Non-Newtonian viscosity of concentrated polymer solutions

Summary The results of investigations of Newtonian and Non-Newtonian viscosity of solutions of various polymers in wide range of concentrations, temperatures, molecular weight of polymers in different solvents are presented here.These results show that the nature of solvent has a much greater effect on the viscosity of polar polymer solutions with very strong specific interaction than on the viscosity of non-polar polymer solutions.The nature of solvent affects not only the absolute value of viscosity, which as a rule, in the whole range of investigated shear stress is greater in poor solvent solutions than in good ones, but also determines the type of the flow curves.Solutions of flexible polymer (polyisobutylene) are characterized by complete flow curves regardless of the solvent nature. Solutions of rigid-chain polymer (acetyl-cellulose) are characterized by complete flow curves, both in good and in poor solvents. For the polystyrene solutions in good solvents incomplete flow curves and in poor solvents complete flow curves are observed.All these observations show that the anomaly of viscosity of polymer solutions is caused by two processes which occur simultaneously: the process of desintegration of structures and the process of orientation of chains and elements of the desintegrated structures.The structures presented in the solution dissociate under heat motion and activation heat and its changes with temperature and shear stress reflect very well the changes in the structure of solutions.The nature of solvent influences the value of critical molecular weight which in the case of good solvent is greater than in a poor one.

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Zusammenfassung Es werden die Untersuchungsergebnisse der Newtonschen und Nicht-Newtonschen Viskosität von konzentrierten Polymerlösungen in verschiedenen Lösungsmitteln innerhalb eines weiten Bereichs von Konzentration, Temperatur und Molekulargewicht der Polymeren mitgeteilt. Diese Resultate zeigen, daß die Art des Lösungsmittels einen wesentlich größeren Einfluß auf die Viskosität polarer Polymerlösungen mit starker spezifischer Wechselwirkung hat als auf die Viskosität nichtpolarer Polymerlösungen.Die Natur des Lösungsmittels beeinflußt nicht nur den Absolutwert der Viskosität, der üblicherweise im gesamten untersuchten Schubspannungsgebiet für schlechte Lösungsmittel größer ist als für gute, sondern auch den Fließkurvenverlauf. Unabhängig vom Lösungsmittel sind Lösungen von Polymeren mit flexiblen Ketten (Polyisobutylen) durch unvollständige Fließkurven gekennzeichnet. Die Lösungen von Polymeren mit steifen Ketten (Acetylcellulose) sind durch geschlossene Fließkurven sowohl in schlechten als auch in guten Lösungsmitteln charakterisiert. Die Polystyrollösungen ergeben bei guten Lösungsmitteln offene und bei schlechten Lösungsmitteln geschlossene Fließkurven.Diese Ergebnisse zeigen, daß die Viskositätsanomalie von Polymerlösungen von zwei gleichzeitig auftretenden Prozessen abhängig ist; dem Prozeß des Strukturzerfalls und dem Prozeß der Orientierung von Ketten und Elementen der zerfallenen Strukturen. Die in der Lösung existierenden Strukturen zerfallen durch die Wärmebewegung. Die Aktivierungswärme und ihre Änderungen in Abhängigkeit von Temperatur und Schubspannung geben die Strukturänderung der Lösungen sehr gut wieder. Die Art des Lösungsmittels beeinflußt die Größe des kritischen Molekulargewichts, das bei guten Lösungsmitteln größer ist als bei schlechten.

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Paper presented at the Conference on Advances in Rheology, Glasgow, September 16–18, 1969.     

Ähnliche Grenzschichtlösungen zweiter Ordnung für Strömungs- und Temperaturgrenzschichten an longitudinal gekrümmten Wänden mit Grenzschichtbeeinflussung

Zusammenfassung Für die inkompressible, stationäre Strömungs- und Temperaturgrenzschicht an longitudinal gekrümmten Wänden mit Grenzschichtbeeinflussung werden unter Berücksichtigung der Glieder zweiter Ordnung, d. h. mit Berücksichtigung der Verdrängung und des metrischen Krümmungseinflusses ähnliche Lösungen angegeben. Die Lösungen erstrecken sich auf Wände, deren Krümmungk proportional zu einer Potenz der Bogenlängex ist. In dieser Familie von Wandkurven sind die Staupunktströmung an einem Zylinder und die Strömungen an Keilen mit gekrümmten Keilflanken eingeschlossen. Dabei ist der Öffnungswinkel des Keils mit dem Krümmungsverlauf der Keilflanken verknüpft.

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Similarity solutions are given for incompressible, steady hydrodynamic and thermal boundary layers on longitudinally curved walls with boundary layer interference considering second order terms i. e. allowing for displacement and metric curvature influence. The solution apply to walls with curvaturek proportional to a power of the arc lengthx. Involved in this family of wall-curves is the stagnation point flow on a cylinder and the flow along wedges with curved walls. Here, the angle of the wedge is connected to the curvature of the wedge-walls.

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Mit Unterstützung der Aerospace Research Laboratories durch das U. S. Air Force European Office of Aerospace Research.     

