三角形的一个外心判定定理及其应用

一、判定定理如图1,若OA=OB=OC,则点O为△ABC的外心.简证以点O为圆心,以OA长为半径画圆,如图2所示,由于OA=OB=OC,因此⊙O必经过A、B、C,即⊙O为△ABC的外接圆,故点O为△ABC的外心.二、应用举例例1(《中学生数学》2007(6)·P8)如图3,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AC=AD=3,BC=2,求对角线BD的长.解由AB=AC=AD知点A为△DBC的外心,延长BA交△ABC的外接圆于E,连DE,由AB∥DC知DE=BC=2,又EB=2AB=2×3=6,     

对一道课本习题的变式探究

原题(苏科版九上P136第7题改编)如图1,已知OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点(不与O、A重合),BP的延长线交⊙O于Q,过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R,求证RP=RQ.分析考虑到"遇切点连圆心",故连结OQ,则OQ⊥RQ.要证RP=RQ,只要证明∠RPQ=∠RQP即可.证明连结OQ.     

圆中最长弦与最短弦之间有几条整数弦

题目半径为26的⊙O内有一点P,OP=10,则经过P点,且长度为整数的弦的条数是__条.分析本题可分解为三个小题:(1)求经过点P的最长弦;(2)求经过点P的最短弦;(3)在最短弦与最长弦之间求出符合条件的整数弦.本题许多同学无从下手,因为⊙O中经过点P的弦有无数条,其长度既有整数、分数(有理数)还有无理数.     

判定直线与圆相切的办法

<正>一、已知条件中直线与圆有公共点,且存在连接公共点的半径,则可直接根据"经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线"来证明.图1例1如图1,已知AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,点D为AB延长线上一点,连接CD,且∠OCA=25°,∠D=40°.判断直线CD与⊙O的位置关系,并证明你的结论.解直线CD与⊙O相切.理由如下:∵OA=OC,∠OCA=25°,∴∠A=∠OCA=25°.又∵∠DOC是△AOC的外角,∴∠DOC=∠A+∠OCA=25°+25°=50°.在△DCO中,∵∠D=40°,∠DOC=50°,     

从三角形的垂心谈起--向量方法的一个应用

本文将三角形的垂心概念推广到圆内接四边形和圆内接五边形当中去 ,并且同时给出关于垂心的一条重要性质 .本文主要应用向量方法 .首先给出两条简易的引理 ,本文不加证明 .引理 1　设M是线段AB的中点 ,O为任意一点 ,则有OM =12 (OA+ OB) .引理 2　设G是△ABC的重心 ,O为任意一点 (在或不在△ABC所决定的平面上 ) ,则有OG=13(OA+ OB+ OC) .现在从三角形的垂心谈起 .图 1设O是△ABC的外心 ,OP⊥BC ,P是BC的中点 ,AQ是BC边上的高 (图 1 ) .在高AQ所在直线上取一点H ,使AH =2 OP ,则有OH =OA +AH=OA + 2OP=OA+ OB+ OC…     

谈谈“切线的判定和性质”的学习

圆是初中数学的重要内容之一 ,是全国各地中招考试必考查的重要知识点 .尤其是“切线的判定和性质”的相关内容是中考试卷中经常出现的题目 .而且题型多 ,从出题方式看 ,有填空题 ,判断题 ,选择题 ,证明题 .因此 ,同学们在学习这节内容时 ,要予以高度重视 .以下谈谈“切线的判定和性质”的学习需注意的几个要点 ,并举例说明 ,供读者参考 .一、熟练掌握切线的判定方法判定切线方法主要有如下三种 :( 1 )定义 :直线和圆有唯一公共点时 ,这条直线是圆的切线 .( 2 )定理 :到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 .( 3 )判定定理 :经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .例 1　 (甘肃 ,1 999年中招考试题 )如图 ,已知AB是⊙O的直径 ,BC是⊙O的切线 ,切点为B ,OC平行于弦AD ,求证DC是⊙O的切线 .分析 :直线DC与⊙O有公共点D ,故应用方法 ( 3 )进行证明 ,所以应连结OD ,再证明OD⊥CD .证明 :连结OD .∵OC∥AD ,∴∠ 3 =∠ 1 ,∠ 4=∠ 2 .∵OD =OA ,∴∠ 1 =∠ 2 ,∴∠ 4=∠ 3 .∵OD =OB ,,OC =O...     

