用万能公式解三角方程注意失根

先看丫例:解方程主鲜:‘“盯产1。解法一(不用万能公式)解得一2.犷.,丫,一月峙·9 In万‘CO公义 、。二‘二‘哈抽势,:11(x一 兀x一万二Zk;+牛或x- q=2论二十全 4(无〔Z)军一4x二Zk刀十2左:+刃(k任z)。 原方程+万;kCZ) 解法二 必InJ的解集为笼川x二2左汀+三2或x二2k二(用万能公式)一c。。:二:中,二t,得二」(=)艺乙,一〔i一z之)二1+‘:尸一时专二乡l二k汀+“”‘g石:」·从而“〔z)“,二2“”+签“〔z,J兀一月峪孔2 原方程的解集为行!:二2标十粤介“。Z} 到底哪禾.解法正确?可将x=2标十二(无〔z)代入原方程去检验,知其为原方程的恨。说…     

利用复数的除法证明不等式

25一2 妻 设。、b、c、‘都是实数,则 a+b‘ac+b‘.be一ad, 一丫-一石号-一犷气一~万了呀~一,~下一石,否 C十心忿C一十已.C一十『’(·+专)’十(,+合)’这是大家熟知的复数的除法运算.用它来处理一些不等式的证明,不仅简单明快,而且给人享受数学的奇异之美. 例1如果a,b为实数,那么aZ+b,)2a6(当且仅当a二b时取“=”号). 证①当a二b二O时,命题为真. ②当a,b中至少有一个不为零时 构造复数a+b‘与b+a‘(a,b任无) 由(a+b‘)/(b七a‘)=(ab+ba)/(a,+b.)+(bZ一aZ)‘/(a,+bZ)(:,少eR)构造复,(·十约十(;十分与1·、‘, 谧(·+专)+(;+韵‘ 1十落(…     

有关角的象限的(一元)选择题

备选答案:(A)第一象限.(C)第二象限.(B)第一乙象艰.(D)第四象形.3一5 一一a富着5 in一粤一;·”“夕“的“边左( 2 ‘}·而J:砂:’).若复数:=(了百+‘)“(coso十15‘no)右复的讨应点在第四象限,则角0)i‘石一的限象是设复数z满记条件代<。,·g:<琴,丁理艾数 任‘一少,在交平面仁的付对仁续毛位于‘附上斯本栏答案:D .C .A .C .A .A .B .A有关角的象限的(一元)选择题@李尧亮$江苏江阴一中~~     

整数+整数=分数

如+钵、如+会。。。).故所求函数的单调递增区间为砚斌[粤,+要,粤,+要〕(k任:) 0 00‘题目求函数,=石蔽万面的单调递增区间.解法一,.’函数,=s加z的单调递增区间为 这里,解法一、解法二的结论应是一致的,故应存在整数毛1、几:.使得[2‘一号,2‘+晋〕sIn(一3二))0·(‘任z),在,=石石万二.面中,须一争,,一晋一普k,x十号由此我们可得出一个荒谬的结论:,,十h一令·怪,l组|日口。.一.’.由2“、一3:簇2‘十号(k。z)得一普,一会、:、一号‘,“任‘,故函数,=石蔽不不了的单调递增区间为附:本期“一盛而解”栏答案:〔一粤*一粤,粤,〕(*ez). d灯J 1.…     

|A+B|~(1/n)≥|A|~(1/n)+|B|~(1/n)的一个加强

-j协 ,llweJ 路 1.引言文「1〕证明了命题:设A,B是。阶正定矩阵,则}勿‘一卜“!,一〔·+”’ 1 11!A+B!“)}A}”+IBI”(1)等号成立当且仅当A=无B(lc>0). 其后,吴忠民[2]、吴爱军[劫又分别给出了(约的两种不同的证法.本文则将建立一个比(1)更强的正定矩阵不等式.全文约定A>O表示矩阵A正定,I,=只·I(又>0)为数量矩阵;如不特别说明,本文中的矩阵均指n阶实矩阵. 定理设滩>0,刀>0,,A}>J几;{,,BJ>11目,则一挤(加一扩(IA+Bl一,z。+z。.)篇等号成立当且仅当几‘/a=拼‘/b.(公一=1,2,,二,忍). 证明:令‘=兀兄:一‘,少二且。,一””· ‘=1…     

