代换中的非同解变形

在解方程时,我们一般比较警惕代数运算时的非同解变形,诸如方程两边同时乘方、开方,同乘以或除以一个含有未知数的解析式等,却忽略了某些看起来似乎恒等的代换也会带来方程的增根或失根. 例1 解方程: 解 由     

(二)问答题五道

1 lgx~2=2lgx是恒等式吗?2 上面等式从左到右是恒等变形吗?3 方程lgx~2=2lg(-x)有解吗?4 lg(-x)~2与2lg(-x)是同一个函数吗?5 lg(x~2+1)>lgx是绝对不等式吗?     

关于对数方程根的舍取

对数方程是超越方程,不存在一般解法,只有某些特殊类型的对数方程才能用初等方法来解,其基本的思路是转化为代数方程来解。在转化过程中常常要用到对数运算法则或同底的对数相等则真数相等等结论。但这些都可能引起未知数取值范围的扩大或缩小,因此可能产生增根与失根。忽视了这点,在解对数方程时是会出现差错的。下面举出几个例子来说明这个问题。便1 解方程 lgx~2+lgx~8=10 解:原方程可变形为:2lgx+8lgx=10 lgx=1, ∴x=10 经检验x=10是原方程的解     

高一代数.§.42 关于方程的变形的几个定理的教学

一、学习教学大綱、鑽研教材 1.学习大綱,可以明确“关于方程的变形的几个定理”在中学代数“方程”教学中所处的地位和作用。 (1) 大綱中“……初中二年級代数課程的基本内容,是恆等变形和簡单的一元一次方程的解法。初中二年级是根据算术运算中已知数与得数之間的关系解簡单的方程。……”这时,学生解方程不应用方程的变形定理,因此亦不要求学生了解“同解方程”的概念。 (2) 在大網中“……到了初中三年級,才系統地学习一次方程。……”(現在中学的进度比大綱中的进度提前)。这时,学生在了解“同解方程”概念的基础上,通过用驗証的方法討論了方程的两个基本性质,并开始应用这两个性质解有关方程。由于这是初中学生对方程基本性质的初次接触,因此对这两个性貭并沒有要求     

把直角坐标方程化为极坐标方程的等价问题

在直角坐标系中,点与坐标是一一对应的。若方程F_1(x,y)=0与方程F_2(x,y)=0同解时,这两个方程就表示同一曲线;反之,表示同一曲线的两个方程也必同解。但在极坐标系中,一个点对应无数个坐标((-1)~kρ,kπ θ),其中k∈Z。方程f_1(ρ,θ)=0与f_2(ρ,θ)=0若同解就表示同一曲线,但表示同一曲线的两个方程却不一定同解。如方程ρ=θ与p=2π θ表示同一曲线,但方程并不同解。我们在极坐标中把表示同一曲线的方程称为等价方程。显然所有的同解方程都是等价方程。     

关于用合、分比定理解方程

解某些分式方程时,人们常用合比定理、分比定理、合分比定理将原方程变形,再由变形所得的方程求解。其实,这些定理都是关于比例性质的定理,并不是方程变形的定理。众所周知,通过方程变形来解方程,必须注意变形前后的方程是否同解。现在要问:用上述比例性质定理将方程变形,能否保证变形前后方程同解?如果会增根或遗根,那么怎样排除增根和拾回遗根呢?本文试对此问题作一肤浅的探讨,供参考。     

以集合形式给出方程的解是否妥当

六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册82页有这样一题:方程3~(2x~2)=3~(5x+7)与方程2x~2=5x+7的解集是否相同?为什么?言下之意是在告诉学生若两个方程解集相同,则此两个方程就是同解方程了.(符合现行初中教材中对同解方程所下的定义:如两个方程相同,那么这两个方程叫做同解方程.初中代数第一册.)     

运用“ab=0 a=0或b=0”时应注意之点

同学们常运用“ab=0a=0或b=0”原理解题,如解方程2x~2-5x 2=0(2x-1)(x-2)=02x-1=0或x-2=0方程的解为{1/2,2},即是两个“选择方程”解的并集。在这里,分别解两个“选择方程”时,似乎彼此不管,总是这样吗?试看下例: 解方程:①(2x~2-5x 2)(x-2)~0=0; ②(tgx 1)(arcsinx-π/3)=0, 解①由原方程得2x~2-5x 2=0或(x-2)~0=0。由第一个方程得x=1/2、2,第二个方程     

利用椭圆知识解代数题

例1 解方程x2-4x 10~(1/2) x2 4x 10~(1/2) =8. 这是《中学生数学》2005年第10期上 (P38)的一道例题,原文是通过构造等差数列进行解答的,现在我们再利用椭圆知识求解．解把原方程进行恒等变形得到 (x-2)2 6~(1/2) (x 2)2 6~(1/2)=8,我们发现它和椭圆定义方程(x-c)2 (y-0)2~(1/2)     

