新教材高中数学第二册几个值得商讨的问题

新教材凝聚着广大编者和教者的智慧和心血 ,为了更好地发挥新教材的作用 ,现将笔者在使用中认为有争议地方提出探讨 .高中《数学》第二册上Ｐ10 6例 3:一炮弹在某处爆炸 ,在Ａ处听到爆炸声的时间比在Ｂ处晚 2ｓ.(1 )爆炸点应在什么样的曲线上 ?解答是 :“由声速及Ａ ,Ｂ两处听到爆炸声的时间差 ,可知Ａ ,Ｂ两处与爆炸点的距离的差 ,因此爆炸点应位于以Ａ ,Ｂ为焦点的双曲线上 .因为爆炸点离Ａ处比离Ｂ处更远 ,所以爆炸点应在靠近Ｂ处一支上 .”分析 :设爆炸点为Ｐ ,则 |ＰＡ|- |ＰＢ|=6 80 ,若 |ＰＡ|- |ＰＢ|=|ＡＢ|,则爆炸点在以Ｂ为端点 …     

运用双曲线知识测定声源——研究性学习课题成果

1　源头　在《平面解析几何》(必修 )课本中的第 92页有这么一题 :“在相距 140 0米的Ａ ,Ｂ两哨所 ,听到炮弹爆炸声的时间相差 3秒 ,已知声速是 34 0米 /秒 ,炮弹爆炸点在怎样的曲线上 ?”本题简解 :依题意可知 ,炮弹爆炸点在以Ａ ,Ｂ为焦点的双曲线上 .取过Ａ ,Ｂ的直线为ｘ轴 ,线段ＡＢ的垂直平分线为 ｙ轴 ,建立直角坐标系 ,则双曲线方程即为ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1.因 2ｃ =140 0 ,2ａ =34 0× 3,∴ｃ=70 0 ,ａ =5 10 ,　ｂ2 =ｃ2 -ａ2 =70 0 2 - 5 10 2 =2 2 990 0 .从而炮弹爆炸点应在双曲线 ｘ22 60 10 0 - ｙ22 2 990 0 =1上 .2　研究…     

考点24 双曲线

1.(全国卷,6)已知双曲线x62-y32=1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为().(A)356(B)566(C)56(D)652.(全国卷,9)已知双曲线x2-y22=1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1·MF2=0,则点M到x轴的距离为().(A)34(B)35(C)233(D)33.(福建卷,10)已知F1、F2是双曲线x2a2-yb22=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是().(A)4+23(B)3-1(C)32+1(D)3+14.(上海卷,5)若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点是(10,0),则双曲线的方程是.5.(山东卷,14)设双…     

浅谈双曲线的定义及应用

课本指出 :平面内与两个定点F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数 (小于 |F1F2 |)的点的轨迹叫双曲线 ,这两个定点叫双曲线的焦点 .对此定义的理解时应注意以下三点 :1)注意点到两定点的距离差的绝对值是常数 ,且常数小于 |F1F2 |.没有绝对值 ,其轨迹只能是双曲线的一支 .2 )注意定义的可逆性 .若P是双曲线上一点 ,F1,F2 是焦点 ,则 |PF1|- |PF2 |为常数 .它表明双曲线上一点到两个定点的距离之差可转化为常数 ,可大大简化运算 .3)注意双曲线的定义与方程之间的对应关系 ,若动点到两定点的距离之差的绝对值为常数 (小于两定点的距离 ) ,…     

椭圆、双曲线中的两类最值问题

1　问题的提出例 1　如图 1 ,已知双曲线 x24- y2 =1 ,过右焦点 F2 作直线 l与双曲线右支交于 A、B两点 ,设左焦点为 F1,求 | F1A| .| F1B|的最小值 .图 1分析 1　在双曲线 x24- y2 =1中 ,a =2 ,b=1 ,c = 5,F1( - 5,0 ) ,F2 ( 5,0 ) ,e =52 .为了书写方便 ,不妨设| F1A| =m,| F1B| =n,即求 m .n的最小值 .若求出 A、B的坐标 ,再求| F1A| .| F1B| ,显然比较复杂 .由双曲线的定义 :　 m - | F2 A| =4,n - | F2 B| =4,m .n =( 4 | F2 A| ) ( 4 | F2 B| )　 =1 6 4 ( | F2 A| | F2 B| ) | F2 A| .| F2 B|　 =1 6 4 | A…     

坐标变换推导双曲线标准方程

<正>平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.教材中给出的思路:设M(x,y)是双曲线上任意一点,双曲线的焦距为2c(c>0),那么焦点F1、F2的坐标分别是(-c,0)、(c,0).     

关于函数y=kx+m/x(k≠0,m≠0)的图象为双曲线的探究

1 问题提出。在学习完圆锥曲线后，我们认识了双曲线的概念和性质：平面上到两个定点F1，F2距离之差的绝对值等于常数2a(2a≤|F1F2|)的动点的轨迹是双曲线，它有对称中心，有对称轴，有两条渐近线．联系高一学过的函数y=kx m/x(k≠0，m≠0)，其图像也有对称中心，通过计算器测算出     

从一个双曲线焦半径错题说起

在一份全国重点中学高考调研试卷中有这样一道题：已知双曲线：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0），F是其左焦点，过F作直线交双曲线于A。B两点，设｜AF｜—m，｜FB｜=n,则1/m＋1/n的值为——。     

领悟教材编写意图,探究解决问题的本质方法——从教材一道例题谈起

1教材为什么始终不提简化运算的问题呢?例题(人教A版教材《选修2-1》第60页例6)过双曲线x~2/3-y~2/6=1的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|.为说明问题,把教材对本例的解答摘录如下:     

