一道2013年全国初中数学联赛题的另解

2013年全国初中数学联赛试题中有如下一道条件求值问题:若正数a、b、c满足b2+c2-a22()bc2+c2+a2-b22()ca2+a2+b2-c22()ab2=3,求代数式b2+c2-b22bc+c2+a2-b22ca+a2+b2-c22ab的值.本刊2013年5月下第28页给出了组委会提供的反证法,但是一般学生不易想到,现在提供一种大多数学生想得到,易操作的因式分解法.供参考与欣赏.解易知条件(b2+c2-a22bc)2+(c2+a2-b22ca)2+(a2+b2-c22ab)2-3=0.[(b2+c2-a22bc)2-1]+[(c2+a2-b22ca)2-1]+[(a2+b2-c22ab)2-1]=0.(b2+c2-a22bc+1)(b2+c2-a22bc-1)+(c2+a2-b22ca+1)(c2+a2-b22ca-1)+(a2+b2-c22ab+1)(a2+b2-c22ab-1)=0.     

一道联赛题的多解探究

2010年全国高中联赛江西省预赛题第3题:函数f（x）=（1-2x）^1/2/（x+2）的值域是.这是一道求无理函数值域的题目,看上去并不复杂,但其中蕴含着诸多的数学思想方法,本文给出几种解法,敬请各位读者指正.思路一三角代换法分析由于函数解析式中含有（1-x2）^1/2,让人联想到三角公式,于是可采用三角换元法.解法1易知函数的定义域为[-1,1].     

一道全国联赛题的别解

1999年全国高中数学联合竞赛加试试题第二题是 :给定实数ａ ,ｂ ,ｃ .已知复数ｚ1 ,ｚ2 ,ｚ3满足 :|ｚ1 |=|ｚ2 |=|ｚ3|=1.ｚ1 ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=1.求 |ａｚ1 ｂｚ2 ｃｚ3|的值 .命题委员会提供的“参考答案”用到了关于复数的欧拉公式ｅｉθ=ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ .下面我们给出此题的一种简便的解法 .解　令ｚ1 =ｃｏｓθ1 ｉｓｉｎθ1 ,ｚ2 =ｃｏｓθ2 ｉｓｉｎθ2 ,ｚ3=ｃｏｓθ3 ｉｓｉｎθ3,则ｚ1 ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=ｃｏｓ(θ1 -θ2 ) ｃｏｓ(θ2 -θ3) ｃｏｓ(θ3-θ1 ) [ｓｉｎ(θ1 -θ2 ) ] ｓｉｎ(θ2-θ3) ｓｉｎ(θ3…     

一道联赛题的多解探究

2010年全国高中联赛江西省预赛题第3题：函数f（x）=（1-2x）~（1/2）/（x＋2）的值域是.这是一道求无理函数值域的题目,看上去并不复杂,但其中蕴含着诸多的数学思想方法,本文给出几种解法,敬请各位读者指正.思路一三角代换法分析由于函数解析式中含有（1-x2）~（1/2）,让人联想到三角公式,于是可采用三角换元...     

一道数学联赛题的巧解及推广应用

分析该解答过程技巧性比较强，引入实数k并对变量32进行替换，从而有效地对不等式进行参变量分离，达到等价转化恒成立的目的．另外也可以构造函数f（x）=｜2x—α｜＋｜3x—α｜，利用零点分段法对变量x的取值进行讨论去掉绝对值符号，求该函数的最小值来进行运算，同时也可以运用数形结合进行运算．     

一道2013年全国高中数学联赛试题的探究

2013年全国高中数学联赛B卷第10题：假设a,b,c〉0,且abc=1,求证：a^2＋b^2＋c^2≥a＋b＋c．     

一道高中数学联赛题的解法探讨

20 0 1年全国高中数学联赛加试第一题是一道平面几何题 ,题目如下 :图 1　三角形如图 1,△ＡＢＣ中 ,Ｏ为外心 ,三条高ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ交于点Ｈ ,直线ＥＤ和ＡＢ交于点Ｍ ,ＦＤ和ＡＣ交于点Ｎ .求证 :1)ＯＢ⊥ＤＦ ,ＯＣ⊥ＤＥ ;2 )ＯＨ⊥ＭＮ .本文将从不同的角度给出它的几种不同的证明方法 .证法 1　 (直接法 )　 1)由题意知 ,Ａ ,Ｃ ,Ｄ ,Ｆ四点共圆 ,∴∠ＢＤＦ =∠ＢＡＣ .又∵Ｏ为外心 ,∴∠ＢＯＣ =2∠ＢＡＣ ,∠ＯＢＣ =∠ＯＣＢ ,∴∠ＯＢＣ =12 (180° -∠ＢＯＣ)=90° -∠ＢＡＣ .∴∠ＯＢＣ +∠ＢＤＦ =90°,∴ＯＢ⊥ＤＦ .同…     

