Ein weiteres Rechenschema für die Simplexmethode

Zusammenfassung Es wird ein Rechenschema für die Simplexmethode beschrieben, das wenig Rechen- und Schreibarbeit erfordert. Spaltenweise Kontrollen ermöglichen leichtes Auffinden von Rechenfehlern. Das Verfahren läßt sich auf Maximal- und Minimalprobleme anwenden. Eine Abschätzung für die Rechenzeit wird angegeben.

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Summary A calculation scheme for the simplex method requiring little calculation and writing is given. Checks in columns allow arithmetical errors easily to be found. The scheme is applicable for maximum and minimum problems. Estimates for calculation time required are given.

     

On the modelling of distributed outflow in one-dimensional models of arterial blood flow

Summary One-dimensional mathematical models of the flow of blood in arteries commonly make use of the concept of distributed outflow to simulate the loss of blood via side branches. It is shown that the usual approach leads to physically unrealistic results in certain special cases involving flow in rigid tubes, unless we introduce in the momentum equation a suitable additional term depending on the outflow. The influence of such a term on the pressure- and velocity waves calculated from an existing model of the aorta is investigated.

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Zusammenfassung Eindimensionale mathematische Modelle des Blutstromes in Arterien verwenden meist das Konzept von distribuiertem Abfluß um den Blutverlust über Verzweigungen zu simulieren. Es wird gezeigt, daß die übliche Behandlungsweise in speziellen Fällen von Strömungen in starren Röhren zu physikalisch unrealistischen Resultaten führt, es sei denn, daß in der Impulsgleichung ein passendes zusätzliches Glied eingeführt wird, welches vom Abfluß abhängt. Der Einfluß dieses Gliedes auf die Druck- und Geschwindigkeitswellen wird mit Hilfe eines bestehenden Modelles der Aorta untersucht.

     

On duality in linear fractional functionals programming

Summary The paper formulates a dual program for a given linear fractional functionals program (L.F.F.P.) and proves the duality theorem and its converse for the same. Special feature of the paper is that both the primal and the dual programs are L. F. F. Ps. and can easily be solved by the existing standard techniques.

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Zusammenfassung Für ein lineares Optimierungsproblem, dessen Zielfunktion als Quotient zweier linearer Funktionen gegeben ist (LP-Problem mit gebrochener Zielfunktion), wird ein duales Problem formuliert und das Dualitätstheorem bewiesen. Es wird gezeigt, daß sowohl das primale als auch das duale Problem lineare Probleme mit gebrochener Zielfunktion sind und leicht mit den bekannten Standardtechniken gelöst werden können.

     

Finite deformations of an area-preserving material

A continuum theory of finite deformations of an area-preserving material is proposed. The material is assumed to deform preserving both volume and the area on the surfaces defined by unit normal vector field in the material; that is, the material has the internal constraints of incompressibility and inexpansibility. After a brief discussion of plane deformations, basic equations for axisymmetric deformations of rotationally symmetric bodies are derived; deformation gradients are explicitly expressed, and compatibility conditions and equilibrium equations are obtained. To illustrate the calculation of deformation and stress, a simple problem of forming a spherical cap from a circular disc is solved.

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Zusammenfassung Es wird eine Kontinuumtheorie für finite Verformungen eines flächenbewahrenden Materials vorgeschlagen. Es wird angenommen, daß das Material sich verformt, während es das Volumen und die Oberfläche wie durch das Einheitsnormalvektorfeld im Material definiert beibehält, d. h. das Material hat den inneren Zwang der Nichtzusammendrückbarkeit und der Nichtausdehnbarkeit. Nach einer kurzen Diskussion der Ebenenverformungen werden grundlegende Gleichungen für achsensymmetrische Verformungen von rotationssymmetrischen Körpern abgeleitet, die Verformungsgradienten werden explizit ausgedrückt, Kompatibilitätsbedingungen und Gleichgewichtsgleichungen werden erhalten. Um die Berechnung von Verformung und Spannung zu illustrieren, wird das einfache Problem der Formung einer sphärischen Kappe aus einer kreisförmigen Scheibe gelöst.

     

A finite time singularity of the boundary layer equations of natural convection

Summary The unsteady natural convection flow about a horizontal circular cylinder at whose surface the heat flux is constant is considered. A numerical solution of the equations valid in the vicinity of the uppermost generator of the cylinder displays singular behaviour after a finite time. It is demonstrated that the breakdown of the solution is consistent with a triple layer structure characterised by an inertia dominated central region.