Beitrag zur Ermittlung der hydrodynamischen Dämpfungs- und Federeigenschaften von Gleitlagern

Zusammenfassung Die vorliegende Theorie ermöglicht die rechnerische Ermittlung der hydrodynamischen Dämpfungs- und Federeigenschaften von Gleitlagern. Die Ergebnisse dieser Theorie sind in den Abb. 8 und 10 bis 13 dimensionslos dargestellt. Diese Diagramme ermöglichen die numerische Bestimmung des Schwingungsverhaltens von rotierenden Wellen unter Berücksichtigung der Gleitlagereigenschaften, die besonders im Hinblick auf die Laufstabilität von wesentlicher Bedeutung sind. Auch die kritischen Drehzahlen und das Verhalten der Wellen in der Umgebung einer solchen Drehzahl erfahren durch die Gleitlagereigenschaften eine nennenswerte Beeinflussung. So zeigte z. B. die für einen Turbinengeneratorläufer durchgeführte Schwingungsrechnung neben der zu erwartenden Herabsetzung und Aufspaltung der Wellenkritischen eine beträchtliche Dämpfungswirkung der Gleitlager, welche die Amplitude der zirkular-polarisierten Schwingung in der ersten kritischen Drehzahl auf das etwa sechsfache der Läufer-Exzentrizität beschränkte.     

Most important features of pre-stationary deformation regimes and stress relaxation of polymers in the viscous state

Summary In the prestationary deformation regime relaxation times decrease both before and after passage through the ultimate shear strength, i. e., independent of whether the stresses at which relaxation began were growing or decreasing.The relaxation properties of the system change the most intensively before the ultimate shear strength is passed. This occurs at the deformation where the viscosity and the elastic modulus reach their maximum values.The viscosity grows during relaxation. Increasing the temperature intensifies recovery of the broken down structure. Retarded recovery of the strength properties of the polymer correlate with retardation of reestablishment of the initial structure, characterized by attainment of the initial Newtonian viscosity and retardation of high-elastic recovery.By resolving deformations into their reversible and irreversible components it was found possible to estimate the amount of work done in destroying the initial structure network of the polymer when passing from a state of rest to steady flow. The work of structure breakdown increases markedly with increasing shear rate, and its rise is related linearly to development of the viscosity anomaly.

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Zusammenfassung In dem vorstationären Deformationsgebiet fallen die Relaxationszeiten sowohl vor als auch nach dem Durchwandern der Grenzschubspannung ab, d. h. sie sind unabhängig davon, ob die Spannungen, bei denen die Relaxation begann, sich vergrößerten oder abnahmen.Die Relaxationseigenschaften des Systems ändern sich am stärksten, bevor die Grenzschubspannung durchwandert wird. Dieser Zustand tritt bei der Deformation auf, bei welcher die Viskosität und der Elastizitätsmodul ihre Maximalwerte erreichen. Die Viskosität wächst während der Relaxation an. Ein Ansteigen der Temperatur verstärkt die Erholung der zerstörten Struktur. Die verzögerte Erholung der Pestigkeitseigenschaften des Polymeren ist korreliert mit der Verzögerung der Wiederherstellung der Ausgangsstruktur, die charakterisiert ist durch das Erreichen der ursprünglichen newtonschen Viskosität und der Verzögerung der elastischen Erholung.Durch die Zerlegung der Deformationen in ihre reversiblen und irreversiblen Anteile war es möglich, den Arbeitsanteil zur Zerstörung des ursprünglichen Struktur-Netzwerkes des Polymeren beim Übergang vom Ruhezustand zum stationären Fließen abzuschätzen. Die Arbeit zum Strukturzusammenbruch steigt mit wachsender Schergeschwindigkeit an, und der Anstieg ist linear mit der Ausbildung der Viskositätsanomalie verbunden.

     

Inhomogeneous inverse problem in finite elasticity

For a class of materials for which the principal strain directions always coincide with the principal stress directions one can determine the stress field in an inhomogeneously deformed body from given boundary conditions and a known strain field without knowing the constitutive equations. Each point of the inhomogeneously deformed body contains information such as that derived from an individual homogeneous identification test. The practically important two-dimensional case leads to a problem of solving a linear hyperbolic system where two differential equations describe the principal stress components. The problem can be reduced to that of integration along characteristics.Under a certain globality condition the existence, uniqueness, and correctness of the solution are guaranteed in the whole test piece. It is shown that the globality condition is closely related to whether or not the test piece is isotropic and elastic. The influence of experimental error on the correctness of problem formulation is discussed.

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Abstrakte Für die Klasse der Materialen, für welche die Grundspannungsrichtungen und die Grundverformungsrichtungen gleich sind, kann man das Spannungsfeld in einem inhomogen deformierten Körper für gegebene Randbedingungen und einem bekannten Verformungsfeld ohne Kenntnis der detailierten Form der Dehnungs-Spannungsgleichung bestimmen. Jeder Punkt des inhomogen deformierten Körpers liefert dieselbe Information wie ein individueller homogener Test. Der praktisch wichtige zweidimensionale Fall führt zu einem Problem der Lösung eines linear hyperbolischen Systems von zwei Differentialgleichungen für die Grundspannungskomponenten. Das Problem kann auf die Integration entlang der Charakteristik des Systems reduziert werden.Unter einer Bedingung der Globalität das die Existent, Eindeutigkeit und Richtigkeit der Lösung in der ganzen Testprobe gewährleistet sind. Es wird gezeigt, dass diese Globalitätsbedingung damit zusammenhängt eng, ob die Testprobe isotrop und elastisch ist. Der Einfluss der experimentellen Fehler auf die Richtigkeit der Formulation des Problems wird auch analysiert.