也谈三角形五“心”向量形式的充要条件

文 [1 ]给出了三角形五“心”向量形式的充要条件 ,文 [2 ]对内心和旁心的结论加以了改进 .本文先给出三角形所在平面上任意一点的向量形式 ,然后由此推得三角形五“心”向量形式的一组充要条件 ,这组充要条件不仅具有简捷、美观的特点 ,而且还有较强的实用性 .命题　 1若O是△ABC形内 (或周界上 )一点 ,则S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 ;2若O是△ABC形外一点且与A位于直线BC的两侧 ,则-S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 .图 1　三角形　　　　　　　图 2　三角形　　证　如图 1 ,以O为原点 ,OA所在直线…     

三角形重心的向量形式及应用

定理 1　点O是三角形ABC的重心的充要条件是OA→ +OB→ +OC→ =0 .证　必要性 :若O是三角形ABC的重心 ,则OA→ =23(12 CB→ +BA→ ) =13 CB→ +23 BA→ ,OB→ =23(12 AC→ +CB→) =13 AC→ +23 CB→ ,OC→ =23(12 BA→ +AC→ ) =13 BA→ +23 AC→ ,故OA→ +OB→ +OC→ =CB→ +BA→ +AC→ =0充分性 :若OA→ +OB→ +OC→ =0 ,由向量加法原理 ,知过O且与OA→ +OB→ 平行的直线必平分线段AB ,而OA→ +OB→ 与OC→ 是共线的 ,故直线OC平分线段AB .同理 ,可以证明直线OA ,OB分别平分BC ,AC .从而知点O是三角…     

平立论道(续)

(接2010-12(上)P60) 题4 (2010年湖北18)如图1,在四面体ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1 (Ⅰ)设P为AC的中点,证明:在AB上存在一点Q,使PQ⊥OA,并计算AB/AQ的值; (Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值 乙:哎呀,你这个图中虽然有OC⊥OA,OC⊥OB,可惜∠AOB=120°,它不是墙角四面体.甲:我可以恰当加工,构造墙角四面体.     

三角形“五心”向量形式又一充要条件及其统一证法

文 [1 ]给出了三角形“五心”向量形式的充要条件 ,本文受此启发 ,予以推广 .给出了更加优美对称的表达形式 ,并给出了其统一的证法 .1　三角形“五心”的优美表达式△ABC中 ,AB =c ,BC =a ,CA =b,H是其平面内的某一点 ,O是其平面内的任一点 ,则结论 1　H是重心 OH =OA +OB +OC3.结论 2　H是内心 OH =a·OA +b·OB +c·OCa +b +c .结论 3　H是垂心 OH =tanA·OA +tanB·OB +tanC·OCtanA +tanB +tanC (直角三角形除外 ) .结论 4　H是外心 OH =sin2A·OA +sin2B·OB +sin2C·OCsin2A +sin2B +sin2C .结论 5　若…     

闭折线一条性质的应用

易证 ,对于一组闭折线A1A2 A3 …An,总有A1A2 +A2 A3 +A3 A4+… +An -1An+AnA1=0 .这条性质简明 ,应用却很广泛 .1　简化向量式例 1　化简AB -AC +BD -CD .解　原式 =AB +CA +BD +DC =AB +BD +DC +CA =0 .例 2　如图 1,在△ABC中 ,A′ ,B′ ,C′分别为BC ,CA ,AB的中点 ,O为△ABC所在平面内任一点 ,求证 :OA +OB +OC =OA′+OB′+OC′ .图 1　例 2图解　易知 ,B′A =12CA ,C′B =12 AB ,A′C =12BC .∵OB′ +B′A =OB′ +12 CA =OA ,OC′ +C′B =OC′ +12 AB =OB ,OA′ +A′C =OA′ +12 BC =OC …     