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Zusammenfassung Wir untersuchen die nicht-stationäre natürliche Konvektion entlang eines horizontalen Zylinders mit konstantem Oberflächenwärmefluß. Eine in der Umgebung des obersten Generators des Zylinders gültige numerische Lösung führt nach endlicher Zeit zu einem singulären Verhalten. Es wird gezeigt, daß das Zusammenbrechen der Lösung konsistent ist mit einer Dreischichtstruktur in der der mittlere Bereich von der Trägheit dominiert wird.

     

Squeeze-film flow of an Oldroyd-B fluid: Similarity solution and limiting Weissenberg number

Summary In this paper we consider the motion of an Oldroyd-B fluid being squeezed between two parallel disks of infinite extent. We show that a similarity solution exists provided that the fluid inertia is neglected and that the squeezing velocity varies exponentially with time. We prove that there is a critical Weissenberg number above which at least one component of the stresses grows unboundedly with time. This critical Weissenberg number is of the order of 0.67. This latter conclusion is also valid in the continuous squeeze-film mode.

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Zusammenfassung In diesem Artikel betrachten wir die Bewegung einer Oldroyd-B Flüssigkeit welche zwischen zwei parallele Scheiben von unendlicher Dimension gequetscht wird. Es wird gezeigt, daß eine Similaritätslösung existiert, vorausgesetzt, daß die Flüssigkeitsträgheit vernachlässigt wird und die Quetschgeschwindigkeit sich exponentiell mit der Zeit verändert. Der Beweis wird erbracht, daß eine kritische Weissenbergzahl existiert, oberhalb welcher wenigstens eine Komponente der Spannungen mit der Zeit anwächst. Diese kritische Weissenbergzahl ist in der Größenordnung von 0.67. Dasselbe Resultat gilt für den kontinuierlichen Quetsch-Film.

     

An asymptotic approach for shock-wave/transpired turbulent boundary layer interactions

Summary In this work perturbation techniques are used to study the problem of the interaction between a shock wave and a transpired turbulent boundary layer at transonic speeds. In the case considered here, the Mach number is assumed to be high enough for the sonic line to penetrate deep into the boundary layer so that it ends close to the wall. The flow region is divided into a region of strong interaction and regions of weak interaction. For the regions of weak interaction, upstream and downstream of the shock, a classical two-deck structure is assumed to hold for the boundary layer. Solutions chosen for these regions must account for the effects of blowing or suction. The strong interaction region on the other hand is shown to consist of three decks. A detailed analysis of the whole flow field is carried out and solutions valid in the double limit as Reynolds number tends to infinity and Mach number tends to one are proposed. Solutions of adjacent layers are shown to match so providing a smooth solution for the entire flow region. The analysis yields solutions for the pressure and skin-friction profiles.

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Zusammenfassung In dieser Veröffentlichung wird mit Methoden der Störungsrechnung das Problem der Wechselwirkung zwischen einer Schockwelle und einer turbulenten Grenzschicht mit Blas- und Saugeffekten beim Übergang zu Überschallgeschwindigkeiten untersucht. In dem hier betrachteten Fall ist die Machzahl so hoch, daß die Schockwellenfront tief in die Grenzschicht eindringt und nahe bei der Wand endet. Das Strömungsgebiet wird in ein Gebiet starker Wechselwirkung und in ein Gebiet schwacher Wechselwirkung eingeteilt. Für die Gebiete schwacher Wechselwirkung (vor und hinter der Schockwellenfront) wird angenommen, daß die Grenzschicht eine klassische zwei-Deck Struktur besitzt. Lösungen, die für diese Gebiete gewählt werden, müssen die Blas- oder Saugeffekte erklären. Es wird gezeigt, daß das Gebiet starker Wechselwirkung dagegen aus drei Decks besteht. Eine ausführliche Berechnung des gesamten Strömungsfeldes wird durchgeführt, und es werden Lösungen angegeben, die gültig sind für den doppelten Grenzfall, daß die Reynoldszahl gegen unendlich und die Machzahl gegen eins strebt. Es zeigt sich, daß die Lösungen für benachbarte Schichten aneinander passen, und daß sich damit eine stetige Lösung für das gesamte Strömungsgebiet ergibt. Die Lösungen für die Druck- und Wandreibungsprofile werden bestimmt.

