三角形的伴垂心的若干极值特征

如图 1,△ ABC的三条高分别为 AD、图 1BE、CF,垂心为 H ,点 D关于 BC边的中点的对称点为 D′,点 E关于 CA边中点的对称点为 E′,点 F关于 AB边中点的对称点为 F′,则由 Ceva定理易知AD′,BE′,CF′三线共点 ,记为 H′,称 H′为△ ABC的伴垂心 [3 ] ,又叫伪垂心 [1 ] [2 ] .约定 :伴垂心 H′到△ ABC三边 BC、CA、AB的距离分别为 r1 、r2 、r3 ,三边 BC、CA、AB的长分别为 a、b、c,其上的高分别为 ha、hb、hc,面积为△ ,外接圆半径为 R.△ D′ E′ F′的面积为△′.我们需要下述引理 :引理 1[3 ] 　在△ ABC中 ,有A…     

三角形垂心的一个性质

本文给出关于三角形垂心的一个新性质:定理三角形的垂心在各角的内、外角平分线上的射影的连线共点,该点恰是三角形的九点圆圆心.已知:△ABC的垂心H在∠A及其外角平分线AT、AT′上的射影分别为A1、A2,过A1、A2作直线lA,并类似作出直线lB和lC(如图1.图1求证:lA、lB、lC三线共点,     

三角形垂心的一个性质

文 [1 ]用解析法发现了三角形外心的一个性质 ,用此法还不难发现三角形垂心的如下性质 :定理　若点 D在△ ABC的边 AB上 ,且∠ CDB =α,O为 C在 AB边所在直线上的射影 H1、H2 、H分别为△ ADC、△ DBC、△ ABC的垂心 ,则( 1 ) | H1H2 | =| AB| . | cotα| ;( 2 ) | H1H | =| OA| . | cot B cotα| ;( 3) | H2 H | =| OB| . | cot A - cotα| .证明　 ( 1 )建如图 1所示的平面直角坐标系 ,设 A( a,0 ) ,D( d,0 ) ,B( b,0 ) ,C( 0 ,c) .过 D点且与 AC垂直的直线方程为y =ac( x - d) .令　 x =0 ,可得y =- adc,故　 H1( 0…     

三角形垂心的一个性质

定理 若给定锐角△ABC的垂心为H,且D、E、F分别为H在BC、CA、AB边所在直线上的射影,H1、H2、H3分别为△AEF、△BDF、△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.     

关于三角形垂心的探讨

命题三角形的垂心到各顶点的距离与对应顶点内角的余弦值的绝对值的比都相等,都等于三角形外接圆的直径. 设△ABC的垂心为H,外接圆的半径为R,记A、B、C为△ABC的三个内角,则     

三角形垂心的性质及其应用

三角形垂心的性质及其应用海南省农垦中学方亚斌我们知道．对任意ＡＢＣ．三条高线ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ（Ｄ、Ｅ、Ｆ分别为垂足）交于一点Ｈ关于垂心Ｈ．有下述一些重要性质：（１）四点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｈ构成一垂心组．即Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｈ四点中．任意一点都是其余三点连线所成三...     

三角形垂心的几个性质

定理一锐角三角形每个角的正切等于它的对边与这角的顶点至垂心的距离之比。证如图1 连CO并延长交⊙O于G,连结GB、GA,得平行四边形AGBH,则BG=AH,在Rt△GBC中,tg∠BGC=BC/BG,∵∠BGC=∠A, ∴tgA=BG/BG=BC/AH,同理可证,tgB=AC/BH,tgC=AB/CH。下面的几个定理需要先引入一个定义。定义三角形的任意两个顶点与其垂心组成的三角形叫做垂心三角形。定理二锐角三角形的面积与它的一个垂心三角形面积之比等于其公共边所邻的原锐角三角形的两个角的正切之积。     

关于三角形垂心位置的教具

关于三角形的外心与垂心的位置問題,一般中学生对它是不够重視的,往往在一些具体問題上,只注意到銳角三角形的情形,因而便把外心或垂心不在形內的情形忽略了.究其原因,一方面是經常在解决有关三角形的問題时,仅仅画一个銳角三角形的圖就算了;另一方面是     

三角形垂心的一个性质推广

文[1]给出了三角形垂心的一个性质: 定理若△ABC的垂心为H,且D、E、F分别为H在BC、CA、AB边所在直线上的射影,H1、H2、H3分别为△AEF、△BDF、△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.     