初三几何第二学期自测题

一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .△ABC中 ,AB =1 3 ,AC =5 ,BC =1 2 ,则△ABC的外接圆直径为 .2 .圆的半径为 5 ,圆中一条弦的弦心距为 4,那么这条弦长为 .3 .已知⊙O的半径为 5cm ,圆心O到直线AB的距离为 5cm ,那么直线AB与⊙O的位置关系为 .4.正六边形的半径与边心距之比为 .5 .半径为 6cm的圆中 ,长为πcm的弧所对的圆周角为 .6.如图 1所示 ,EF是⊙O的弦 ,P是EF上一点 ,EP =5 ,PF =4,OP =4,则⊙O的直径是 .7.如图 2所示 ,PA是⊙O的切线 ,A为切点 ,PBC是过点O的割线 ,PA =4cm ,PB =2cm ,则⊙O的面积为.8.已知⊙…     

矩形中一个结论的应用

<正>结论已知点O是矩形ABCD所在平面上的任意一点,则OA²+OC2+OC²=OB2=OB²+OD2+OD².证明过程如下:方法1(向量法)(OA2+OC2)-(OB2+OD2)=(|OA|2+|OC|2)-(|OB|2+|OD|2)=(|OA|2-|OB|2)+(|OC|2-|OD|2)     

一道竞赛几何题的证明及变式

<正>题目(2014年中国西部数学邀请赛第2题)如图1,已知AB为半圆⊙O的直径,C、D为AB上的两点,P、Q分别为△OAC、△OBD的外心(两个外心都在各自三角形内).证明:CP·CQ=DP·DQ.证明法一如图2,分别连接AP,OP,AD,BQ,OQ,BC.∵C在AB上,∴OA=OC,且BC⊥AC(AB为半圆⊙O的直径).∵P为△OAC的外心,∴AP=CP=OP,且OP⊥AC.∴OP∥BC,     

对一道课本习题的探究

人教版初中<几何>第三册P102B组第2题是一道好题,它的内涵丰富,具有典型的代表性和拓展性,极具教学开发价值.原题如图1,A是⊙O的直径EF上一点,OB是和这条直径垂直的半径,直线BA和⊙O相交于另一点C,过C点的切线和直线EF交于点D.求证:DA=DC.     

构造“圆和圆外一定点”模型求线段最值

<正>如图1,点P为⊙O外一点,连接PO并延长,交⊙O于点A,B,则连接点P和⊙O上任意一点所得的线段中,PA最短,PB最长.结论略证如下:如图2,点C为⊙O上任意一点(不和点A,B重合),连接CO,由三角形三边关系知道:PC+CO>PO,又PO=PA+AO,CO=AO,所以PC+CO>PA+AO,即PC>PA.由三角形三边关系知道:PO+CO>PC,又PO+CO=PB,所以PB>PC.当C为⊙O上任意一点(可以和点A,B重合)时,便有结论 PA≤PC≤PB,利用这一     

一道中考填空题的多种解法

<正>笔者对2017年乐清市中考提前批试卷的一道填空题进行了探究与思考,现将其整理成文,与读者交流,敬请批评指正.1.试题呈现如图1,OA与OB是⊙O的两条互相垂直的半径,点C在OA上,OC=1,CA=2,连接BC并延长交⊙O于点D,则△DOC的面积是____.点评本题可以通过构造相似三角形,直角三角形,建立直角坐标系等方法,建立一些量之间的关系,使问题获解.     

聚焦圆辅助线作法

<正>在几何计算和证明中,往往需要在已有的图形中添加辅助线.现就圆中相关的问题谈谈几种辅助线的作法,供大家参考.一、圆中有弦时,常作弦心距或连接半径例1如图1所示,CD是⊙O的直径,AE交⊙O于点B且AB=OC,∠EOB=84°,求∠A.证明连BO,∵BO=OE,∴∠OBE=∠OEB     

两角和与差的三角函数

问题91 对空间任一点O和不共线的三点A、B、C、^→OP=x^→OA y^→OB x^→OC（x y z）=1是四点P，A，B，C共面的什么条件？     

三角形的面积问题探索

<正>一、直接求三角形的面积例1(2016年全国竞赛试题)如图1,已知⊙O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C,连接AO并延长交⊙O于点E,若AB=8,CD=2,则△BCE的面积为().(A)12(B)15(C)16(D)18简析利用方程先求出圆的半径.设OC=x,则OA=OD=x+2.∵OD⊥AB于C,∴AC=CB=(1/2)AB=4.在Rt△OAC中,(OC)²+(AC)2+(AC)²=(OA)2=(OA)²,即x2,即x²+42+4²=(x+2)2=(x+2)²,解得x=3,即OC=3.