     

Über ein Problem der Fließbandfertigung bei stochastischer Nachfrage

Zusammenfassung Bei der Fließbandfertigung mit stochastischer Nachfrage interessiert man sich für die Anpassung der Produktion an die Marktgegebenheiten. Es wird die Produktion eines Gutes betrachtet. Der Unternehmung stehen mehrere gleichwertige Fertigungsstraßen zur Verfügung. Es wird angenommen, daß alle in Betrieb befindlichen Fertigungsstraßen den gleichen und unveränderlichen Output pro Zeiteinheit haben. Gesucht ist ein optimales Verhalten, das die diskontierte Summe der zu erwartenden Kosten minimiert. Es ist naheliegend, Verfahren der dynamischen Programmierung zu verwenden. Für das Modell wird der Fall zyklischer Kontrolle betrachtet. Die Verteilung der Nachfrage während der Kontrollperioden sei bekannt, konstant, und es gelte stochastische Unabhängigkeit für verschiedene Perioden. Überschreitet die Nachfrage den Lagerbestand, dann erfolgen für den fehlenden Output Vormerkungen. Die Belieferung findet später statt.

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Summary In assembly line production with stochastic demand one is interested in the adaption of the output to the market situation. The production of one product is considered. The company has several assembly lines of the same type. It is assumed that the assembly lines in action have the same, and a constant output rate. An optimal policy, minimizing the expected value of the total discounted costs, has to be found. It is concievable that the method of dynamic programming should be used. In the model the case of cyclic control is considered. The distribution of demand during each control period is given, constant, and there is stochastic independence for different periods. If the demand exceeds the stock the deficient output is noted and delivery takes place later.

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Vorgel. v.:W. Wittmann, Heidelberg.     

A hybrid algorithm for solving convex separable network flow problems

Based on computational experiments with different approaches to convex separable network flow problems a hybrid algorithm is developed and implemented. Phase one of the algorithm uses a rapidly converging series of piecewise linear secant approximations in order to determine a good solution within some distance of the optimum. Starting from this solution, a feasible direction method, based on reduced Newton directions, is used in the second phase of the algorithm to determine the optimal solution. Since nonlinear network flow problems tend to be degenerate, special emphasis is put on the construction of a basis that yields a strictly positive step length at the beginning of phase two of the hybrid algorithm.A number of test problems have been solved successfully. It is expected that the approach can be extended to solve large-scale problems with convex separable objective functions. Details of the implementation and computational results are presented.

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Zusammenfassung Ausgehend von experimentellen Ergebnissen mit unterschiedlichen Lösungsverfahren für separable Netzwerkflußprobleme wurde ein zweistufiges Verfahren entwickelt und implementiert. Auf der ersten Stufe wird in einem iterativen Prozeß das zu lösende Problem mehrfach stückweise linearisiert. Man erhält eine bereits sehr gute Lösung. Mit dieser wird ein Richtungsverfahren initialisiert, das unter Verwendung reduzierter Newton Richtungen die optimale Lösung bestimmt. Das Richtungsverfahren bildet die zweite Stufe des Verfahrens. Da nichtlineare Netzwerkflußprobleme im allgemeinen stark entartet sind, wird zu Beginn der zweiten Stufe des beschriebenen Verfahrens eine Basis konstruiert, die eine positive Schrittlänge zuläßt.Es wurden zahlreiche Testprobleme mit bis zu 600 Knoten und 1400 Kanten mit dem beschriebenen Verfahren erfolgreich gelöst. Es wird erwartet, daß das Verfahren auch auf sehr viel größere Probleme mit konvexer, separabler Zielfunktion angewendet werden kann. Es wird auf Fragen zur Implementation eingegangen und es werden numerische Ergebnisse diskutiert.

     

The Stefan problem in nonlinear heat conduction

Summary An exact parametric solution for the planar solidification of a liquid metal occupying the infinite half-space is presented. The metal is assumed to exhibit nonlinear thermal characteristics of the Storm type. Both the idealized one phase and the full two phase problems are considered. For both problems an approximate analysis of the underlying coupled transcendental equations is presented which provides initial estimates for use in a numerical scheme. Typical numerical results are given which illustrate the monotonic nature of the solution.