共轭复数性质的应用

两边取共扼复数,得:兰_里一牙一Zu艺封(2)(1)+(2)得:二(l 之 1于二 Z=Z+2 复数z=a+bl’(a,b‘R)和它的共扼复数牙=a一bi,具有下面的性质: 1在复平面中表示z和万的两点关于实轴对称. 22+f二Za为实数; 3:·:一!:}’一lzl’; 4若z二元则2 eR;反之,亦然; 5复数的和、差、积、商的共轨复数,等于共扼复数的和、差、积、商. 解题中充分利用这些性质,不仅迅速简捷,而且巧妙新颖. :’X=2.牙二(一)一(2)得二(工- Zl:1’里)+2=8.2夕 份(z一习+4u :.夕=可:一习十2扩=一琶 例4.设p笋。,实系数方程:’+Zp二十q=o有两个虚数根:,和:2·若以:,和:2为直径…     

关于二次方程的实根问题

题目若口,刀是二次方程 ,.岑2一尹左主+k+6=o的两个实数根,试求(a一l)“十(月一!)2的最小位。 错解一山韦达定理可得a+刀J一,刀二k+6(。二z),十<刀一I),二。“+刀“一2。一2刀件:二(a+刀)“一:(。‘尸)一:a刀+2二‘左乞一6k一10 3、。=4L闷一一f)‘一 峙芋》一留(。一1),+(夕一,),的最小值为一华. , 错处钮)么》o 错因答案一琴是错的的,闪为(。一,),、、,:- 仔解法中只考虑了韦达定理,忽略了几认方程有实根的条件,即灸程的系数多欲人的取值范围要受根的判别式全》。介愁阳制.改错①②③先得条件组a+刀=2左a·刀,k+6211 \(一二·“)2升4(左…     

复数(选择题五道)

1.设:一a(l+落),其。>1.令。;一:+三,,‘~:·三,则有 (A),),(B)二>。 (C),(、(D),<: 2.0〔(O,的,则复数1一coso+妞n0的辐角主值是(A)晋+号(c)誓+号(B)晋一号(”,誓一号3.复数:一。os晋+“in晋经·次乘方后得三=cOS万一双n号,则·的最小正整数值为(A)13(B)7(C)5(D)24.复数:满足关系式:十卜!~2十卜则名为 3LA少一下~十名 任3丁一‘(B(D(C) 3一万一‘3一石一十忿〕 5.正三角形月脚中,顶点B和c分另」对应复数一2i和2,且三角形的中心在原点,则顶点月对应的复数为 (A)一2十2‘(B)2一2茜 (C)l一‘(D)一l+i附:本期“望”与“答”二次曲线 …     

一道习题的联想与再推广

〔原命题〕已知。·b·c=l,且。b+。+1共。,则: a .be几-下一.一犷一丁十不一甲了一下二十一一:一一~甲~了=口O十口十1 OC+O十1 CO十C十1 这是一道有关初中数学竞赛资料中常有的一题,它的证明技巧胜很强.学)91年1期《一道习题的推广及应用》一文,把该题推广为如下命题: (.)浙江《中学教研》(数[推广I]若Ilx,一,,且f(k)二x*:*·,…x·x:xZ一x卜:+‘*x。·,…x·‘,xZ”’‘,一,+“’劣杯‘·‘+二‘+1(j(k)笋0)则:艺漏一,拓二l-L推广11」若兀,,=A护0,_且f(l)二x,xZ…二。一,+x lx2…z,一:+一+二,:2+,.+l,f〔k)=二.公.,,…之,劣:才:…x,…     

