对一道求数列通项问题的多角度切入

题目 已知数列{an）的前n项和为Sn，a1=2，当n≥2时，Sn=2n-nan． （1）求a2，a3； （2）求数列{an}的通项公式．     

从2010年江苏卷一题的错解谈起

题目 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn．已知2a2=a1＋a3，数列{√S2}是公差为d的等差数列．     

等差数列前几项和的一个性质

性质 已知数列{an}为等差数列,若Sm= a,Sn=b,其中m≠n,则. 证明 ∵数列{an)为等差数列, ∴ Sn=An2+Bn, 其中, 则     

一道数列题的误解和病根诊治

问题设数列{na}和前n项和Sn满足:a1=2,an 1=Sn (n 1).求数列{an}的通项公式. 误解一由an 1=Sn (n 1), 得Sn 1-Sn=Sn (n 1), ∴ Sn 1=2Sn (n 1), ∴ Sn 1 (n 1)=2[Sn (n 1)], 即 Sn 1 (n=1)/Sn (n 1)=2 ∴ {Sn (n 1)}是一个首项为S1 2=4,公比为2的等比数列.     

运用S_(m n)公式解高考题

设数列｛an}的前n项和为Sn则Sm＋n＝Sn＋（am＋1＋…＋an＋n）．（1）若数列如｛an}是公差为d的等差数列，则Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd（1）特别地，sn＋1=a1＋Sn＋nd．推论等差数列的前n项和为A，次n项和为B，后n项和为C，则（2）若数列｛an｝是公比为q的等比数列，则am＋1＋…＋am＋n特别地，Sn 1=a1＋qSn(2)推论对等比数列有SS＋Sg。一战（SZ。＋Ss。）．在处理某些等差（或等比）数列的“和”问题时，运用上述公式可简捷求解．例1已知k。）是等比数列，若。1＋。2＋a。218，a；＋a3＋a。—一人且入一al＋a。＋…＋a。，那么tims＂的值…     

求lim from(n→∞)(Sn)的方法

在求数列极限时 ,我们经常遇到求limn→∞ Sn 问题 ,灵活把握住以下两点将能快速求解 ,下面结合高考题加以说明 .1　不必求Sn对于所给数列是无穷等比递缩数列 (即公比q≠ 0 ,且 |q|<1) ,可以不必先求Sn,直接利用公式limn→∞ Sn=S =a11-q简捷解决 .例 1　 (2 0 0 3年北京高考题 )若数列 {an}的通项公式为an=3-n+2 -n+(- 1) n(3-n- 2 -n)2 ,n =1,2 ,… ,则limn→∞(a1+a2 +a3 +… +an)等于 (　　 )(A) 112 4 .　　 (B) 172 4 .　　 (C) 192 4 .　　 (D) 2 52 4 .解　 (不必先求Sn)原通项公式可以改写为an=12n,n为奇数 ,13n,n为偶数 ,于是…     

解题思路形成探因——对一道高考题的反思

题目(2012年广东理19)设数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且a1、a2+5、a3成等差数列.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1/a1+1/a2+…+1/an<3/2.     

对一道高考题的探究

已知数列{an}的前n项和Sn,满足Sn=2an (-1)n(n≥1).1)写出数列{an}的前3项a1,a2,a3;2)写出数列{an}的通项公式;3)证明对任意的整数m>4有1a4 1a5 … 1am<78.思路分析1)略.2)an=23[2n-2 (-1)n-1](n≥1).3)由于1a4 1a5 … 1am是关于m的递增数列,故不能直接用数学归纳法证明不等式,     

由数列和的关系求数列

在给定的条件下 ,求数列的通项、数列的前n项和等问题是数列中非常重要的一个类型 .当已知条件与数列前n项和有关时 ,这类问题的解决比较复杂 ,它也是数列教学中的难点 .那么 ,能否给出一种统一的求解方法呢 ?1　由条件Sn=f(t)Sn- 1 + g(t) (t∈R ,n≥ 2 )求数列例 1　设数列 {an}的首项a1 =1 ,前n项和Sn 满足 3tSn=( 2t+ 3)Sn - 1 + 3t (t >0 ,n≥ 2 ) .求数列 {an}的通项公式以及前n项和Sn.分析　求数列 {an}的通项公式an,常用的方法有两种 .第一 ,证明数列 {an}为等差或等比数列 ;第二 ,求出数列 {Sn}的通项公式Sn,由an=Sn-Sn- 1 可…     

求一类数列通项公式的思路

学习数列知识以后 ,如何求数列的通项公式是学生必须掌握的内容 .求数列的通项公式主要有以下三种类型 :一是给出数列的前几项 ,求通项公式 ;二是给出了数列的前n项和Sn 和通项an 的关系求通项公式 ;三是由递推关系求通项公式 .尤其是第二类成为考查求通项公式的主流 ,这类题目的解决办法是充分利用化归的数学思想 ,实现项an 与和Sn 的有机转化 ,最终求出数列 {an}的通项公式 .例 1　在数列 {an}中 ,已知Sn=3+2an,求an.解　当n =1时 ,由a1=S1=3+ 2a1,得a1=- 3.思路 1 :把已知条件中的项an 转化成和Sn.利用an=Sn-Sn -1(n≥ 2 ) ,则条件变…     

2004年全国高考数学试题分类集锦(Ⅱ)

4 数列 (1)[全国卷Ⅲ理(3)]设数列{an}是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项和,则( ).     

