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椭圆是美的,因为她是由美丽的圆经过均匀压缩变换而来.椭圆在外观上给人一种温馨的感觉;椭圆在生活实际中的广泛应用展现了她的现实美;宇宙中某些天体的运行轨道,“神州六号”的成功发射,赋予了椭圆美以更多的内涵.
更有这样一个椭圆,椭圆的很多内在性质都以她作为分水岭,她是谁呢? 相似文献
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椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形 .下面给出关于椭圆特征焦点三角形顶角的一个比较有用的性质及其应用 ,以引起同学们的注意 .性质 椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点对椭圆两焦点所成张角中最大的角 .证明 不妨设椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1(a>b >0 ) ,两焦点F1 (-c ,0 ) ,F2 (c,0 ) ,α为椭圆特征焦点三角形的顶角 ,P是椭圆上的任意一点 ,则 0 <α <π ,|PF1 | + |PF2 | =2a ,|F1 F2 | =2c.当P与椭圆长轴的端点重合时 ,∠F1 PF2=0 ,显然α >∠F1 PF2 .… 相似文献
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椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形 .下面给出关于椭圆特征焦点三角形顶角的一个比较有用的性质及其应用 ,以引起同学们的注意 .性质 椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点对椭圆两焦点所成张角中最大的角 .证 不妨设椭圆方程为x2a2 + y2b2 =1 (a >b>0 ) ,两焦点F1( -c ,0 ) ,F2 (c ,0 ) ,α为椭圆特征焦点三角形的顶角 ,P是椭圆上的任意一点 ,则 0 <α <π ,|PF1| + |PF2 | =2a ,|F1F2 | =2c.当P与椭圆长轴的端点重合时 ,∠F1PF2 =0 ,显然α >∠F1PF2 .当P… 相似文献
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<正> 在一类混合型偏微分方程的研究中,华罗庚提出了一个新的观点:把它看成为单位圆(推广便是典型域)的 Laplace-Beltrami 算子,即和空间运动群下不变 Riemann 度量对偶的不变算子.这个方程在区域的内部是椭圆的,在区域的外部是双曲的,而在区域的边界上是退化的.熟知在椭圆区域有 Dirichlet 问题,其解可用 Poisson 积分表出.华罗 相似文献
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笔者近日在对圆锥曲线内点性质研究时 ,发现了圆锥曲线内点的一个新颖有趣的性质 .图 1性质 1 设P(x0 ,y0 )是椭圆E内部一定点 (异于E的中心O) ,过点P引直线l交椭圆E于A、B两点 ,以OA、OB为邻边作平行四边形 (当A、O、B三点共线时 ,可视为退化情形 ,下同)OAQB ,则点Q的轨迹是以P为中心且与椭圆E有相同离心率的椭圆E′(当原曲线为圆时 ,点Q轨迹是圆 ) ,同时椭圆E′过E的中心 .图 2性质 2 设P(x0 ,y0 )是双曲线E内部 (含焦点的区域 )一定点 ,E的中心为O .过P引直线l交双曲线E于A、B两点 ,以OA、… 相似文献
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《数学通报》2012年10月号问题2087(本文称命题1)为:命题1椭圆的焦点在椭圆切线上的射影的轨迹是以椭圆中心为圆心且过长轴顶点的圆.问题提供者在2012年11期给出的解法思路是:先解方程组求出焦点在椭圆切线上的射影的坐标,再求出射影的轨迹方程,解答比较繁琐.本文抓住问题的本质,利用椭圆切线的性质从几何角度给出问题的简证,并将结论拓展到双曲线和抛物线,最 相似文献
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椭圆、双曲线和抛物线这三种圆锥曲线具有不同的数量特征 ,同时这些特征又是有机的统一 .例如 :以离心率 e为特征 ,我们知道( )椭圆 :0 1 .又如 :若记圆锥曲线的内接三角形面积与对应的切线三角形面积之比为 m,则[1]( )椭圆 :0 2实际上圆锥曲线中还有一个尚未引起人们注意的角 ,它也可以展现出圆锥曲线间的差异及统一性 .定理 过圆锥曲线的焦点 F作弦 AB,过端点 A、B分别作对应准线的垂线 ,垂足为A′、B′,记∠ A′FB′=θ,则 ( )椭圆 :0 <θ <… 相似文献