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Zusammenfassung Eine genaue Lösung für die ebene Solidifizierung eines flüssigen Metalls, das in einem unendlichen Halbraum liegt, wird dargestellt. Es wird angenommen, daß das Metall nonlineare thermale Elgenschaften der Stormschen Art aufweist. Das idealisierte Einphasen-Problem wie auch das voile Zweiphasen-Problem werden betrachtet. Für beide Probleme wird eine ungefähre Analyse der zugrundeliegenden gekuppelten transzendentalen Gleichungen gegeben, die Anfangswerte zur Verwendung in einer numerischen Darstellung liefert. Es werden typische Zahlenwerte gegeben, die die Monotonie der Lösung illustrieren.

     

Lagerhaltung bei Preiserhöhung

Zusammenfassung In dem dargestellten Modell zur Bestimmung optimaler Losgrößen bei Preiserhöhung sind die Bedingungen des klassischen Losgrößensystems derart geändert, daß nach einer Ankündigungszeit der Einkaufspreis um einen bestimmten Betrag erhöht wird. Sowohl für den Fall unendlich kleiner als auch für den Fall endlicher Ankündigungszeit werden aus den zulässigen Strategien die potentiell optimalen ausgewählt und durch Vergleich der individuellen Optima dieser Strategien die optimalen Bestellmengen ermittelt. Es zeigt sich, daß in allen Fällen, in denen es optimal ist, eine Zusatzbestellung durchzuführen — dies hängt ab von der Länge der Ankündigungszeit und dem Lagerbestand zum Zeitpunkt der Ankündigung -, das Lager stets auf das gleiche Niveau aufgefüllt wird.

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Summary In the following model for the determination of optimal lot-sizes at an increase of purchasing price the conditions of the classical lot-size system are modified in such a way that the purchasing price will be increased by a given amount after a previous announcement. Both in the case of an infinitely small and in the case of a finite time of announcement the potential optimal strategies are selected from the set of feasible strategies; the optimal lot-sizes are found by comparing the individual optimal solutions of these strategies. It can be seen that in all cases in which it is optimal to order an additional amount — the order depending on the time of announcement and the amount of inventory at the time of announcement — the inventory is raised to the same order level.

     

Generalized concavity of a function in portfolio theory

Summary The analysis of portfolio selection and capital market equilibrium problems involving multivariate lognormal distributions is impeded because this distribution is not closed under addition. To overcome this difficulty it is convenient to use the approximation that this sum is lognormal. Simulation and empirical tests and theoretical results lend support to the appropriateness of the approximation. This paper develops the necessary theory to determine whether such approximating functions are concave or at least quasiconcave and thus their analysis can proceed by standard methods. The characterizations, which involve explicit algebraic criteria related to the parameter values of the random variables and utility function, are evaluated using monthly and yearly stock price data.

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Zusammenfassung Die Analyse von Portfolio Selection Problemen sowie von Gleichgewichts-problemen wird beim Vorliegen logarithmisch-normaler Verteilungen dadurch erschwert, daß diese Klasse von Verteilungen nicht abgeschlossen gegenüber der Addition ist. Das Ersatzmodell, das man dadurch erhält, daß die Summe als logarithmisch-normalverteilt unterstellt wird, erweist sich jedoch als gute Approximation des ursprünglichen Problems, wie empirische sowie theoretische Ergebnisse zeigen. In der vorliegenden Arbeit wird untersucht, unter welchen Bedingungen die approximierende Zielfunktion konkav oder wenigstens quasikonkav ist, und daher das Ersatzproblem mit einem Standardverfahren der konkaven Programmierung gelöst werden kann. Es werden notwendige und hinreichende Bedingungen für die Quasikonkavität der approximierenden Funktion für verschiedene Parameterwerte der Verteilung und der Nutzenfunktion abgeleitet. Die Verwendung der erhaltenen Kriterien, die leicht nachzuprüfen sind, wird am Beispiel monatlicher und jährlicher Daten illustriert.