2003年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题及参考答案

一、填空题(本大题满分48分)1.已知函数,(z)一、/,了+1,则,一z(3)=●__-____●—‘-‘●-。一。 2.直线y=1与直线y=~/3 z+3的夹角为_________——●。。一● 3.已知点P(tga.cosa)在第三象限,则角口的终边在第——象限. 4.直线Y=z一1被抛物线Y。=4x截得线段的中点坐标是——. 5.已知集合A={zj IzI≤2,z∈R},B={zlz≥a),且A∈B.则实数n的取值范围是——. 6.已知z为复数,则z十三>2的一个充要条件是z满足——. 7.若过两点A(一1.O)、B(0,2)的直线f与圆(z一1)。+(y一口)。一1相切,则a:——. 8.不等式(1g20)。。“>l (z∈(0,Ⅱ))的解为......…     

第十二章 复数

吞1友数的概念与表示形式 一、选择惬 1.下列关系式在复数范围内恒成立的是() (^)}:}.二护(B)卜}): (C)卜!》}刻(D)云)卜} 2.下列命题正确的是() (人)实数集与复数集的交集是空集 (B)映射了:,‘(。任R)是实数集R到纯虚数集上的一一映射 (C)若::、勺是一对共扼虚数,则片、那(。任N)仍为一对共扼虚数 (D)一个负数的,次方根(。=Zk 1、k任N)不一定是负数 ,.右图中对应于点尸的复数是:,则复数一专所对应的点是() (A)万(B)N (C)P(D)口协。.。~一擎.e~ 石aroin(eosa),则复数:=.e一自in(一。)的辐角主值是() (A)一a(B)口(C)一8(D)2, 0 二、…     

一道代数题的多种解法与推广

有这样一道常见的代数题砚目.二y’之‘一。:一万 (3)t盆一(a一:)t+z“一az若实数羌’、’满足等式{x+y+之~a,夕2+少,+之名山(z)(s)知二、y是方程o22其中a>“·求证·。《二(争,。‘,蜡‘。‘:、粤。· 本文先从几个不同的方面给出它的五种证法,后再将它推广到一般情形. 证法一(判别式法)然+誓一。的两根.因X、,为实数, ·“△一(口一,,一‘(之“一+誓)》。由此得“啼‘争·同理可证。命蜡“,““夕、号口·(以下各证法中均省略这句话, 证法二,(解析几何法) (1),(2)的几何意义是直线二十y=a一z与圆.由已知得·{x十y=a一二. 尹么‘“十y“一…     

一道复数轨迹题的解法种种

雀尺一O两点对应的复数分别为乙,2z:+3一4l’若尸点阅才对,2的圆上移动,求。点的轨迹. 娜一:设2::+3一4‘=二+y‘,则2::二(二一s)十(y十幻宕 2.!z:l,=(x一s)全+(少+4).而!z:1=2 .?.(x一3)盔+(z+4):=16 故O点的轨迹是(3,一4)为圆心,4为半径的圆. 梦利用复数模的意义,代换求解. 娜二;设2二:十3一4‘二二十y红z:。。十bl’ 、则多。十Zbi+3一4了二x+yi,由复数相等的充要条件落一二禅忱父芍今{絮抓卜nJ 工J任﹃工︸心‘J.一勺‘X︷y一{吞 平方后,相加得(x+3),+(夕+4)2二:4“ 注利用复数的代数形式,转化为x:.夕的参数方程,消参后即得. 解三:设…     

π是无理数的一个证明

为了证明二是无理数,先介绍两个预备知识. 预备知识一设了。(“)=x.(1一x)’/nl(易知当。<二<1时,有。<了。(“)Zn时,f(‘)(o)=o,并且............……f二’“)(o)=(2。)(2。一z)…(n+z)C:。. 这里右边的数都是整数.因此对于所有…     

复数方程变形也应注意同解性

压区性是复平面上的一点,对应复数z;,z是模为l的任意复数,求Zw=z+21所表示的轨迹. 解答这道题,常有下面两种方法: 解法一:由2切=21+2得Zw一z二z;,方程两边取模得}w一粤}二 ‘l生Ll,21 故所求轨迹是复数音对应的点为圆心(定长)为半径的圆(族).解法二:由Zw=z+z;得Zw一z,=z方程两边取模得lw一令!一}白故}w一今}一告所以,所求轨迹是以今所对应的复平面上点(定点)为圆心,以士为半径的圆. 这两种解题方法相同,所求轨迹亦都是圆,但结果不一‘致,是什么原因造成的呢? 解法一由Zw=之+zl,得Zw一z=21,这是等价的,方程两边取模,显然,Zw一z与z的模是…     