三角形的垂心的几个性质

文[1]介绍了三角形的垂心的如下性质:定理1三角形的垂心关于三边的对称点在这个三角形的外接圆上.本文以此为基础,提出如下性质:定理2三角形的垂心关于各边中点的对称点在三角形的外接圆上,且以这三个对称点为顶点的三角形与原三角形关于圆心中心对称.用符号语言表达即为:     

两个三角形垂心相同的充要条件

在非直角三角形ABC中,A1,B1,C1分别是直线BC,CA,AB上的点,且满足:AC1=λC1B,BA1=μA1C,CB1=t B1A,其中λ,μ,t均不为-1.图1如图1,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,下面我们来讨论△ABC与△A1B1C1有相同垂心的充要条件.不妨设点H为△ABC的垂心,则有BH·AC=0,CH·AB=0.因此BH·AB=(BC CH)·AB=BC·AB.由于A1H=BH-BA1=BH-1 μμBC,B1C1=AC1-AB1=1 λλAB-11 tAC,所以A1H·B1C1=(BH-1 μμBC)·(1 λλAB-1 1tAC)=1 λλBH·AB-(1 λ)λ(μ1 μ)BC·AB-11 tBH·AC (1 μ)μ(1 t)BC·AC=1 λλBC…     

两个三角形垂心相同的充要条件

在非直角三角形ABC中，A1，B1，C1分别是直线BC，CA，AB上的点，且满足：     

三角形垂心的演变和问题的推广

对三角形的垂心进行演变,构造出新问题,并把新问题推广到圆锥曲线,得到相关结论.     

三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△ ABC,P为平面上的点 ,则( 1 ) P为外心 　 | PA| =| PB| =| PC| 1( 2 ) P为重心 　 PA PB PC =0→ 2( 3) P为垂心 　 PA . PB =PB . PC =PC . PA 3图 1　　　　　　　图 2证明　 ( 1 )如 P为△ ABC的外心 (图 1 ) ,则　 PA =PB =PC,即　 | PA| =| PB| =| PC| ,反之亦然 .( 2 )如 P为△ ABC的重心 ,如图 2 ,延长AP至 D,使 PD =PA,设 AD与 BC相交于E点 .由　 PA =PD PA PD =0→ ,由重心性质 　 PA =2 PE,PA =PD 　 E为 PD之中点 ,又 P为△ ABC之重心 E为 BC之中点 ,∴　四边形 PBDC为平行…     

三角形垂心的一个性质的三个推论

文 [1]给出了三角形垂心的一个性质 :定理　如图 1,若△ ABC的垂心为 H ,且D、E、F分别为 H在 BC、CA、AB边所在直线上的射影 ,H1 、H2 、H3 分别为△ AEF、△ BDF、△ CDE的垂心 ,则△ DEF≌△ H1 H2 H3 .若以上题设不变 ,则有以下推论 .推论 1　△ H1 EF≌△ DH2 H3 ;△ H2 DF≌△ EH1 H3 ;△ H3 DE≌△ FH1 H2 .证明　如图 1,由定理知 ,EF =H2 H3 ,连结 FH2 、H2 D、DH、H F、H1 E、EH、EH3 、H3 D,由三角形垂心的定义 ,可知四边形FH2 DH、四边形 FH1 EH均为平行四边形 ,∴ H2 D =H1 E.同理 FH1 =DH3…     

三角形垂心的一个性质的修正及推广

文 [1 ]“证明”了三角形的垂心的一个性质 ,即下面的命题 (原文“性质 2”) :命题　三角形的顶点到垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 60°.本文首先指出上述命题中的“必要性”的错误 ,并给出正确的命题及其解析证法 ,然后将这一性质推广至任意的圆内接闭折线 .正确的命题应该是 :定理 1　三角形的顶点到其垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 60°或 1 2 0°.下面采用解析法证明这个定理 .证明　如图 1 ,设△ ABC的外接圆为⊙ ( O,R) ,以外心 O为原点建立直角坐标系x Oy,设顶点 A、B…     

以锐角三角形的垂心为圆心的圆

设H为锐角△ABC的垂心,以H为圆心的任一圆,分别交与BC,AC,BA平行的中位线依次于P1,Q1,P2,Q2,P3,Q3,则 AP1=BP2=CP3=AQ1=BQ2=CQ3。     

三角形的“旁垂心”及相关性质

<正>文[1]、[2]都给出了三角形的"旁外心"的定义如下:定义过三角形的三个顶点分别作三角形外接圆的切线,其两两相交的三个交点称为三角形的三个旁外心.在直角三角形中,直角所对的旁外心可看作在无穷远处,受此启发,本文再给出三角形的"旁垂心"的定义及相关性质如下: