正方体ABCD-A′B′ C′D′的棱长为1,求直线DA′与AC的距离.教师可以引导学生从不同的入口,挖掘不同的解法.解法1 ∵AC∥平面A′DC′,∴点A到平面A′DC′的距离h就等于异面直线AC与DA′的距离,从而转化为点面距.     

斜高相等的棱锥顶点在底面的射影问题

斜高相等的棱锥顶点在底面的射影问题,不少书刊作了不同的论述。但并没有得出正确的结论。例如。 1.《立体几何》课本第52页第18题(2):平面ABC外一点P到△ABC三边的距离相等,O是△ABC的内心。求证:OP⊥平面ABC。 2.《数学通报》1984年第一期《关于三棱锥顶点在底面上射影的位置》一文中给出:当三棱锥的三条侧高相等时,顶点在底面上的射影为底面的内心。 3.一九八五年上海市高考数学试卷理科及文科第二大题(4)小题:若一个棱锥的底面是边数大于3的凸多边形。它的顶点到底面各边的距离都相等。     

简单几何体与球

1 重点、难点分析 本单元以常见的几何体为载体,一是继续研究如何证明线线、线面、面面平行与垂直,如何求空间的各种距离,如何求空间的各种角,二是研究这些几何体的性质、侧面积、全面积及体积等.本单元的重点是棱柱、正棱锥、正多面体、球的概念;棱柱、直棱柱、棱锥、正棱锥、正四面体、长方体、正方体的性质;球的性质、体积、表面积.难点是正确判断简单几何体中的点、线、面之间的关系,如何把空间问题转化为平面问题及球体积、表面积公式的推导方法的理解.     

利用转化巧解几种距离

解立体几何题时,我们常会遇到求点到面、线与面、面与面及异面直线之间距离的问题.用直接法解就是作出垂线段,再求其长,但多数情况下,垂线段是难以作出的,因此求它的长也就十分困难了.我们不妨换一种思路.图1　例1图例1　如图,ＡＢＣＤＡ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1是棱长为ａ的正方体,Ｍ,Ｎ分别是Ａ1Ｂ1,Ｂ1Ｃ1的中点,求Ａ1到平面ＡＭＮ的距离.分析:本题直接作Ａ1到平面ＡＭＮ的垂线段有一定难度.但我们可以过Ａ1构造一条平行于平面ＡＭＮ的线段,再求线面距离.为了方便解题我们还可把平面ＡＭＮ拓展为平面ＡＣＮＭ.解　连接ＡＣ,ＢＤ,Ａ1Ｃ1,Ｂ1Ｄ1,ＣＮ,设…     

平面图形的射影在立体几何中的应用

我们知道如果多边形Q与平面P成二面角为α,它在平面P内的射影为Q′,则S_(多边形Q′)=S(多边形Q)cosα。上式也可变化为: (1) cosα=S_(多边形Q′)/S_(多边形Q) (2) S_(多边形Q)=S_(多边形Q′)/cosα上面一组公式应用于求二平面所成的二面角以及求截面面积,往往比较简单。有时也可省去一些因作图而带来的麻烦。例1 已知:正方体AC′,过AA′的中点M和顶点B、C′作△MBC′。求△ABC′与□A′B′C′D′所成的二面角。象这类问题的一般解法是通过作图求出二平面的交角,而后再通过计算求出这二面角的平面角。解法如下:     

构造法巧解一题 (一个问题的巧解与反思)

<正>题目（武汉市2008年2月调研题）在三棱锥A—BCD中,三组对棱棱长分别相等且依次为5、34^1/2、41^1/2,求三棱锥A—BCD的体积和外接球的半径.解析联想到长方休的相对两个面的四条对角线相等,且不共面的四个顶点可构成三棱锥的四个顶点.如图,构造长方体,长、宽、高分别为a,b,c.取BC=     

一个趣题的实践与证明

题:一个正三棱锥与一个正四棱锥的所有棱长均相等,将它们的一个侧面粘起来,所得几何体可能是什么?如图(一),将正四棱锥S-ABCD的侧面SCD与正三棱锥V-EFG的侧面VEF粘合在一起,为了验证平面SBC与平面GVE是否叠合成一个平面,用硬纸片制作这样的正三棱锥和正四棱锥,实践验证平面SBC与平面GVE,平面SAD与平面GVF恰好分别叠合成一个平面,这样所得的几何体应该是斜三棱柱,问题即为求证二面角B-SC-G=180°.(图一)记所有棱长均为1,探讨如下:(图二)设顶点G、B在平面SCD上的射影分别为M、N,则M为△SCD的中心(如图二)易求得MG=36,SM=…