关于《高等数学》(同济第四版)教材中一习题的商榷

《高等数学》（同济大学数学教研室编）教材，曾获全国优秀教材一等奖，在国内外颇具影响．其第四版下册总习题十的第３题第（４）小题为：计算曲面积分：∫Σｘｄｙｄｚ＋ｙｄｚｄｘ＋ｚｄｘｄｙ（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）３，其中Σ为曲面１－ｚ５＝（ｘ－２）２１６＋（ｙ－１）２９（ｚ≥０）的上侧（见２２７页）．书中公布的答案为０（见４２５页）．笔者认为：该答案谬矣，且此答案亦是学生容易得出的错误答案．另，将该题安排在教科书上亦欠妥！之所以产生错误，可能是编者在使用高斯公式时对其成立的条件疏忽所致．于是解答为：令Σ１为…     

椭圆及其标准方程

１　观察与实验（课外完成）Ｔ：在自然界、科学界、技术界乃至我们的生活中都存在大量的“椭圆”形态．请大家注意观察，看能发现多少，并根据书上介绍的用绳子画椭圆的方法试着画些椭圆．２　阅读与交流（１课时）“观察与实验”的交流（略）Ｔ：鉴于椭圆的重要性，我们有必要进一步对其进行定性和定量的研究．下面请大家阅读本节教材，对重点疑点作出标记，并尽可能用自己的想法进行解释．半小时后我们一起交流（教师巡视指导）．Ｔ：下面我们开始交流．请有疑问的同学提问．Ｓ：（１）为什么要把“焦距”和“常数”设为２ｃ和２ａ，而不…     

sinx=（－1）~k（x~（2k＋1））／（（2k＋1）！）的一个初等证明

ｓｉｎｘ=（－１）~ｋ（ｘ~（２ｋ＋１））／（（２ｋ＋１）！）的一个初等证明２２５２１１江苏省江都市大桥高级中学党庆寿在高等数学中，大家熟知本人发现一个初等简明的证法．注需要补充说明的是：ｎ→∞时，引理２设ｘ∈Ｒ．则存在足够大的自然足够大的自然数ｍ，...     

到三角形内一点的距离公式的应用

１７４６年，Ｓｔｅｗａｒｔ首先给出“点到线段上分点间距离公式”．本文引入“面积坐标”（即重心坐标，见［１］）把线段上的分点扩张到三角形所在平面上的点，给出相应的公式．设△Ａ１Ａ２Ａ３的面积为Ｓ，Ｑ是三角形所在平面上的一点，它与Ａｉ的对边构成的三角形有向面积为Ｓｉ，记ＳｉＳ＝λｉ，则称有序实数组（λ１，λ２，λ３）为点Ｑ关于△Ａ１Ａ２Ａ３的面积坐标．定理　设Ｑ是△Ａ１Ａ２Ａ３所在平面上的一点，它关于△Ａ１Ａ２Ａ３的面积坐标为（λ１，λ２，λ３），记ＡｉＡｊ＝ａｉｊ，若Ｐ为Ｒ３中的点，则有：（１）Ｐ…     

外形·联想·构造——解题法

“问题是数学的心脏”．数学题五花八门，解题的方法也各式各样，就是说，针对不同的数学题要采取不同的方法解之方才便捷．这里就一些数学题根据其外形特性，联想到某些公式、方程、解题经验等，而构造出相应的公式、方程，然后利用它们的性质来解决问题．这种解题方法往往就是因为题目的外形特征，引发出来的一种解题技巧．１ 外形·联想，凑成公式 例 １ 化简：（１＋ ２（－１／３２））（１＋２（－１／１６））（１＋ ２（－１／８））（１＋２（－１／４））（１＋２（－１／２））． 分析 这是道化简题，若将５个因式硬乘开来，显然…     

初一(上)期末测试题(一)

一、判断题（每小题１分,共５分）正确的在括号内画“〖,错误的在括号内画“∨”．１．数轴上的点表示的数,右边的比左边的大．（　）２．任何有理数都有倒数．（　）３．已知｜ａ｜＝２,则ａ＝２．（　）４．ｘ＋３ｘ＋１是一元一次方程．（　）５．两个数的和与这两个数的积都是负数,那么这两个数均为负数．（　）二、填空题（每小题２分,共３６分）１．－１３的相反数是,０．５的倒数是．２．绝对值等于它本身的数是．３．（－１５）＋６＝,－２０－（－４）＝．４．（－３１２）－（　）＝０．５,（－５）＋（　）＝－１２５．…     

