直线、平面、简单几何体——系列讲座（五）

直线、平面的各种位置关系的判定和性质(如2003年高考&;#183;新课程卷第16题，2003年高考&;#183;北京卷&;#183;第4题，2004年高考&;#183;上海卷第13题，2004年高考&;#183;福建卷理科第5题、文科第6题，等)．     

直线与圆锥曲线——系列讲座（四）

1．直线的倾斜角、斜率、方程(如2003年高考&;#183;全国卷&;#183;理科第10题，2004年高考&;#183;天津卷&;#183;文科第7题，等)．     

一道数列综合题的解法分析

题 1　已知 {ａｎ}是等差数列 ,其公差为ｄ ;{ｂｎ}是等比数列 ,其公比为 ｑ >1 .若ａ2 =ｂ2 =2 ,ａ4=ｂ4.1 )比较ａ1与ｂ1,ａ3与ｂ3的大小 ;2 )猜想并证明ａｎ 与ｂｎ 的大小关系 (ｎ≥ 5 ) .这是成都市 2 0 0 0届高三第一次诊断考试理科数学第 2 3题 ,试题遵循了“能力立意、强调综合、注重数学思想和方法考查”的高考命题原则 ,载体平凡 (等差数列和等比数列 ) ,综合度高 (基础知识和基本数学思想方法两方面都有体现 ) ,总体难度较大 ,可谓整套试卷的把关题之一 ,下面就解题思路的获得和解题方法的优化等谈谈我们的看法 ,供读者参考 .1　…     

特殊数列求和问题的求解策略

<正>近几年高考卷中出现了一类特殊数列求和的问题,如递推公式中含有(-1)ⁿ,通项公式中含有三角函数等,本文试图对这类特殊数列求和解法做一探究.一、含(-1)n数列的求和题1(2014·山东卷理科)已知等差数列{a_n}的公差为2,前n项和为S_n,且S_1,S_2,S_4成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;     

一个数列问题的再研究

人民教育出版社《数学》(必修)第一册(上)第129页习题3.5第7题:已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和,a1,a7,a4成等差数列,求证2S3,S6,S12-S6成等比数列.文[1]给出了如下一个推广:定理1已知数列{an}是公比不为±1的等比数列,Sn是其前n项和,若xam,yam 2k,zam k成等差数列(其中x     

一道湖北高考试题的引申探究

今年高考数学湖北卷理科第20题是一道涉及递推数列、等比数列、等差数列的综合试题,能较好地考查考生的基础知识及推理论证能力.现在,我们透过试题及解答表面,深入挖掘题目背后更深层次的一般结论.     

一道高考题的背景

2000年高考数学卷(理科)第20题第1小题:已知数列{Cn},其中Cn=2n 3n,且数列{Cn 1-pCn}为等比数列,求常数p.此题的背景来源于这样一个简单的事实:对于数列{an},若{an 1-pan}是以q为公比的等比数列(p≠0,q≠0),且a2-pa1≠0,则{an 1-qan}是以p为公比的等比数列.证明　∵　{an 1-pan}是公比为q的等比数列,∴　an 1-pan=q(an-pan-1),an 1-pan=qan-pqan-1.移项重组得　an 1-qan=p(an-qan-1),所以数列{an 1-qan}是以p为公比的等比数列.用这个简单的事实来解此高考题简洁明了,而且能深入问题的本质.∵　{Cn 1-pCn}为等比数列,设其公比为q(q≠0),∴…     

2004年全国高考文科第18题另证

20 0 4年全国高考文科第 1 8题是 :已知数列 {an}为等比数列 ,a2 =6 ,a5=1 62 .(Ⅰ )求数列 {an}的通项公式 ;(Ⅱ )设Sn 是数列 {an}的前n项和 ,证明Sn·Sn + 2S2 n+ 1≤1 .分析 :本题主要考查等比数列的概念、前n项和公式等基础知识 ,考查学生综合运用基础知识进行运算的能力 .对第 (Ⅰ)问只需要用等比数列的通项公式即可解决 ,易得an=2·3n -1 .对第 (Ⅱ )问 ,可由 (Ⅰ )知 ,所证不等式等价于Sn·Sn + 2 ≤S2 n+ 1 ,高考命题组给出的标准证法是用均值不等式证明的 ,但事实上 ,上述不等式等号是取不到的 ,即我们只须证Sn·Sn + 2 相似文献   