一道联赛题的多种解法

题目（2010年全国高中数学联赛填空） 已知函数f（x）=√x-5-√24-3x,则f（x）的值域为_______． 解法一（复合函数法）通过观察易知数y=√x-5在[5,8]上是增函数,且y=√24-3x在[5,8]上也为增函数,因此f（x）在其定义域[5,8]上为增函数,故f（x）的值域为[-3,√3].     

另解两值联赛题

(一)2010年全国高中数学联赛一试试题(9)已知函数f(x)=ax~2+bx~2+cx+d(a≠0),当0≤x≤1,| f′(x)≤1 |,试求a的最大值.解由于f′(x)=3ax~2+2bx+c当a>0时,表示一条下凹的抛物线,从题设条件,可知0≤x≤1,-1≤f′(x)≤1.从图线中可以得到     

一道2010年全国联赛试题的变式探究

以上五个问题的解答都用到了三角换元法,它是求函数值域的一种常用方法．进行三角换元的主要根据是sin2 a＋cos2 a=1,如果x2＋y2=a2,可令x=asin a,Y=a cos a;     

一道全国联赛试题解答的思考

题目（2010年全国高中数学联赛一试（A卷）第9题）已知函数f（x）=ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）,当0≤x≤1时,｜f’（x）｜≤1,试求a的最大值．     

2011年全国高中联赛一道题的三种解法

（2011年高中数学联赛第六题）在四面体ABCD中,已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°,AD=BD=3,CD=2,则四面体ABCD的外接球的半径为.解法一由题意知：四面体的面△ABD是正三角形,又由余弦定理易知CA=CB=槡7.分别取AB,CD的中点K,M,取三角形△ABD中心N,连接CK,DK.在等腰三角形ABC中,     

2002年全国高中数学联赛第15题的解法的探讨

20 0 2年全国高中数学联赛试第 15题 :设二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 )满足条件 :1)当ｘ∈Ｒ时 ,ｆ(ｘ - 4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,且 ｆ(ｘ)≥ｘ ;2 )当ｘ∈ (0 ,2 )时 ,ｆ(ｘ)≤ ｘ +122 ;3) ｆ(ｘ)在Ｒ上的最小值为 0 .求最大的ｍ(ｍ >1) ,使得存在ｔ∈Ｒ ,只需ｘ∈[1,ｍ],就有ｆ(ｘ +ｔ)≤ｘ .该题将对二次函数性质和解一元二次不等式的考查相结合 ,题目涉及到两个参变量ｔ与ｍ的讨论 ,因而具有相当的难度 .从整体上来说 ,首先要确定函数 ｆ(ｘ)的表达式 ,然后才好进行ｔ与ｍ的讨论 .根据题设所给的条件 1) ,2 ) ,…     

一道联赛填空题的研讨

分析从函数解析式的分子√x2＋1而结构出发,联系到三角正切代换x=tanθ,便有三角换元解答方法．     

一道2013年全国高中数学联赛试题的探究

2014年“北约”自主招生试题第3题为：题目设函数f（x）满足：f（1）=1,f（4）=a7,且对任意的a,b∈R,有f（z＋2b/3）=f（a）＋2f（b）/3,则f（2014）=（）3（A）4027.（B）4028.（C）4029.（D）4030.该题以函数方程为载体综合考察了数列及其递推关系和数学归纳法等知识点,看似简单,实则不易.笔者私下了解了我校参加考试学生的答题情况,大部分学生能够正确选出结果,但细究起来发现,     

一道2010年全国数学联赛试题的别解

2010年全国数学联赛第9题: 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),当0≤x≤1时,f'(x)≤1,试求a的最大值.