用求导法解2001年高考第20(Ⅱ)题

20 0 1年高考数学试卷理科第 2 0 ( )题为 :已知 r、m、n是正整数 ,且 1( 1 n) m .标答中是应用二项式定理来解 ,多数考生是用均值不等式法 (见本期 P4 2 ) .这里给出构造辅助函数和用求导的方法 .解∵　 11,∴　 f′( x) <0 ,则　 f( x)为单调递减函数 .又　 2≤ m ln( 1 n)n ,nln( 1 m) >mln( 1 n) .故…     

构造法在初中代数中的应用

构造法是一种实用的解题技巧 .解决一些问题时 ,应用它常常会迎刃而解 ,又有利于培养学生的创新能力 .下面举例说明构造法在初中代数解题中的应用 .一、用于求代数式的值例 1　已知 2m2 -5m +1 =0 ,2n -5n +1 =0 ,且m≠n ,求 mn +nm 的值 .分析 :若解出m ,n的值 ,再把它们代入 mn +nm ,显然计算很麻烦 ;但注意到已知的两个等式形式相同 ,并且具有一元二次方程的形式 ,这启示我们要构造一元二次方程 ,利用韦达定理求原代数式的值 .解 :由题设知m ,n是方程 2x2 -5x +1 =0的两根 ,由韦达定理 ,得m +n =52 ,mn =12 .∴ mn +nm =m2 +n2mn =(m +n)…     

用构造法证明不等式

证明不等式时 ,从研究题目的条件与结论入手 ,巧妙构造方程、函数、不等式、数列、图形等 ,可以使不等式获得简捷证明 ,下面从四个方面谈谈怎样用构造法证明不等式 .1　寻觅题设或结论的固有规律进行“构造”例 1　已知a>b>c.求证 1a-b+ 1b-c+1c-a >0 .简析 :寻觅题设条件a >b>c的固有规律 ,若令x1>x2 >0 ,则必有a=x1+c,b=x2 +c .用构造方程a =x1+c ,b=x2 +c(x1>x2 >0 )去证明 ,简洁明快 .证明　因为a>b>c可构造方程a =x1+c,b =x2 +c(x1>x2 >0 ) ,将它们分别代入特征式 ,得 1a-b + 1b-c + 1c-a =1(x1+c) - (x2 +c) + 1x2 +c-c +1c- (x1+c) =…     

不等式证明的突破口

不等式的证明是中学数学的一个难点 .存在着寻找证明入口难 ,条件的使用难 ,确定变形方向难等问题 .本文通过数列介绍一种行之有效的证明途径 :利用不等式取等号的条件 ,创造使用基本不等式的环境 .例 1　 (第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )证明 :对任意ａ >1 ,ｂ >1 ,有不等式ａ2ｂ -1 + ｂ2ａ -1 ≥ 8.分析　这是一个对称不等式 ,当且仅当ａ=ｂ时 ,等号成立 ,代入结论得 :ａ =ｂ =2 ,此时ａ2ｂ -1 =ｂ2ａ -1 =4.证明　 ａ2ｂ -1 + 4(ｂ -1 )≥ 4ａ ,ｂ2ａ -1 + 4(ａ -1 )≥ 4ｂ ,∴　 ａ2ｂ -1 + 4(ｂ -1 ) + ｂ2ａ -1 + 4(ａ -1 )　≥ 4…     

构造点的坐标证明不等式

有些不等式的证明 ,若采用常规方法 ,往往不易下手或比较冗繁 ,但若从数形结合思想考虑 ,充分挖掘出不等式的几何背景 ,通过构造点的坐标 ,建立起不等式的几何模型 ,利用几何图形的不等性质 ,可使不等式较易得到证明 .一、构造点的坐标 ,利用点线距最短证明图 1不等式例 1　已知ａ≥0 ,ｂ≥ 0 ,且ａ +ｂ =1,求证 :(ａ + 2 ) 2 + (ｂ +2 ) 2 ≥2 52 .证明　设Ａ(-2 ,-2 ) ,Ｐ(ａ ,ｂ) ,则点Ｐ在线段ｘ +ｙ =1(0≤ｘ≤ 1)上 ,点Ａ到直线ｘ + ｙ =1的距离ｄ =| -2 -2 -1|2 =52 .如图 1,∵　 |ＡＰ|≥ｄ ,即　 (ａ + 2 ) 2 + (ｂ + 2 ) 2 ≥ 52 …     

运用函数思想证不等式

1.利用一次函数证明不等式 由一次函数y=kx+b的图像可知,如果 f(m)>0,f(n)>0,则对一切x∈(m,n)均有 f(x)>0,反之,如果f(m)<0,f(n)<0,则对 一切x∈(m,n)均有f(x)<0,把这一性质称 为保号性,利用一次函数的保号性可以证明一 些不等式. 例1 设a,b,c都是绝对值小于1的实 数,求证:ab+bc+ca>-1 (*) 证明 ∵ab+bc+ca+1     