     

On scale-dependent effect in laminar flow of dilute polymer solution in tubes

Summary Presented are the results obtained in experiments on viscous flow of dilute aqueous solutions of polyethylene oxide in tubes of inner diameter ranging from 0.2 to 8.0 mm. Ostwald viscometers, horizontal capillary viscometers, and two special viscometric setups were used in the measurements. Results have shown that the solution viscosity varies with the changing tube diameter. This effect is not associated with the shear rate dependence or degradation. Laser Doppler anemometers were used to measure the velocity of polymer solutions in thin capillaries. No deviation from the Poiseuille profile was observed. Thus, it is not possible to explain the reduction of viscosity in thin capillaries by means of wall effect. Relationship between scale-dependent effect of viscosity and existence of large macromolecular aggregates is proposed. Anomalies of viscosity are responsible for the ambiguity in the intrinsic viscosity. Intrinsic viscosity, in particular, may be determined by means of the maximum or minimum viscosity. Difference between the maximum and minimum intrinsic viscosities changes with the molecular weight of dissolved polymer. Such differences were not noticed for low-molecular polymers.

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Zusammenfassung Es werden die Ergebnisse von Strömungsuntersuchungen an verdünnten wäßrigen Lösungen von Polyäthylenoxid in Rohren mit Durchmessern zwischen 0,2 und 8 mm vorgestellt. Dafür werden Ostwald-Viskosimeter, Horizontal-Kapillar-Viskosimeter und zwei Spezial-Viskosimeter verwendet. Die Ergebnisse zeigen, daß die Lösungsviskosität sich mit dem Rohrdurchmesser ändert. Dieser Effekt hat nichts mit Schergeschwindigkeitsabhängigkeit oder Degradation zu tun. Mit Hilfe eines Laser-Doppler-Anemometers wird das Geschwindigkeitsprofil von Polymerlösungen in dünnen Kapillaren gemessen. Dabei werden keine Abweichungen vom Poiseuille-Profil beobachtet. Infolgedessen läßt sich die Reduktion der Viskosität in dünnen Kapillaren nicht als Wandeffekt deuten. Als Ursache für die Durchmesserabhängigkeit wird die Bildung großer makromolekularer Aggregate zur Diskussion gestellt. Derartige Viskositätsanomalien sind für Unsicherheiten bei der Bestimmung des Staudinger-Index verantwortlich. Dieser kann sowohl mit dem Minimal- als auch dem Maximalwert der Viskosität gebildet werden. Die Differenz zwischen beiden Werten ist vom Molgewicht des gelösten Polymers abhängig. Bei Polymeren mit niedrigem Molgewicht werden solche Differenzen nicht beobachtet.

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With 6 figures and 1 table     

Charakterisierung makromolekularer Substanzen mit Hilfe der Strömungsdoppelbrechung

Zusammenfassung Die Theorie der Strömungsdoppelbrechung von Lösungen und Schmelzen makromolekularer Substanzen wird einer Betrachtung unterzogen. Hierbei wird der Zusammenhang mit den elasto-viskosen Eigenschaften unterstrichen. Die Natur des sogenannten spannungsoptischen Koeffizienten wird untersucht. Seine physikalische Bedeutung wird auch für Systeme, die nur geringfügig verknäuelte Makromoleküle enthalten, erläutert. Hierfür wird die Persistenzstatistik zu Hilfe genommen.Für verdünnte Lösungen von genügend verknäuelten Makromolekülen (mit Gaußscher Endpunktsverteilung) wird die Möglichkeit einer in Bezug auf die Variablen: Temperatur, Viskosität des Lösungsmittels, Molekulargewicht und Konzentration invarianten Darstellung der Meßergebnisse demonstriert. Die störende Rolle einer eventuellen kinetischen Steifheit der Ketten wird erörtert.Als anschauliche Größe tritt die Knäuelaufweitung hervor, die als Folge des Strömungszustandes auftritt. Ihr Zusammenhang mit den Normalspannungen wird gezeigt. Der starke Einfluß des Unsymmetrie einer breiten Molekulargewichtsverteilung auf die scheinbare Knäuelaufweitung, wie sie an polydispersen Lösungen gefunden wird, führt zur Verwendung dieser Größe für Polydispersitätsuntersuchungen.Nebst Ergebnissen an Lösungen von Polystyrol und von Poly--Benzyl-L-Glutamat, wie sie aus der Literatur bekannt sind, werden eigene Ergebnisse an anionischen Polystyrolen und an Cellulose-Tricarbanilat zur Veranschaulichung herangezogen.