数列易错题分类例析

数列解题中 ,因概念理解不透 ,审题不严 ,考虑不周或忽视隐含条件致误者时有发生 .为此 ,本文将数列中的易错题归类剖析 ,供同学们学习时参考 .1　忽视项数n的起始值致错数列可以看作是定义在自然数集或它的子集上的函数 ,而函数的学习中要注意它的定义域 ,因此 ,学习数列中也应注意它的定义域 ,即项数n的起始值问题 ,否则会导致解题失误 .例 1　已知数列 {an}的前n项和为Sn,a1=1,当n≥ 2时 ,an=Sn - 1,求an.错解 :当n≥ 2时 ,an=Sn - 1　　 (1)∴an +1=Sn　　 (2 )以上两式相减 ,得an+1-an=Sn-Sn- 1=an,即an +1=2an (3)∴数列 {an}是以a…     

3 数列、数学归纳法

3.1 数列 内容概述 1.数列{an}的前n项和Sn=a1 a2 ... an与an的关系是an={S1,Sn-Sn-1,n=1,n≥2.     

试题研讨(4)

题 1　已知数列 {an}前 n项和为 Sn,若 a1= 2 ,nan 1=Sn n( n 1 ) .( 1 )求数列 {an}的通项公式 ;( 2 )令 Tn =Sn2 n,1当 n为何值时 ,Tn>Tn 1( n∈ N ) ?2若对一切正整数 n,总有 Tn ≤ m,求 m的取值范围 .( 2 0 0 2年苏州市模拟考试题 )命题溯源　求数列的通项公式是数列知识的重要问题 .1 983年高考题中首次出现由递推数列求通项公式的问题 ,连考了三年 ,当时形成了一个热潮 .多年来两类求数列通项公式的问题是常考常新 .一类是已知f ( an,Sn) =0求数列通项 an;另一类是与不等式相关的数列综合题 ,如 1 998年全国高考试卷末题 ,…     

这样的a1存在吗

文[1]中李连方老师以新教材中的一道习题为契机,引导学生开展研究性学习.笔者读后深受启发,但对文中提到的两个命题有不同的意见,借贵刊与各位老师探讨.文[1]中初始问题:设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),已知a1=1,an 1=3Sn(n≥1).求证数列a2,a3,a4,…,an…是等比数列.(新教材上     

2011年高考江苏卷第20题的另解

题(2011年江苏20)设M为部分正整数组成的集合,数列{an}的首项a1=1,前n项的和为Sn.已知对任意的整数k∈M,当整数n＞k时,Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立.     

数列极限教学中的若干思考

在中学阶段渗透近代数学的基础知识是课程教材改革的要求之一.高中数学教材把数列极限作为必修内容,其目的是在中学阶段渗透极限思想,使学生初步接触用有限刻划无限,由已知认识未知,由近似描述精确的数学方法.本文对数列极限的教学提出几点思考,谨供大家参考.(一)基本概念、基础知识的正确理解与掌握1.数列极限的定义数列极限概念是教学上的难点,教材采用描述法定义数列极限.对数列极限定义的正确理解,是学习本章内容的基础例1等差数列{an}中,首项a1=60,公差d=-2,记Sn=a1 a2 … an,Tn=|a1| |a2| … |an|,求li mn→∞SnTn.错解:Sn=na1 n(n2…     

活用公式巧解一道数列题

题目2003年全国高考(文)已知数列{an}满足a1=1,an=3(n-1) a(n-1)(n≥2), (1)求a2、a3; (2)证明:an=(3n-1)/2 本题是一道典型的求数列通项的问题.常见解法是用数学归纳法或迭代法,没有新意. 事实上,对于数列{an},其前n项和为Sn,则an= 认真审题,联想上述求通项公式的结构,     

等差(比)数列前n项和的一个性质及应用

对于等差(比)数列{an},我们可得如下性质:定理1设等差数列{an}的公差为d,前n项的和为Sn,则Sm n=Sm Sn mnd(1)证在等差数列{an}中,am k=ak md(m,k∈N ).Sm n=a1 a2 a3 … am am 1 am 2 … am n=Sm (a1 md) (a2 md) … (an md)=Sm Sn mnd.定理2设等比数列{an}的公比为q,前n项的和     

等差数列的两个性质

性质1若等差数列的项数为奇数,前n项和为Sn,中间项为M(n为奇数),则Sn= Mn．证明中间项为M,2M=a1 an, Sn=(a1 an)n/2=2Mn/2=Mn．推论若数列的项数为奇数,则奇数项和S奇=n奇M(n奇为奇数项项数),偶数项之和S偶=n偶M(n偶为偶数项项数)．