     

A simple model for the fast transverse discharges used in pumping high-pressure gas lasers

Zusammenfassung Für die Anregung von Hochdruck-Gaslasern werden schnelle transversale Entladungen benutzt, die eine Art quasi-stabiler Glimmentladungen darstellen. Wir schlagen ein sehr vereinfachtes Modell vor, das solche Entladungen auf Grund einer Leistungsbilanz erklärt. Die durch das angelegte elektrische Feld an das Elektronengas gelieferte Leistung muß der durch Stöße mit den Gasmolekülen verlorenen Leistung der Elektronen gleich sein. An Hand einer numerischen Berechnung zeigen wir, daß dieses Modell eine akzeptable erste Näherung darstellt, daß es aber nicht zulässig ist, eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung für die Elektronenenergie anzunehmen. Der wahrscheinliche Grund dieser Glimmphase wird auch kurz besprochen, und wir können damit zeigen, warum es äußerst wichtig ist, daß die Anstiegszeit der angelegten Spannung auf einem Minimum gehalten wird.

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This work is part of a joint program between Brown, Boveri & Cie. AG and the Swiss Federal Institute of Technology.     

On some relations between a dual pair of multiple objective linear programs

Summary This paper is a contribution to the theory of multiple objective linear programming. Existence and duality properties for multiple objective linear programs are developed which contain the fundamental existence and duality results of linear programming as special cases. Several implications of the duality results will be indicated.

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Zusammenfassung In diesem Beitrag werden einige Existenz- und Dualitätsaussagen für lineare Programme mit mehreren Zielfunktionen (Vektoroptimierungsprobleme) vorgestellt. Es wird gezeigt, daß diese Aussagen die Existenz- und Dualitätsaussagen der linearen Programmierung als Spezialfälle enthalten.

     

Optimierung in der Stichprobentheorie durch Schichtung und Aufteilung

Zusammenfassung Es wird gezeigt, daß sich das Problem der optimalen Schichtung und Aufteilung für ein und mehrer Merkmale auf ein nichtlineares Programm mit nichtlinearer Zielfunktion und im allgemeinen nichtlinearen Restriktionen zurückführen läßt. Lösungsverfahren für den Fall diskreter und stetiger Merkmale mit a) verschwindendem, b) nichtverschwindendem Auswahlsatz werden angegeben. Ergebnisse für die Normalverteilung und die logarithmische Normalverteilung werden mitgeteilt. Es zeigt sich, daß die bekannte Formel vonDalenius zu falschen Ergebnissen führen kann, weil bei der Herleitung eine (nichtlineare) Restriktion nicht berücksichtigt wurde. Am Beispiel einer zweidimensionalen Normalverteilung wird die Verallgemeinerung der Problemstellung und des Verfahrens demonstriert.

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Summary It will be shown that the problem of optimum stratification and allocation for one and several variates can be reduced to a nonlinear program with a nonlinear objective function and in general nonlinear restrictions. Methods for solving these problems are given for discrete and continuous variates with a) vanishing, b) non-vanishing sampling fraction. Results are tabulated for the normal and the lognormal distribution. It will be shown that the well-known formula ofDalenius may lead to wrong results, because one of the (non-linear) restrictions may be not satisfied. The problem and the methods for solving this problem can be generalized. This will be shown with the two-dimensional normal distribution.

     

Path-stability of a crack crossing a beam in bending

It has been observed experimentally, that the path of a crack in a brittle beam under bending sometimes becomes unstable. In order to explain this phenomenon a criterion for path-stability is developed, which is based on the hypothesis that the crack will propagate in the direction of maximum loss of potential energy. With this criterion it is shown theoretically and confirmed experimentally that path-instability depends on the amount of the longitudinal compressive stress-resultant, which is generated during brittle fracture, and that path-instability of the crack can only occur in the last quarter of its way.

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Zusammenfassung Experimente haben gezeigt, daß die Ausbreitungsrichtung symmetrisch belasteter Risse instabil werden kann. Unter bestimmten Umständen ist dies bei Balken unter Biegung der Fall. Die vorliegende Arbeit befaßt sich mit der Erklärung dieses Phänomens. Mit der Hypothese, daß der Riß sich in die Richtung des maximalen Verlustes an potentieller Energie ausbreitet, wurde ein Stabilitätskriterium für die Rißrichtung gewonnen. Damit konnte gezeigt werden, daß die Richtungsstabilität hauptsächlich von der longitudinalen Druckkraft beeinflußt wird, welche beim spröden Bruch unter Biegung dynamisch erzeugt wird, und daß die Richtungsinstabilität nur im letzten Viertel der Balkendicke auftreten kann.