高考数列的新宠——叠加·叠乘·叠代

数列内容在历年高考中所占的比例在1 0 %左右 ,而近年高考在新课标的理念下 ,又明显侧重了对逻辑推理、数学方法与综合应用能力的考查 ,因此 ,在新课程文科版删去数学归纳法的内容的前提下 ,在新课程高考中往往出现数列问题的新宠———叠加·叠乘·叠代 .下面加以介绍 .1　叠加法 (又叫迭加法 ,累加法 ,逐加法 )当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差数列或等比数列或某些特殊数列时 ,就可用叠加法解决有关问题 .常结合以下恒等式进行变换 :an=a1+ (a2 -a1) + (a3 -a2 ) +… + (an-an -1) .例 1　 ( 2 0 0 4年全国高考卷一试题 )已知数…     

高观点试题与研究性学习--浅析2003年北京卷数学科高考试题

所谓“高观点试题”,就是具有高等数学知识背景的试题 .主要表现为 :或以新符号 ,新概念出现或以高等数学的概念、定理作为依托 .新符号如 aij( i,j∈ N) (见北京卷 2 0 0 3年第 1 0题 )、∑、 等 ;新概念如函数的凹凸性、一致连续等 (见北京卷 2 0 0 2年第 1 2题、2 0 0 3年第 2 0题 ) .近年来“高观点”试题在高考试题中占有一定的比例 ,且有逐渐增大的趋势 .这是因为 :一方面 ,高考改革坚持“三个有助于”:有助于高校选拔人才、有助于中学实施素质教育、有助于扩大高校办学自主权 .高考要为高校选拔出具有学习潜能的新生 ,就要在高考试…     

高三年级自测题

一、选择题1.设少一4，3乃一12，3一36，那么数列a，b，。(). (A)是等差数列但不是等比数列(I3)是等比数列但不是等差数列(C)既是等差数列也是等比数列(D)既不是等差数列也不是等比数列2.如果数列{a，}满足a，，aZ一al，a3一a:，…，a，一a，一:，…是首项为1公比为2的等比数列     

抽象函数的求解

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式 ,只给出一些特殊条件 (如函数的定义域、经过的特殊点、递推式、部分图象特征等 )的函数 .它是高中数学函数部分的难点 ,也是高中与大学函数部分的一个衔接点 .热点分析以往抽象函数作为选择题或填空题偶尔出现在高考试题中 ,但从 2 0 0 1年起 ,解答题中也出现了抽象函数题 .如 :2 0 0 1年全国卷的 (10 ) ,(2 2 )题 ,2 0 0 2年北京卷文·理 (11) ,(12 ) ,(2 2 )题 ,2 0 0 3年上海卷的 (2 2 )题都是抽象函数 ;分值都在 2 0分左右 ,约占总分的 13% .这类试题主要涉及函数的概念、性质 (单调性、周期性、…     

一道高考题的解法赏析及其应用

1解法赏析2008年高考江苏卷的19题的第(2)小题是:求证:对于一个给定的正整数n(n≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列b_1,b_2,…,b_n,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列。     

探究一道高考数列题

2012年高考新课标全国卷理科16题是一道数列题,题目如下:数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项的和为__.本题设计新颖别致,题意简洁明了,目标明确,立意深刻.本题跳出近年来高考数列小题以等差数列、等比数列或简单递推数列为载体的固有命题模式,在题干中嵌入(-1)n这一结构,使得递推式独具特色,增加了思维难度,充分体现了"多     

2003年全国高考数学试题另解摘编（待续）

20 0 3年高考试题中 ,考生普遍反映计算量偏大 .考生由于客观题占用时间太长 ,导致后面的题做不完 .其实灵活应用多种解法 (如估算、图解法、排除法、特例处理等 )来处理客观题是完全可以避免这种情形的发生的 .以下是从来稿中撷取的关于客观题的非常规的解法 .理科 ( 1 )题　已知x∈ (- π2 ,0 ) ,cosx =45 ,则tan2x = (　　 )(A) 72 4 .　 (B) - 72 4 .　 (C) 2 47.　 (D) - 2 47.另解 1(估算 )　∵x∈ (- π2 ,0 ) ,cosx =45 ∈(22 ,32 ) ,∴ - π4 相似文献   