曲线方程证三角恒等式一例

例题在△ABC中,已知a=10,c-b=8求证tg(B/2)ctg(C/2)=(1/9)。分析由a=10,c-b=8可知|BC|=10|AB|-|AC|=8,即动点A到两定点B,C的距离的差为定值,故A在某双曲线上。证明如图,以BC中点为原点建立坐标系,则点A(x_1,y_1)在双曲线x~2/16-y~2/9=1的右支上。由双曲线的焦点半径公式得     

圆锥曲线的一个性质

由文 [1]可得圆锥曲线的一个性质 .定理　过圆锥曲线的焦点F的一条直线与这曲线相交于A ,B两点 ,M为F相应准线上一点 .则直线AM ,FM ,BM的斜率成等差数列 .证　对双曲线 x2a2 - y2b2 =1(a >0 ,b >0 ) ,记点A ,F ,M的坐标分别为 (x1,y1) ,(c ,0 ) ,(a2c ,m ) .设双曲线的极坐标方程为 ρ =ep1-ecosθ,点A的极坐标为 (ρ1,θ1) ,则无论点A在双曲线的左支还是在右支 ,都有 ρ1=ex1-a .于是AM的斜率为kAM =y1-mx1- a2c=e(y1-m)ex1-a =e(ρ1sinθ1-m )ρ1=e(epsinθ11-ecosθ1-m)ep1-ecosθ1=еpsinθ1+emcosθ1-mp .　　设点B的极角为…     

过双曲线焦点的定长弦探究

在学习双曲线的过程中,会遇到这样一道题目： 过双曲线x2/4-y2=1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点．若｜AB｜=4,则这样的直线有几条？     

新题征展(124)

A 题组新编 1.(张乃贵)(1)已知F1,F2是双曲线x2/a2-y2/b2=1的左、右焦点,点P是双曲线右支上的一点,且PF1=5PF2,则双曲线的离心率取值范围是____;     

一个刻画圆锥曲线特征的角

椭圆、双曲线和抛物线这三种圆锥曲线具有不同的数量特征 ,同时这些特征又是有机的统一 .例如 :以离心率 e为特征 ,我们知道( )椭圆 :0 1 .又如 :若记圆锥曲线的内接三角形面积与对应的切线三角形面积之比为 m,则[1]( )椭圆 :0 2实际上圆锥曲线中还有一个尚未引起人们注意的角 ,它也可以展现出圆锥曲线间的差异及统一性 .定理　过圆锥曲线的焦点 F作弦 AB,过端点 A、B分别作对应准线的垂线 ,垂足为A′、B′,记∠ A′FB′=θ,则　　 ( )椭圆 :0 <θ <…     

二次曲线(选择题五道)

1.定点尸到定直线l的距离为4,动点p到l的距离比到F的距离多2,则p的轨迹曲线是 (A)圆(B)椭圆 丈C)双曲线(D)抛物线 2.直线xeoso+夕sino=a和圆:2+夕,=aZ的位置关系 一(A)相离(B)相切 (c)相割(D)与。有关3.过点(2,一:)且与双曲线荟一;2一1有 几.、乙公共渐近线的双曲线方程是 x,(A)下甲‘ ‘(C)誓一誓二,椭圆磊+卜誓(B)誓一等一‘(D)誓一誓一‘上有三点月(二,梦,),B(4于):.c(”:护,它们与右焦点的距离成等差熟列,则。+和的值为 公 的。一、犷一一2(A)6(B)8(C〕10(D)抛物线犷~妾与椭圆答十乙O共弦长为 (A)(B)了丁(e)2(o)2了了二次曲线(…     

一道2007年高考题的推广及应用

问题1(2007年高考湖南卷,理20)已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的动直线与双曲线相交于A,B两点.1)若动点M满足F1M=F1A F1B F1O(其中O为坐标原点),求M的轨迹方程;2)在x轴上是否存在定点C,使CA·CB为常数?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由.问题1的2)正确结论为“在x轴上存在定点C(1,0),使CA·CB为常数”.对此,本文作如下推广.定理1已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0,c>0,c2=a2 b2),过定点T(t,0)(t≠0且t≠±a)的动直线与双曲线相交于A,B两点,则在x轴上存在唯一定点C((a2-b2)t2 a2c22a2t,0),使CA·CB为常…     

一道高考题的巧解

在复习双曲线时,数学老师给我们做了 2005年高考数学福建卷第10题:已知F1、F2 是双曲线x2/a2-y2/b2=1(a,b>0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )．     

一道综合题的多角度思考

数学通讯2007年第7期综合题新编选登中题136是这样一个题目： 已知双曲线x^2-y^2=1，过右焦点F的直线与右支交于A，B两点，且线段AF，BF的长度分别为m，n．     

拉链拉出来的曲线

找一条拉链,拉开一部分,在拉开的两边上,各选择一点F1和F2,使它们到拉开处P点的长度不相等(如图1).固定F1和F2在P点处放上一支铅笔,逐渐拉开拉链,铅笔跟着移动,这样就画出一支曲线.把拉链翻一个180°,又可以画出另一支曲线,这两支曲线相互对称,起名叫“双曲线”(如图2).     

圆锥曲线的另一分类标准

我们知道,平面内到定点F的距离与到定直线l(点F不在l上)的距离的比为常数e的点的轨迹为圆锥曲线,记为Γ,这里定点F为其焦点,定直线l为与F对应的准线,常数e为其离心率.根据离心率e的不同的取值范围,可以将Γ划分为椭圆、双曲线、抛物线三类:当0＜e＜1时,г为椭圆;当e＞1时,Γ为双曲线;当e=1时,Γ为抛物线.本文从圆锥曲线г在焦点弦端点处的两切线所成角的范围出发,给出圆锥曲线的另一个分类标准.