构造函数解决与自然数有关的问题

解决与自然数有关的命题通常用数学归纳法、二项式定理的展开式 .而数列作为定义在自然数集上的函数 ,若用数学归纳法解题有一定的难度 ,如果将问题转化为函数来处理 ,则往往使问题变得简洁、容易 ,此时常常将 n视为自变量 .下面举几例说明 .例 1　已知 n∈ N ,证明不等式1 12 13 … 1n <2 n .证明　构造函数 f ( n) =1 12 13 … 1n - 2 n ,∵　 f ( n 1 ) - f ( n)　 =1n 1 2 n - 2 n 1　 = n - n 1( n 1 n ) n 1 <0 ,∴　 f ( n 1 ) 相似文献   

一道习题的推广及证明

习题　已知 a,b∈ R+ ,且 a≠ b,求证 :a2 + b2 >3 a3 + b3 .证明　原命题等价于( a2 + b2 ) 3 >( a3 + b3 ) 2 ,展开很易证明 .推广　已知 a,b,m,n∈ R+ ,且 a≠ b,m >n,求证 :n an + bn >m am + bm .证明　构造函数 y =f( x) =x ax + bx( a,b∈ R+ ,且 a≠ b,x >0 ) ,两边取对数得　 lny =ln( ax + bx)x ,两边取导数 ,得y′y =x( axlna + bxlnb) - ( ax + bx) ln( ax + bx)x2 ( ax + bx) .∵　 a,b∈ R+ ,且 a≠ b,x >0 ,∴　 ( ax) ax . ( bx ) bx <( ax + bx ) ax+ bx,∴　 x( axlna + bxlnb)　　 <( ax + bx) ln( ax + bx) ,∴　 y′…     

一道高考试题的推广

1995年高考文科数学试题第 2 3题 :设 {an}是由正数组成的等比数列 ,Sn 是其前n项和 ,证明 :12 (log0 .5 Sn+log0 .5 Sn + 2 ) >log0 .5 Sn + 1.由对数运算性质可知 ,求证不等式可化归为证明其等价不等式SnSn + 2 0 ,当r =1时 ,SpS…     

构造对偶式证明不等式

不等式的证明方法很多 ,这里介绍构造对偶式证明不等式 ,也许在诸多证明方法中它别开生面、独具“风味”,给人一种赏心悦目的感觉 .1　“填充”对偶式例 1　求证 :12 . 34.… .2 n - 12 n <12 n 1 .分析　不等式的左边是几个分数连乘积 ,能不能在每两个相邻的分数之间插入另一个分数 ?因此 :设　 A =12 .34.… .2 n - 12 n ,B =23. 45.… . 2 n2 n 1 ,由于　 12 <23,　 34<45,… ,2 n - 12 n <2 n2 n 1 ,因此 A 相似文献   

关于等差数列、等比数列的一个充要条件及其应用

定理1　设非常数数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=Aa2n Ban C,则数列{an}是等差数列的充要条件是:A≠0,AC≤116,B=12.证明　(1)充分性:∵　Sn=Aa2n Ban C,∴　Sn-1=Aa2n-1 Ban-1 C(n≥2),∴　an=A(a2n-a2n-1) B(an-an-1).又　　　　B=12,Aa2n-12an-(Aa2n-1 12an-1)=0,∴　Δ=14 4A(Aa2n-1 12an-1)=(2Aan-1 12)2,∴　an=12±(2Aan-1 12)22A=12±(2Aan-1 12)2A,∴　an=an-1 12A,或an=-an-1.若an=-an-1,则　an=(-1)n 1a1,Sn=a1[1-(-1)n]1-(-1)=an(-1)-n-1[1-(-1)n]1-(-1)=an.(-1)-n-1 12.此时A=0,B=(-1)-n-1 12,C=0与已知矛盾.所以an…     

例谈导数法证明不等式

中学数学引入导数 ,使相应的数学方法、数学工具和数学语言更加丰富 ,应用形式更加灵活多样 .新课程试卷将导数与传统的不等式证明有机结合在一起设问 ,这是一种新颖的命题模式 ,它体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法 .以下介绍几道运用导数方法证明不等式的例题 ,供大家参考 .例 1　 (2 0 0 3年江苏新课程高考试题 )已知 a >0 ,n为正整数 .( )设 y =(x - a) n,证明 :y′=n(x - a) n-1 ;( )设 fn(x) =xn- (x - a) n,对任意 n≥ a,证明 :f′n+1 (n +1) >(n +1) fn′(n) .证明　 ( )因为(x - a) n =∑nk=0Ckn(- a) n-kxk,所…     

初等证明不初等

文[1]用初等方法证明了不等式:若xi>0,i=1,2,3,且∑3i=1xi=1,则1 1x21 1 1x22 11 x32≤1207.证明的关键是先证明了对任意0相似文献   

相等之中求不等的一个关系

1　问题提出一次习题课中 ,我选讲了如下习题 :若正数 a、b满足 ab=a b 3,则 ab的取值范围是 .( 1 999年全国高考试题 )求解的基本思路是 :由　 ab =a b 3≥ 2 ab 3,得　 ( ab - 3) ( ab 1 )≥ 0 ,又　 ab 1 >0 ,易得　 ab≥ 9.我为了强调基本不等式的使用条件 ,指出 a、b必须为正数 .未曾想到 ,一位同学马上指出 :a、b为实数 ,这题也能做 .并给出了如下的方法 :构造方程　 ax2 ( 3- ab) x b =0 ,∵　 1是该方程的根 ,∴　Δ =( 3- ab) 2 - 4ab≥ 0 ,　　 ( ab) 2 - 1 0 ab 9≥ 0 ,∴　 ab≤ 1　或　 ab≥ 9,故所求范围…     

集合与简易逻辑错解分类辨析

集合与简易逻辑在中学数学中起到基础性和工具性作用,应用集合的思想分析和认识数学问题,可以更深刻地揭示问题的本质.因此,集合与简易逻辑问题都有一定的难度,学生在解题时,经常会出现一些问题,下面就一些常见错误分类辨析如下,供大家参考.一、未弄清集合的有关概念例1设集合M可表示为m,mn,1,也可以表示为m2,mn,0,求m、n的值.错解∵m,mn,1={m2,m+n,0},∴0∈m,mn,1.而m≠0,得mn=0,即n=0.于是{m,0,1}={m2,m,0},∴m2=1,即m=±1.辨析m=1,n=0时,集合{m2,m+n,0}就写成了{1,1,0},由集合的概念知,这是错误的.解这类问题,一定要把所得值代入集合中…     

一个关于非负矩阵的不等式

证明:若(xij)是一个元素不全为零的m×n非负矩阵,则当0相似文献   

由课本问题到欧拉常数的推广

1　引子高中《代数》下册复习题六第33题是:“用数学归纳法证明:1+ 12+ 13+…+1n>n (n>1,n∈N)”.此题很容易用数学归纳法证明,证明后我们自然会反思:此题是如何发现的?如何用推导的方法证明.使用放缩思想可得方法一:1+ 12+ 13+…+ 1n>1n+ 1n+…+ 1n=n·1n=n .由裂项求和的思想可想到方法二:n =(n - n- 1) + (n- 1-n- 2 ) + (n- 2 - n- 3) +…+ (2 - 1) +(1- 0 ) =1n + n- 1+ 1n- 1+ n- 2+…+12 + 1+ 11+ 0 .而n - n- 1=1n + n- 1,所以欲证原不等式,只需证1n>1n + n- 1(n>1) ,(当n=1时,取等号) .此不等式显然成立,所以原不等式得证.2　探索…     

函数单调性在证明不等式中的应用

利用函数的某些性质解决不等式的证明问题 ,在高等数学中是经常使用的方法 ,本文结合实例 ,利用函数的单调性来处理不等式的证明问题 .例 1　当 0 f (x) >limx→ π2 - 0f (x) ,而 limx→ 0 f (x) =1 ,limx→ π2 - 0f (x) =2π ,故 1 >sinxx >2π.例 2　当 x>0时 ,证明 :x -x22 相似文献   

对《一个猜想的证明》一文的商榷

文 [1 ]提出了一个猜想 :设xi>0 ,i=1 ,2 ,… ,n ,且 ∑ni=1xi=1 ,n≥ 3,则　∏ni=11xi-xi ≥n - 1nn ( 1 )文 [2 ]利用下述引理“设a相似文献   

构造函数比较大小

构造函数解题是数学中比较常用的一种方法 ,比较常用的函数有一次函数、二次函数、分式函数、指数函数等 ,但我们还可以构造其它类型的函数来解决问题 .例题　比较大小ｌｏｇ2 0 0 0 2 0 0 1与ｌｏｇ2 0 0 1 2 0 0 2 .分析　此题看似复杂 ,但如果我们能构造出函数ｆ(ｘ) =ｌｏｇｘ(ｘ + 1 ) (ｘ >1 )并证明其单调性 ,就可迎刃而解 .因而题目便转化到证明ｙ =ｌｏｇｘ(ｘ + 1 )的单调性上 .解　构造 ｙ =ｌｏｇｘ(ｘ + 1 )　 (ｘ >1 ) ,∵　ｆ(ｘ) =ｙ =ｌｏｇｘ(ｘ + 1 ) ,∴　ｘｙ =ｘ + 1 ,　∴　ｘｙ - 1 =1 + 1ｘ .设ｘ1 ,ｘ2 ∈ ( 1 ,+…