复数问题错解分类辨析

复数是高中代数的重要内容之一 ,并且地位特殊 .它相对独立于其它内容 ,以至于概念多 ,运算繁 ,容易和实数的性质、运算混淆 ,造成解题中的失误 ,下面就学生在解题过程中出现的错误进行分类辨析 ,供大家参考 .一、未掌握复数的特性例 1　下列两命题 :(1 )设x,y ,z,都是复数 ,若x2 +y2 >z2 ,则x2 +y2 -z2 >0 ;(2 )设x、y ,z,都是复数 ,若x2 +y2 -z2 >0 ,则x2 +y2 >z2 .那么下列说法正确的是 (　　 )A .命题 (1 )正解 ,命题 (2 )也正确B .命题 (1 )正确 ,命题 (2 )错误C .命题 (1 )错误 ,命题(2 )也错误D .命题 (1 )错误 ,命题 (2 )正确错解…     

可用圆的图形求解的选择题

1.如果实数二,纷满足等式(二一2)2+尹~3·那么令的最大值是(,·,、l(A)二二 Z(B)卒(e)卒(n)汀 O‘ 2.若实数:,梦满足方程护+犷一2,则:+,的最小值是(). (^)丫万(B)一了万~(e)2(D)一2 3.若实数:,夕满足方程:2+梦,一4x+6犷+12一O,则护十犷十2二+2梦+2的取值范围是(). (^)〔丫I厄一1,喇气厄+1] (B)〔了I万一2,了丽+2] (c)[14一2了丽,1‘+2石厄] (D)〔12,14〕 J.方程k(:一2)十1一7万二丁有不同二实根,则实数k的取值范围是()1一41一4 83一4 一一 ‘、.J夕夕、.产(B·(D(A)(一导,+co)(e)(一寻,专,5.不等式丫了二乎):+t的解集为必,实数t的取…     

由“特殊”到“一般”解题例偶

特例即间题的特殊情形,由演绎法易匆,若‘个(全粉)命题真,则其特例亦真:若其特例不真,则其(全称)命题亦不真.以此为依据,可角来解某些问题.用于求待定东教倪己知(二一寸浓写‘3)-,B,C的值.通十男一l Bx一卫 C条i’户二刘限J,男一.盆 一去分母得·“+‘:‘.才(x一,)(x一’)+任(一’+C(二一)(x;二). 取,=,,得才一吝:二·:得B一3, ,-.’卜“-一2’--一’‘一‘一号·饨·)(二一s)万.令得二、用于求硒教位俐.对一切卖数二,夕,都有l(,y).l(,)l(夕)且l(0)价O,求j(1.8.). 解取少确,得l(o)一f(x)·f(o).又八。)呐o,故有f(幻一l,从而得八1“仑)一…     

一道容易解错的题

题:求k值,使方程九二,一(九+1)‘+2”o有实根,且二根的绝对值均小于1. 以下两种解法都有不易觉察的错误: 解一:设所给方程之二根为,:、‘2,依题意有:‘(寿+‘)‘一sk》0,且k‘“曾{l“,}<‘’学火}劣:}0. .’.(为+l)“一4几0,.’.吞<一l一了2或为>一l+了百.(A). 又…     

上期课外练习解答

高一年级夕一Zeos了一3sin了一瓜(一雀5 in二+ \丫IJ一甲不了sin(二+创,丁云cos了其中,an。一号·当:最大时,5 in‘二十,,一‘,二+,一借…t·nZ一(晋一。)一。一普·2.’:j(川~tanx中,x铸k二+要(k ez), 乙 且f(一川-一j(劝. tano=tan(2+3一5), tanZ十tan3+tan(一5)=tanZ·tan3·tan(一5), tans=tanZ+tan3+tanZ·tan3·tans.3.奇函数f(劝,二任(一二,0)U(0,+二). 又f(x)在(o,+二)上为减函数, f(x)在(一oo,0)上为减函数. f(3)一O二f(一3)-一f(3)一0. f(川<。的解集为{川一33}. N={m】f[g(夕)〕3}.…