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Summary The theory of the flow birefringence as obtained in solutions and melts of polymeric substances, is considered. The relation between flow birefringence and elastico-viscous properties and, in particular, the nature of the stress-optical coefficient are discussed. In this connection, also systems containing only slightly coiled macromolecules are considered. For the purpose, use is made of the statistics of persistent chains.For dilute solutions of intensively coiled molecules (Gaussian molecules), the presentation of data in reduced form is demonstrated. The said reduction holds with respect to temperature, solvent viscosity, molecular weight and concentration. The disturbing role of the kinetic stiffness of the chains is discussed.Attention is paid to the coil expansion as an illustrative quantity. Its relation to the normal stresses is emphasized. The apparent coil expansion which is obtained with polydisperse systems, appears to be very sensitive to the skewness of broad molecular weight distributions. As a consequence, this quantity is very useful for polydispersity investigations.Besides literature data which were obtained on solutions of polystyrene and of poly--benzyl-L-glutamate, own results on anionic polystyrenes and on cellulose-tricarbanilate are used for illustration.

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Erweiterte Fassung eines Vortrages, der aus Anlaß der Arbeitstagung der Sektion Rheologie des Vereins Österreichischer Chemiker am 28. September 1965 in Graz gehalten wurde.     

Zur zyklischen elasto-plastischen Torsion des Kreiszylinders bei endlichen Verzerrungen

Übersicht Es werden die Grundgleichungen für die elasto-plastische Torsion kreiszylindrischer Körper bei endlichen Verzerrungen aufgestellt und für die zyklische Torsion eines Vollzylinders konstanter Länge näherungsweise gelöst. Für die Spannungsverteilung über den Querschnitt in Abhängigkeit von der Zyklenzahl werden geschlossene Formeln angegeben. Als Stoffgesetz für die plastischen Deformationen wird die Theorie des plastischen Potentials mit der Fließbedingung nach Huber-Mises-Hencky bei isotroper, linearer Werkstoffverfestigung zu Grunde gelegt. Bei der Berücksichtigung des elastischen Anteils der Deformationsgeschwindigkeiten ergibt sich ein Poynting-Effekt, der sich durch Druckspannungen in Achsrichtung äußert.

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Summary The basic equations for the elastic-plastic torsion of cylindrical bodies in the case of finite deformations are stated and are approximately solved for the cyclic torsion of a cylinder of constant length. Formulae are given for the stress distribution of the section depending on the number of cycles. Taking into account the elastic part of the rate of deformation a Poynting effect is obtained which causes axial pressure.

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Die vorliegende Arbeit entstand während eines Studienaufenthaltes des erstgenannten Verfassers am Institut für Mechanik der Ruhr-Universität Bochum. Herrn Professor Dr.-Ing. Th. Lehmann sowie dem Deutschen Akademischen Austauschdienst sei für die Ermöglichung dieses Aufenthaltes herzlich gedankt.     

Der Einfluß von Druck und Temperatur auf die effektive Viskosität in geschmierten kontra-formen Kontakten

Zusammenfassung Die Viskosität von flüssigen Schmierstoffen wird von verschiedenen Parametern, z. B. von der Temperatur, dem Schergefälle und dem herrschenden Druck, beeinflußt. Für die Anwendung der elastohydrodynamischen Schmierungstheorie auf hochbelastete Kontakte, etwa auf Zahnradgetriebe, kommt neben der Viskositäts-Temperaturabhängigkeit der Viskosität-Druckabhängigkeit des Schmierstoffes besondere Bedeutung zu.Derzeitige Möglichkeiten, das Viskositäts-Druckverhalten von flüssigen Schmierstoffen darzustellen und zu messen, wurden aufgezeigt. Insbesondere die Messung des Viskositäts-Druckverhaltens ist bei flüssigen Schmierstoffen nur begrenzt bis ca. 2000 bar möglich.Bei Untersuchungen eines elastohydrodynamischen Linienkontaktes wurden die Verläufe des Druckes, der Temperatur und der Schmierspalthöhe gemessen. Dabei zeigten sich deutliche Einflüsse des Viskositäts-Druckverhaltens auf die untersuchten Parameter. Sowohl das zweite Druckmaximum des Druckverlaufes als auch die Einschnürung im Verlauf der Schmierspalthöhe erwiesen sich als deutlich vom Viskositäts-Druckverhalten des eingesetzten Versuchsöles — bei gleicher Eintrittsviskosität — beeinflußt. Daraus ergibt sich die Möglichkeit, aus solchen Meßergebnissen eines elastohydrodynamischen Kontaktes eine Bestimmung des Viskositäts-Druckverhaltens bis hin zu praxisnahen Drücken vorzunehmen.

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Summary The viscosity of fluid lubricants is influenced by different parameters. For example, viscosity depends on temperature, shear rate and pressure. Applicating the elastohydrodynamic theory of lubrication to high loaded contacts as e.g. realized in gear drives the viscosity pressure dependency also has to be taken into account. Actual possibilities to describe and to measure the viscosity-pressure behaviour of fluid lubricants are offered. In particular, the viscosity-pressure behaviour can be measured up to about 2000 bar.Our investigations of an elastohydrodynamic contact in a two-disk-apparatus with pressure, temperature and gap measurements for several standard oils show new possibilities to estimate the viscosity-pressure behaviour of fluid lubricants.