公式｜z｜~2＝zz（z∈C）的应用（教案）

公式｜ｚ｜~２＝ｚｚ（ｚ∈Ｃ）的应用（教案）武汉市一中邱应麟教学目的１．引导学生正确理解此公式的意义，熟练它的应用，并在应用中提高逻辑思维能力．２．引导学生明确实数集中“｜ｘ｜＝ｘ２”是复数集中“｜ｚ｜２＝ｚｚ”的特例，加深对复数概念的理解．教学过程?..     

代数初步知识教与学变式研究

代数初步知识教与学变式研究第１课代数式（一）一、教学目标：了解代数式的概念，会把用语言叙述的数量关系转化成相对应的代数式。二、兴趣变式：（教学引入）１、看教材Ｐ２的图：天上飞机凌空飞行，地下火车奔驰向前，中间写着“ｓ＝ｖｔ”——它标志着祖国正在高速发...     

频率分布

一、启发提问在统计初步中，如果要研究一组数据平均水平或集中趋势，则只需研究这组数据的．如果要研究一组数据的波动大小，则要研究这组数据的或；如果还要研究在哪一个范围内的数据较多，在哪一个范围内的数据较少，这就需要研究这组数据的．二、读书自学　教材Ｐ１８５－Ｐ１８９三、启读指导１．获得一组数据的频率分布的一般步骤是：（１），（２），（３），（４），（５），（６）．２．在Ｐ１８５例中，这组数据的最大值是，最小值是，它们的差是ｃｍ．３．当数据在１００个以内时．按照数据的多少，常分成组．这是分组的经验法则…     

代数初步知识

第１课代数式（一）一、教学目标：了解代数式的概念，会把用语言叙述的数量关系转化成相对应的代数式。二、兴趣变式：（教学引入）１、看教材Ｐ２的图：天上飞机凌空飞行，地下火车奔驰向前，中间写着“ｓ＝ｖｔ”——它标志着祖国正在高速发展奔向２１世纪。２、填空题...     

GBVE分布的参数估计

设二元随机变量（Ｘ，Ｙ）的生存函数为可．把它称作ＧＢＶＥ（θ１，θ２，δ）．本文采用把元件和系统（串联）的定时截尾寿命试验数据综合起来进行统计分析的方法，研究ＧＢＶＥ（θ１，θ２，δ）中参数的估计及其性质．在θ１＝θ２＝θ的情况下给出了（θ，δ）的极大似然估计证明了具有强相合性和渐近正态性．在无θ１＝θ２限制时给出了（θ１，θ２，δ）的矩法估计（θ１，θ２，θ３，δ），证明了同样具有强相合性和渐近正态性．     

关于吸收马氏链的注记

设Ｐ０＝（Ｐｉｊ）是一个状态空间为Ｅ＝（０，１，２，．．．）的吸收马氏链，其中“０”是唯一的吸收状态，其它状态构成一个非本质类，定义一个新链Ｐ１＝（Ｐｉｊ／１－ｐｉ０）ｉ，ｊ∈Ｅ１，Ｅ１＝（１，２，．．．）。讨论了Ｐ１的状态性质（常返，正常返）与Ｐ０的吸收性质之间的关系。     

一道IMO题的对偶式与面积解释

第２４届ＩＭＯ第６题是：在△ＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ是三边长，求证：ａ２ｂ（ａ－ｂ）＋ｂ２ｃ（ｂ－ｃ）＋ｃ２ａ（ｃ－ａ）≥０．（１）文［１］指出了它的下述对偶形式：ａｂ２（ａ－ｂ）＋ｂｃ２（ｂ－ｃ）＋ｃａ２（ｃ－ａ）≤０，（２）并给出了统一的距离解释．即不等式（１）、（２）的几何解释为：三角形内Ｂｒｏｃａｒｄ点到内心的距离非负．受此启发，笔者研究了第６届ＩＭＯ第２题：在△ＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ是三边长，求证：　ａ２（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂ２（ａ＋ｃ－ｂ）＋ｃ２（ａ＋ｂ－ｃ）≤３ａｂｃ，（３）发现它也有如下的…     

微元法新论──兼谈《高等数学及其应用》教材的使用效果

微元法新论──兼谈《高等数学及其应用》教材的使用效果苏永法（南京机械高等专科学校，南京２１００１３）《高等数学及其应用》是南京机械高等专科学校机制专业“小范围、大幅度”教改试点（于１９９０年经省教科所立项，于１９９４年经国家教委批准）系列教材之一，已...     