     

Rayleigh-Taylor instability of a compressible plasma in a horizontal magnetic field

A study of the Rayleigh instability of a compressible plasma, density stratified in horizontal planes and subjected to a horizontal magnetic field, is made. It is found that in the presence of the compressibility effects the magnetic field continues to affect the development of the Rayleigh instability even for disturbances that propagate across the magnetic field (taken perpendicular to gravity), contrary to the result for the case of an incompressible plasma. The special case of a plane interface separating two superposed uniform plasmas of different densities is treated as an example to illustrate the compressibility effects on the hydromagnetic Rayleigh instability. It is found that the compressibility effects have a stabilising nature.

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Zusammenfassung Es wird die Rayleigh-Instabilität eines kompressiblen Plasmas untersucht, mit Dichte-Schichtung in horizontalen Ebenen, in Gegenwart eines horizontalen Magnetfeldes. Es wird gezeigt, daß bei Kompressibilität das Magnetfeld auch die Instabilitätsentwicklung derjenigen Störungen beeinflußt, die sich quer zum Magnetfeld (welches senkrecht zur Gravitationsrichtung angenommen wurde) fortpflanzen; dies ist im kompressiblen Plasma nicht der Fall. Der Spezialfall einer ebenen Trennfläche zwischen zwei Plasmas mit verschiedenen gleichförmigen Dichten wird behandelt, um den Kompressibilitätseffekt auf die hydromagnetische Rayleigh-Instabilität zu zeigen; dieser erweist sich als stabilisierend.

     

On the interaction between an elastically embedded rigid inhomogeneity and a laterally placed concentrated force

In this paper we examine the problem of the interaction between a rigid circular disc inclusion embedded in bonded contact with an isotropic elastic infinite space and a concentrated force which acts at an exterior point on the plane of the inclusion. The results for the displacement and rotation of the disc inclusion induced by the laterally placed load are evaluated in exact closed form. Furthermore, it is shown that these results may also be recovered by appeal to Betti's reciprocal theorem in which the auxiliary problem corresponds to the directly loaded inclusion.

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Zusammenfassung Es wird das folgende Problem untersucht: Eine starre runde Scheibe ist in festem Kontakt in einem unbegrenzten isotopen elastischen Raum eingeschlossen; eine konzentrierte Kraft greift an einem äußeren Punkt an in der Ebene der Scheibe. Die Verschiebung und die Drehung der Scheibe (für seitlich verschobene Belastung) werden in geschlossener Form angegeben. Weiterhin wird gezeigt, daß die Resultate auch mit Hilfe von Betti's Reziprozitäts-Theorem erhalten werden können, wobei das Hilfsproblem dem direkt belasteten Fall entspricht.

     

Zum Problem der optimalen Zusatzbestellung

Zusammenfassung Es wird die Frage untersucht, unter welchen Umständen im Verlauf einer normalen Lagerwirtschaft eine außerordentliche Zusatzbestellung rentabel ist. Sind die zusätzlich auftretenden Lager- und Bestellkosten höher als die durch das Zusatzangebot erzielten direkten Ersparnisse, so wird man auch von einem billigen Angebot nicht Gebrauch machen. Es werden kritische Intervalle und die optimale Bestellmenge bestimmt. Abschließend wird der Einfluß verschiedener Lagerbewertungsverfahren auf die einzelnen Entscheidungsgrößen diskutiert.

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Summary The problem is discussed under which conditions an additional order is profitable in the course of a normal inventory. If the additional cost of inventory and ordering is higher than the direct savings connected with the additional offer, one will not accept even a cheap offer. The critical intervals and the optimal quantity ordered are determined. Finally the influence of different methods of evaluation of inventory costs on the various decision parameters is discussed.

     

The minimal cost maximum matching of a graph (supplementary remarks)

Summary In addition to the preceding paper, it will be shown that (1) the matching problem is closely related to the linear assignment problem and how (2) this property can be taken advantage of for solving the matching problem.

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Zusammenfassung In Ergänzung zum vorhergehenden Beitrag wird gezeigt, daß das Matching Problem eng mit dem linearen Zuordnungsproblem verwandt ist und wie diese Tatsache zur Lösung des Matching Problems genutzt werden kann.