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Mit 10 Abbildungen und 1 Tabelle     

Untersuchung rheologischer Vorgänge beim Erstarren von Gelatine

Zusammenfassung Es wird ein Verfahren beschrieben, mit welchem der zeitliche Verlauf der Viskosität und des Schubmoduls erstarrender Flüssigkeiten gleichzeitig bestimmt werden können, sowie die Methode zur Auswertung derartiger Messungen behandelt. Weiterhin werden der zeitliche Verlauf der Viskosität und des Schubmoduls der Gelatine Ra 4395 in Abhängigkeit von der Gelatine-Konzentration (6, 8 und 15%) und der Kühlwassertemperatur (10, 15 und 20 °C) in Diagrammen dargestellt. Dabei zeigt sich, daß die zeitliche Viskositätszunahme früher einsetzt und die Viskosität stärker ansteigt als die entsprechende Änderung des Schubmoduls.

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Summary By the method being described here, it is possible to determine and evaluate the progress of viscosity and shear-modulus of hardening gelatin within time. This progress is presented in some diagrams for various concentrations of gelatin and temperatures of the cooling-water. The measurements show that the viscosity increases earlier than the shear-modulus.

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Vorgetragen auf der Deutschen Rheologen-Tagung, Berlin 11.–13. Mai 1970.     

Nonsimilar incompressible laminar boundary-layer flows in micropolar fluids

Summary The solution of the steady laminar incompressible nonsimilar boundary-layer problem for micropolar fluids over two-dimensional and axisymmetric bodies has been presented. The partial differential equations governing the flow have been transformed into new co-ordinates having finite range. The resulting equations have been solved numerically using implicit finite-difference scheme. The computations have been carried out for a cylinder and a sphere. The results indicate that the separation in micropolar fluids occurs at earlier streamwise locations as compared to Newtonian fluids. The skin friction and velocity profiles depend on the shape of the body and are almost insensitive to microrotation or coupling parameter, provided the coupling parameter is small. On the other hand, the microrotation profiles and microrotation gradient depend on the microrotation parameter and they are insensitive to the coupling parameter.

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Zusammenfassung Es wird die Lösung des stationären Grenzschichtproblems inkompressibler mikropolarer Flüssigkeiten für den Fall der Nichtähnlichkeit bei zweidimensionalen und achsensymmetrischen Körpern vorgelegt. Die dem Problem zugrunde liegenden partiellen Differentialgleichungen werden durch Einführung neuer Koordinaten auf ein endliches Gebiet transformiert. Die so erhaltenen Gleichungen werden mit Hilfe eines impliziten Differenzenverfahrens numerisch gelöst. Die Rechnung wird für den Zylinder und die Kugel durchgeführt. Die Ergebnisse zeigen, daß die Grenzschichtablösung früher erfolgt als bei vergleichbaren newtonschen Flüssigkeiten. Wandreibung und Geschwindigkeitsprofile hängen von der Gestalt des Körpers ab und sind nahezu unempfindlich gegen Mikrorotation und Kopplungsparameter, vorausgesetzt, daß der letztere klein ist. Dagegen hängen das Profil und der Gradient der Mikrorotation vom Parameter der Mikrorotation ab und sind ebenfalls unempfindlich gegen die Kopplungsparameter.

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With 6 figures     

Rheologische Eigenschaften konzentrierter Polyisobutylenlösungen in Lösungsmitteln verschiedener thermodynamischer Güte

Zusammenfassung Die Konzentrationsabhängigkeit der viskoelastischen Eigenschaften von Polyisobutylenlösungen in Lösungsmitteln mit verschiedener thermodynamischer Güte wurde mit einem Weissenberg-Rheogoniometer untersucht. Es wurde festgestellt, daß die Spriggssche 4-Parameter-Theorie den Übergang von niedrigen zu hohen Schergeschwindigkeiten nicht zufriedenstellend beschreibt. Die Schergeschwindigkeitsabhängigkeit des Schermoduls zeigt in den verschiedenen Lösungsmitteln ein Maximum. Die Konzentrationsabhängigkeit des Maximums wird durch das Molekulargewicht des Polymeren und die Lösungsmittelgüte wenig beeinflußt. Die Schergeschwindigkeiten, die dem Maximum entsprechen, zeigen dagegen eine Konzentrationsabhängigkeit, die von der Lösungsmittelgüte abhängt. Die Konzentrationsabhängigkeit und der Einfluß der Lösungsmittelgüte bei niedriger Scherrate entsprechen nur qualitativ den Voraussagen der strukturrheologischen Theorien.

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Summary Concentration dependence of viscoelastic properties of polyisobutylene solutions in thermodynamically different solvents was investigated in the Weissenberg-Rheogoniometer. It was found, that the 4-Parameter Spriggs theory does not exactly describe the changes of rheological properties of these solutions by changing the shear rate from low to high.The shear modulus as a function of the shear rate has a maximum for the investigated solutions. The concentration dependence of this maximum shows a low sensitivity for the molecular weight of the polymer as well as for the thermodynamical properties of the solvent. The shear rate corresponding to the maximum value of the shear modulus is dependent on the concentration and the thermodynamical properties of the solvent. The existing structural rheological theories describe only qualitatively the concentration dependence and the influence of the solvent on the structural parameters even at low shear rates.