概率积分I＝∫_0~（＋∞）e~（－x~2）dx的几种计算方法

概率积分Ｉ＝∫_０~（＋∞）ｅ~（－ｘ~２）ｄｘ的几种计算方法修春燕（哈尔滨测量高等专科学校）方法１同济大学的高等数学教材中，讲述了下面的计算方法：首先计算二重积分，其中Ｄ是由中心在原点，半径为ａ的圆周所围成的闭区域。在极坐标系中Ｄ可以表示为现在我们利用...     

关于单调的变分不等式问题的收敛性方法

１引言变分不等式的性质及解法的研究是优化领域的重要课题．所谓变分不等式问题就是：寻找一个点,使得其中Ｘ是Ｒｎ中的非空闲凸集,Ｆ是Ｒｎ中的映射,表示Ｒｎ中的内积．求解问题（１．１）有多种思路［１,４,５］其中之一就是将（１．１）转化为它的某种等价问题,再进行求解．在山中ＭａｓａｏＦｕｋｕｓｈｉｍａ给出了（１．１）的如下的等价问题Ｇ是对称正定矩阵．山提出了求解（１．２）的带精确搜索和Ａｒｍｉｊｏ搜索的两种收敛性算法．本文建立了“ｄ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ”的概念,利用“Ｄ－ｆｕｎｃｔｉｎ”给出了（１．１）…     

高阶非线性差分方程的振动性

本文研究了差分方程△ｄｘ（ｎ）＋ｐ（ｎ）△（ｄ－１）ｘ（ｎ）＋Ｈ（ｎ，ｘ（ｎ））＝０，（１．１）△ｄｘ（ｎ）＋ｐ（ｎ）△（ｄ－１）ｘ（ｎ，ｘ（ｎ））＝Ｑ（ｎ）．（１．２）在一定的条件下，证明了方程（１．１）与（１．２）在振动性方面的等价问题．对于方程（１．１）或（１．２），在ｎ是偶数时的每一个有界解是振动的，在ｎ是奇数时，每一个有界解是振动的或当→∞时单调趋于零的充要性定理也建立了．     

挖掘隐含“不变” 突破解题难点

大千世界，千变万化．作为研究现实世界的空间形式和数量关系的数学也是如此．然而在这纷繁复杂的变化中却常常存在着某些“不变（性，量）”，数学解题过程中有时一旦挖掘到了这些隐含的“不变（性，量）”，也就突破了解题的难点．１　运用“含参二次函数的不变性（量）”突破解题难点“含参二次函数的不变性（量）”是指含参二次函数的对称轴“不变”，二次函数过定点“不变”等．例１　设二次函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｘ＋ａ（ａ＞０），满足ｆ（ｍ）＜０，试判断ｆ（ｍ＋１）的符号．分析　本题粗看似难以下手，但若仔细分析却有（ｉ）二次…     

一条件恒等式证明之我见

一条件恒等式证明之我见徐鸿迟（江苏省泰州中学２２５３００）考察这样的问题：已知ａ＋ｂ＋ｃ＝ａｂｃ，求证ａ（１－ｂ２）（１－ｃ２）＋ｂ（１－ｃ２）（１－ａ２）＋ｃ（１－ａ２）（１－ｂ２）＝４ａｂｃ．徐南昌在［１］中用数学审美的目光发现了下面的“证法”：...     

五年“3 2”高考数学试题研究及复习建议

五年“３＋２”高考数学试题研究及复习建议杨志文（江苏锡山高级中学２１４１５４）实行“３＋２”新高考已经五年．本文将通过对五年来的“３＋２”全国高考试题（以下简称《试题》）的分析、研究，对今后数学复习教学谈几点建议．１《试题》研究纵观１９９３１９９７...