转变观念拓广思路证题

证明与自然数有关的等式或不等式 ,一般用数学归纳法 ,但用此法证有时会碰壁或运算繁杂或效果欠佳 .若转变观念 ,跳出定势思维的束缚 ,采取求异思维 (即发散思维 ) ,积极探索别的证题途径 ,往往会得到新颖、简捷的证明 .1　构造数列例 1　求证 1· 2 · 3 2 · 3·4 … ｎ(ｎ 1 ) (ｎ 2 ) =14ｎ(ｎ 1 ) (ｎ 2 ) (ｎ 3) (高中代数课本下册Ｐ1 32 ) .分析　课本上用数学归纳法证 .是否有其它证法呢 ?观察此数列有 3个特点 :(1 )共有ｎ项 ,各项的因数个数相同 ;(2 )各项的第一、第二、第三个因数分别组成公差相同的等差数列 ;(3)从第 2项起 …     

一道调考题的解法及推广

湖北省八市2007年高三三月调考数学试卷(理科)第10题:已知数列{an}为等差数列,从集合A={a1,a2,…,a20}中取出3个不同的数,使这3个数成等差数列,则不同的等差数列共有()(A)90个.(B)120个.(C)180个.(D)200个.[解法1]分类讨论设数列{an}的公差为d,由集合中元素的互异性知d≠0,所取出的公差为d的等差数列是由a1,a2,a3的各项分别加上0,d,2d,…,17d构成的,共有18个,同样可知公差为2d,3d,…,9d的等差数列分别有16,14,…,2个,又每个公差为kd(1≤k≤9,k∈N*)的等差数列都对应一个公差为-kd的等差数列,故不同的等差数列共有2(2 4 … 18)=180个.选(C…     

新教材中一道数列题的错解诊断

20 0 0年人教版《全日制普通高级中学教科书(实验修订本·必修 )数学第一册 (上 )》第 133页§ 3.5练习第 4题如下 :已知数列 {ａｎ}是等比数列 ,Ｓｎ 是其前ｎ项的和 ,求证 :Ｓ7,Ｓ14 -Ｓ7,Ｓ2 1-Ｓ14 成等比数列 .设ｋ∈Ｎ ,Ｓｋ,Ｓ2ｋ-Ｓｋ,Ｓ3ｋ-Ｓ2ｋ成等比数列吗 ?与教材配套的《教师教学用书》第 87— 88页对此题给出如下参考解答 :由Ｓ7=ａ1(1- ｑ7)1- ｑ ,Ｓ14 =ａ1(1- ｑ14 )1- ｑ ,Ｓ2 1=ａ1(1- ｑ2 1)1- ｑ ,可得Ｓ7(Ｓ2 1-Ｓ14 ) =(Ｓ14 -Ｓ7) 2 ;此结论也可如下证明Ｓ14 -Ｓ7=(ａ1 ａ2 … ａ14 ) - (ａ1 ａ2 … ａ7) =ａ8 …     

一道课本习题的推广

人民教育出版社《数学》(必修)第一册(上)第129页习题3．5第7题．已知数列{a_n}是等比数列,S_n是其前n项和,a_1,a_7,a_4成等差数列,求2S_3,S_6,S_(12)-S_6成等比数列．笔者通过探究,得到如下推广结论推广1已知数列{a_n}成等比数列,S_n是其前     

2001年普通高等学校招生全国统一考试 (津晋赣)数学(理工农医类)试题及参考解答

一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1)函数 y =3sin(x2 π3)的周期、振幅依次是(　　 ) .(A) 4π、3　 (B) 4π、 - 3　 (C)π、3　 (D)π、 - 3(2 )若 Sn 是数列 { an}的前 n项和 ,且 Sn =n2 ,则{ an}是 (　　 ) .(A)等比数列 ,但不是等差数列(B)等差数列 ,但不是等比数列(C)等差数列 ,而且也是等比数列(D)既非等比数列又非等差数列(3)过点 A(1,- 1)、B(- 1,1)且圆心在直线 x y - 2 =0上的圆的方程是 (　　 ) .(A) (x - 3) 2 (y 1) 2 =4(B) (x 3) 2…