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Mit 11 Abbildungen und 4 Tabellen     

Gradient dependent dilatancy and its implications in shear banding and liquefaction

Summary A gradient dependent dilatancy condition is assumed in order to capture the heterogeneous character of deformation in granular soils. This assumption is incorporated into the structure of classical deformation and flow theories of plasticity and its implications in two interesting examples of patterning instability, that is shear banding and liquefaction, are examined. Shear banding is considered within a modified gradient dependent deformation theory, while liquefaction is studied within a modified gradient dependent flow theory of plasticity. In both cases a deformation induced length scale is obtained near the instability, and this is identified with the thickness of the shear band or the spacing of the liquefying strips.

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Gradientenabhängige Dilatanzbeziehung und ihre Implikationen auf Scherfugenbildung und Verfestigung in Böden

Übersicht Lokale Inhomogenitäten bei der Verformung granularer Materialien sind hier mit Hilfe einer gradientenabhängigen Dilatanzbeziehung beschrieben. Diese Annahme ist in die Struktur einer klassischen Deformations- und Fließtheorie der Plastizität eingebaut, und die hiermit einhergehenden Konsequenzen werden anhand zweier interessanten Fälle der Musterbildung in Böden, nämlich Scherfugenbildung und Verflüssigung, studiert. Scherfugenbildung ist innerhalb einer modifizierten gradientenabhängigen Deformationstheorie untersucht, wogegen Bodenverflüssigung innerhalb einer modifizierten Fließtheorie analysiert wird. In beiden Fällen bekommt man in der Umgebung des Instabilitätszustandes einen deformationsinduzierten Längenmaßstab, der sich als Scherfugendicke oder als Abstand der verflüssigten Bodenstreifen manifestiert.

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Presented at the workshop on Limit Analysis and Bifurcation Theory, held and the University of Karlsruhe (FRG), Febr. 22–25, 1988     

Theory of incremental motion in a body with initial elasto-plastic deformation

A theory of incremental deformation is developed for a body with initial stress and strain, valid for elastic and plastic pre-deformation. The superimposed motion is assumed hyperelastic. We present the constitutive equation, relating a measure of incremental stress to incremental strain, and the momentum equations referred to the prestrained initial configuration of the body. The latter is linearized with respect to the displacement field of the superimposed motion. For general nonlinear pre-deformation the constitutive theory of an anisotropic body may be based on the assumed strain energy that is an isotropic function of the Green strain tensor and a number of material directors of unit length. For bodies with elastoplastic prestrain and prestress, an elastic constitutive relation that depends on the plastic pre-deformation and the deformation from a relaxed state is postulated. Imposing the requirements of invariance with respect to rotations of the plastic pre-deformation and using the objectivity rule, we show that the constitutive function of stress must be an isotropic function of its arguments. This leads to a new theory of acoustoelasticity for an elasto-plastically prestrained material with anisotropic natural state by incorporating materially fixed unit directors as independent variables in the constitutive equations.

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Zusammenfassung Es wird eine Theorie der inkrementellen Deformation für einen Körper mit Vorspannung und Vorverformung entwickelt, welche sowohl für elastische wie plastische Vorverformung Gültigkeit hat. Die überlagerte Bewegung wird als hyperelastisch angenommen. Wir leiten die Materialgleichung her, welche eine inkrementelle Spannung mit einer inkrementellen Verzerrung verknüpft und geben die Impulsgleichung in einer auf die anfängliche Verformung bezogenen Konfiguration. Diese Impulsgleichung wird bezüglich des überlagerten Verschiebungsfeldes linearisiert. Für eine allgemeine nichtlineare Vorverformung kann die Materialtheorie eines anisotropen Körpers auf der Basis einer postulierten Verzerrungsenergie gegründet werden, welche eine isotrope Funktion des Greenschen Verzerrungstensors und einer Zahl materieller Direktoren mit Länge 1 darstellt. Für elasto-plastisch vorgespannte und vorverformte Körper wird eine elastische Materialgleichung postuliert, die von der plastischen Vorverformung sowie der Deformation aus einer relaxierten Konfiguration abhängt. Es wird gezeigt, daß die Materialgleichung für den Spannungstensor eine isotrope Funktion ihrer Argumente sein muß, wenn man als übergeordnetes Prinzip das Objektivitätsprinzip fordert und Invarianz des Spannungsfunktionals gegenüber Rotationen der plastischen Vordeformation verlangt. Durch Einführen von materiellen Direktoren der Einheitslänge als unabhängige Konstitutivvariablen erhält man hieraus eine neue Theorie der Akusteolastizität für elasto-plastisch vorverformte Materialien mit anisotropen natürlichen Referenzzuständen.