化参数方程为普通方程的几种方法

本文介绍解析几何中把参数方程化为普通方程的一些常用方法。 (一)代入法通过参数方程中的一个方程求出参数的表达式,把它代入另一方程,从而消去参数,化为普通方程。例1.化下列t为参数的方程为普通方程 x=at~2+2a (1) y=at~3+2at (2) 解:由(2),得y=t(at~2+2a)(3) 把(1)代入(3),得y=tx 即 t=y/x. (4) 把(4)代入(1),得x=ay~2/x~2+2a. 整理后,得ay~2=x~3-2ax~2. (二)同解方程变形法运用同解方程组的性质,消去参数。     

关于方程和不等式组的无解问题

同学们在解方程或不等式组时,经常会遇到"无解"这样的问题,现将有关类型归纳如下,供同学们学习时参考.一、一元一次方程的无解例1关于x的方程a(2x+1)=12x+3b,问:当a、b为何值时,(1)方程有唯一解;(2)方程有无数解;(3)方程没有解.分析对于一元一次方程ax=b,(1)当a≠0时,方程有唯一解;(2)当a=0,b=0时,方程有无数解;(3)当a=0,b≠0时,方程没有解.将已知方程化为ax=b的形式,逆向应用     

一元一次方程有两个根

题:解方程x+2x~(1/2)=1 解:原方程变形为2x~(1/2)=1-x, 两边平方得:2x~2=1-2x+x~2 即x~2+2x-1=0,解得x=-1±2~(1/2)。     

同解的max-min合成模糊关系方程的系数矩阵

讨论[0,1]格上同解的max-min合成模糊关系方程的系数矩阵的描述问题。首先给出了方程A⊙x=b与C⊙x=b同解的一个充分条件,然后在该充分条件下给出同解方程的系数矩阵的描述及其算法。     

三角函数及其恒等变形

三角函数及其恒等变形是高中数学的基本内容 .它所涉及的知识面广 ,内容丰富多彩 .三角恒等变形常见的形式有化简、求值、恒等式证明等等 .由于三角变换公式多 ,方法灵活 ,因此 ,必须达到某个目标的三角恒等变形 ,常常会让我们感到难于掌握 .三角恒等变形的主要目的在于化简三角式 .下面我们以三角式的化简为主 ,介绍三角恒等变形的原则、方法和技巧 .例 1　证明3- 4ｃｏｓ2α +ｃｏｓ4α3+ 4ｃｏｓ2α +ｃｏｓ4α=ｔａｎ4 α .思路分析 :在题设所给式子左端有 2α ,4α两种不同的角 ,而右端为α一种角 ,为此我们通过化简左端 ,并从减少角的…     

数学问题解答

131.解方程:x~3 2(3~(1/2))x~2 3x 3~(1/2)-1=0解:令3~(1/2)=a则原方程变形为: x~3 2ax~2 a~2x a-1=0 即 xa~2(2x~2 1)a x~3-1=0 由于x=0非原方程的解,解关于a的二次方程得:     

分式方程的另类解法

例1(2011年辽宁·大连卷)解方程5x-2+1=x-12-x.一般解法方程两边同乘(x-2),得5+(x-2)=-(x-1).解得x=-1.检验x=-1时,x-2=-3≠0,x=-1是原分式方程的解.另类解法原方程可变为5x-2+1-x-12-x=0.即5x-2+x-2x-2+x-1x-2=0.即2x+2x-2=0.则有2x+2=0,且x-2≠0,故x=-1.点评第一种办法在去分母后变成整式方程,而整式方程与原分式方程可能不"同解"(即"整式方程的根"对于原分式方程可能是"增根(此时的根会让分母为0)"),因此必须"验根";     

浅谈分式方程的增根与无解

增根与无解是分式方程中常见的两个概念,同学们常常会对这两个概念混淆不清,现举例说明它们之间的区别和联系.例1解方程6/x-1-x+5/x(x-1)+3x=0.解方程两边都乘以x(x-1),得6x-(x+5)+3(x-1)=0.解这个方程,得x=1.经检验,当x=1时,原方程无意义,所以x=1是原方程的增根.∴原方程无解.     

浅谈三角函数式的变形

应用三角函数知识解决的各种问题 ,都离不开三角函数式的恒等变形 .熟练掌握三角公式的原型 ,熟悉三角公式的变形 ,并灵活地运用三角公式进行恒等变形是提高解决数学问题能力的一个重要方面 .例 1　求证 :12 tg x2 12 2 tg x2 2 … 12 ntg x2 n　　　　 =12 nctg x2 n - ctg     

再谈方程的两个概念

方程与同解方程是中学代数中十分重要的两个概念,早在五、六十年代,数学通报等杂志曾多次地刊文(如[1]、[2])谈论过有关的问题。近年来,由于某些参考资料对它们的不同解释,在中学数学教学中带来了一定程度的困惑。比如我们多次地听到一些中学教师提出诸如x 1=x 2究竟是不是方程?(x-1)~2=0与x-1=0是不是同解方程?等疑问。因此,我们感到有再谈     

求变量间的某种组合问题

1 一个方程两个未知数在练习题和竞赛题中,我们常常会遇到下列类型的方程: 例1 解方程 4x~2-12xy+10y~2-4y+4=0 例2 求方程 2x+3y=13的正整数解。这类方程的特征是在一个方程中有两个未知数。这种方程,我们称之为不定方程。在一般情况下,不定方程的解是不定的。不过,有时根据方程的某些特殊性,我们可以求出它的确定的解。