     

Zur Berechnung von Platten nach der Theorie II. Ordnung mit Hilfe eines hybriden Deformationsmodells

Übersicht Auf der Grundlage eines erweiterten Variationsprinzips für elastische Platten nach der Theorie II. Ordnung wird die Herleitung von Elementsteifigkeitsmatrizen angegeben, die es erlauben, die Anzahl der finiten Elemente und damit die Größe der Gesamtstrukturmatrizen drastisch zu vermindern. Zur Annäherung an die genaue Lösung eines gegebenen Problems kann neben der feineren Elementunterteilung der Grad der Verschiebungsansätze innerhalb der Elemente und der Grad der Kraftgrößenansätze an den Elementübergängen beliebig erhöht werden. Zur Abschätzung der Genauigkeit und des Rechenaufwands bei dieser Vorgehensweise wurde an Hand eines rechteckigen Elementes ein Vergleich mit einem vollverträglichen Deformationsmodell (Hermite-Polynom Elemente) durchgeführt. Es zeigte sich, daß das hybride Modell immer dann schnelle und gute Ergebnisse liefert, wenn die Lösung nicht durch Singularitäten gestört wird.

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Summary On the basis of a generalized variational principle for elastic plates with initial stresses element stiffness matrices are derived, which permit a drastic reduction of the number of finite elements and of the magnitude of the assembled stiffness matrix. To approximate the exact solution of a given problem either the element mesh may be refined or the order of the assumed displacement function within the elements or the order of the assumed force functions at the interelement boundaries may be increased. To estimate the approximation and the computational effort a comparison is made between a rectangular hybrid displacement element and a fully compatible Hermite polynomial displacement model. The proposed hybrid model gives fast and good results provided that the solution is not disturbed by singularities.

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Fachgebiet Leichtbau, Technische Hochschule Darmstadt.     

Stability of miscible fluid displacement in a porous medium

Summary The stability of miscible fluid displacement through porous media has been investigated when concentration induced density and viscosity gradients are present. The dependence of Rayleigh's number on the horizontal planform of cellular motion is established and it is shown that the Rayleigh and wave numbers interact in a nonlinear fashion and hence have to be treated as two independent parameters in the analysis of stability process.Übersicht Untersucht wird die Stabilität der Bewegung mischbarer Flüssigkeiten durch ein poröses Medium bei konzentrationsbedingten Dichte- und Viskositätsgradienten. Der Zusammenhang zwischen der Rayleigh-Zahl und der horizontalen Planheit der Zellbewegung wird aufgezeigt und nachgewiesen, daß die Rayleigh-und Wellenzahlen sich nichtlinear beeinflussen und folglich als zwei unabhängige Parameter der Stabilitäts-analyse zu betrachten sind.

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Stabilität der verschiebung mischbarer flüssigkeiten in einem porösen medium

     

Theory of thin-walled curved members with shear deformation

Summary The differential equations and the boundary conditions governing the behavior of structures composed of thin-walled curved members with shear deformation are derived in accordance with the virtual work principle. In the general bending theory or bending-torsion theory, the equilibrium equation of forces acting on an infinitesimal wall element in the axial direction is not sufficiently satisfied, since it is assumed that the normal stress is equal to zero. That is, the effects of the shear stress due to bending or warping are neglected.In the present paper, the method of successive approximations is used to determine a refined displacement field. Hence, the equilibrium condition for the infinitesimal wall element is satisfied at each repeated step in which the normal stress is calculated from the determined displacement in the axial direction, and the effects of shear deformation are considered. Approximate solutions which are believed to have sufficient accuracy are developed and given herein. Numerical examples are shown for several problems. Through the comparison with other author's results, the accuracy and the efficiency of this method may be verified.

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Theorie von gekrümmten dünnwandigen Stäaben unter Berücksichtigung des Schubverformungseinflusses

Übersicht Die Differentialgleichungen und Randbedingungen, die das Verhalten von Stabsystemen aus gekrümmten dünnwandigen Stäben unter Berücksichtigung des Schubverformungseinflusses beschreiben, werden durch das Prinzip der virtuellen Arbeit abgeleitet.In der gewöhnlichen Biege- oder Wölbkrafttorsionstheorie ist das Gleichgewicht der Kräfte in Längsrichtung an einem infinitesimalen dünnwandigen Element des Stabes nicht erfüllt, da die Normalspannung _gq zu Null angenommen wird; d. h., der Verformungseinfluß der Biege- und Wölbschubspannungen wird vernachlässigt.In dieser Arbeit wird die Methode der successiven Approximationen benutzt, um ein genaueres Verschiebungsfeld zu bestimmen. Daraus folgt, daß das vorstehende Gleichgewicht der Kräfte bei jedem Wiederholungsschritt erfüllt ist, in welchem die Normalspannung _gq durch das bestimmte Verschiebungsfeld in Längsrichtung gegeben wird.Für die erhaltene Näherungslösung kann man die Konvergenz zur exakten Lösung nachweisen. Einige numerische Beispiele werden gegeben. Durch den Vergleich mit Ergebnissen anderer Verfasser können die Genauigkeit und die Leistungsfähigkeit dieser Methode bestätigt werden.

     

Über die Festigkeit von Kreiszylinderschalen mit nicht-achsensymmetrischer Belastung

Zusammenfassung Mit vorliegender Abhandlung kann das Problem der Kreiszylinderschale mit beliebiger kontinuierlicher Belastung, abgesehen von Knickbetrachtungen, als vollständig gelöst gelten. Neben der genauen Lösung geben die in Tabelle 3 zusammengestellten Formeln un Verein mit den Gleichungen für die Schale ohne Biegungswiderstand ein Mittel an die Hand, schnell und für die Praxis fast stets genau genug den Spannungszustand zu ermitteln. Längere Untersuchungen zeigen, daß die Nachgiebigkeit der Versteifungsringe bei achsensymmetrischer Belastung günstig, bei nicht achsensymmetrischer Belastung jedoch in mehr oder weniger hohem Grade ungünstig wirkt, je nachdem sich die Spantschwerlinie innerhalb oder außerhalb der Mittelfläche des Zylinders befindet. Es ist ratsam, Rohre und Kessel auf nicht zu schmaler Basis zu lagern. Bei Zylinderschalen großen Durchmessers wird man, wo es sich konstruktiv vertreten läßt, die Versteifungsringe außerhalb des umschlossenen Raumes anordnen.Zur vollständigen Beurteilung der durch Spante versteiften Zylinderschale ist noch die Kenntnis ihrer Knicksicherheit erforderlich. Die Lösung hat v. Mises gegeben 1. In einer noch unveröffentlichten Arbeit ist auch der Einfluß des Druckes auf die Zylinderböden untersucht. Ebendort beurteilt derselbe Verfasser die Knicksicherheit bei Berücksichtigung einer nicht-achsensymmetrischen Belastung. Forschungen über den kritischen Druck in einem begrenzten Schalenteil sind m. W. noch nicht veröffentlicht. J. Geckeler hat jedoch auf der Tagung der Gesellschaft für angewandte Mathematik und Mechanik anläßlich der Werkstoffschau in Berlin 1927 Mitteilung von theoretischen Untersuchungen über die Knicksicherheit beliebiger Schalen gemacht, die durch Versuche bestätigt sind.Karlsruher Dissertation. Referent: Prof. K. v. Sanden, Korreferent: Prof. Dr.-Ing. Th. Pöschl.     

The principle of virtual work and its dual for contact problems

Summary In the first half of this paper, the variational inequalities of virtual work and its dual, the complementary virtual work are formulated for frictional contact problems with large deformations without restriction on the material properties of the bulk material. Care has been taken to formulate as many as possible terms as variations of a functional. Only the terms involving the frictional traction bound are excepted. Next the significance of the theory for the calculation of frictional contact is discussed.

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Das Prinzip der virtuellen Arbeit und sein Dual für Kontaktprobleme

Übersicht In der 1. Hälfte dieses Aufsatzes werden die Variationsgleichungen der virtuellen Arbeit und ihr Dual, die komplementäre virtuelle Arbeit, formuliert für Reibungskontaktprobleme mit großen Verschiebungen, ohne die materiellen Eigenschaften des Werkstoffes zu berücksichtigen. Möglichst viele Terme werden als Variationen eines Funktionals formuliert. Nur die Terme, welche die Reibungsgrenze enthalten, sind ausgenommen. In der 2. Hälfte wird die Bedeutung der Theorie für die Berechnung des Reibungskontakts hervorgehoben.

     

Dynamic analysis of non-symmetric problems for frictionless indentation and plane crack extension

Two-dimensional dynamic analyses of contact and stress loading problems associated with non-symmetric frictionless rigid indentation and plane crack extension under normal stress are presented. The extension rates of the contact strip/crack surfaces are assumed to be constant and sub-critical. Homogeneous function techniques are used to derive general mathematical solutions which are then fitted to the physical problem by matching the predicted and prescribed displacement/stress distributions on the contact strip/crack surfaces. By studying several examples, it is seen that coupling between inherently symmetric and antisymmetric components of the mathematical solutions complicates this procedure. Moreover, the relation between loading and solution behavior is not always physically obvious, especially with regard to symmetry/antisymmetry.

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Zusammenfassung Es werden zweidimensionale dynamische Analysen von Problemen der Berührungs und Spannungsbeanspruchung in Zusammenhang mit nichtsymetrischer, reibungsloser und formfester Vertiefung und Verlängerung eines Rißes in einer Ebene unter normaler Beanspruchung diskutiert. Die Rate der Verlängerung der Oberfläche der Berührungsbahn oder des Rißes wird als konstant und unterhalb der kritischen Schwelle bleibend angenommen. Die Methoden homogener Funktionen werden benutzt, um generelle mathematische Lüsungen abzuleiten, die dann dem physikalischen Problem durch Angleichen der erwarteten mit den gemessenen Verteilungen der Verschiebung/Beanspruchung an den Flächen der Berührungsbahn odes des Rißes angepaßt werden. Die Untersuchung meherer Beispiele zeigt, daß eine Verbindung zwischen inhärenten symetrischen und anti-symetrischen Bestandteilen der mathematischen Lösungen dieses Verfahren komplizieren. Ferner ist die Beziehung zwischen der Belastung und dem Lösungsausfall physikalisch nicht immer naheliegend, insbesondere im Hinblick auf die Symetrie/Antisymetrie.