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题目已知椭圆 的焦点为F1,F2直线l过F1且与椭圆交于A、B两点,求△F2AB面积的最大值. 这是一道常见题,解法较多.湖北《中学数学》2001年第11期P10页提供了以下四条解题途径: (1)以弦AB为底,点F2到直线l的距离为高解之; (2)以|F1F2|为底,点A、B到x轴的距离|y1|,|y2|为高解之; 相似文献
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1.问题的提出文[1]对关联椭圆准线的若干性质进行再探究,给出了三条性质及推论,其中性质2是:如图1,F为椭圆x2/a^(2+y2/b2=1(a>b>0)的左焦点,过左准线l′与x轴的交点P作直线l与椭圆分别交于A,B两点. 相似文献
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文[1]证明了椭圆的内接三角形、以椭圆长轴为一底边的椭圆内接梯形及以椭圆短轴为一底边的椭圆内接梯形,其面积有相同的最大值.笔者最近也对椭圆内接多边形进行了研究,在这对文[1]进行推广. 相似文献
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性质1 如图1,Ox轴上方是椭圆x2/a2+y2+b2=1(a>b>0)的上半部分,Ox轴下方是矩形ABCD,其中矩形的长AB等于椭圆的长轴长、矩形的宽等于椭圆的短轴长.在椭圆上任取一点P(端点A、B除外),连结PC、PD分别交AB于点E、F,则AE2+BF2<AB2.…… 相似文献
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最近笔者对椭圆和双曲线作了些研究 ,得到了一个十分有趣性质 .定理 1 设P是椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a>b>0 )上的一点 ,E、F是左 ,右焦点 ,A ,B是左 ,右顶点 ,∠EPF =2α ,∠APB =β,e是离心率 ,则e=- 2cotαcotβ α∈ 0 ,π2 ,β∈ π2 ,π ,(其中yP ≠ 0 ) .图 1证明 对于△PEF ,由题设及椭圆焦点三角形的面积公式知S△PEF =b2 ·tanα .另一方面 ,S△PEF =12 |EF|·|yP| ,从而b2 tanα=c|yP| ,故 |yP|=b2ctanα①对于△APB ,不妨设点P(x ,y)在x轴上方 ,如图 1 ,由两条直线所成的角的公式得tanβ=kPB -kPA1 +… 相似文献
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文[1]给出了椭圆、双曲线的一个如下的性质:性质1已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),C,D是椭圆上x轴同侧的两点,A,B分别是椭圆的左右顶点,直线AC,BD交于点P,直线AD,BC交于点E,直线PE交x轴于点M,则PE⊥x轴,且PE平分∠CMD. 相似文献
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1 问题的提出 :1 995年文科第 2 6题如下 :已知椭圆x22 4+y21 6=1 ,直线l:x =1 2 ,P是l上一点 ,射线OP交椭圆于点R ,又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2 .当点在l上移动时 ,求点Q的轨迹方程 ,并说明轨迹是什么曲线 .其答案是 :Q的轨迹方程为(x -1 ) 2 +y223=1 (其中x ,y不同时为 0 ) .从上面答案我们也许看不出什么有趣的东西 ,但将上面答案展开得 :x22 4+y21 6=x1 2 ,并对比已知条件中两条曲线的方程就不能不引起一个对数学问题感兴趣的人的思考了 .无独有偶的是 1 995年高考理科第 2 6题 :已知椭圆x22 4+y21 6=1 ,直线l:x1 … 相似文献
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性质 如图 1 ,T1 (-t,0 ) ,T2 (t,0 ) (0 b >0 )的长轴A1 A2上关于椭圆中心O对称的两定点 ,P是椭圆上的动点 ,当点P沿着弧A2 PB2 图 1 椭圆从A2 向B2 运动时 ,则∠T1 PT2 逐渐变大 ,并且当点P与点B2 重合时 ,∠T1 PT2 达最大值 .证 连结OP ,记|PT1 |=r1 ,|PT2 | =r2 ,|OP|=r,在△POT1 中 ,由余弦定理知 r21 =t2 +d2 - 2tdcos∠POT1 (1 )同理 r22 =t2 +d2 +2tdcos∠POT1 (2 )由 (1 ) +(2 )得r21 +r22 =2t2 +2d2 .又在△PT1 T2 中 ,由余弦定理知cos∠T1 PT2 =r21 +r22 - 4t22… 相似文献
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圆锥曲线焦半径的一个性质 总被引:1,自引:1,他引:0
定理 1 A1 ,A2 为椭圆长轴上的顶点 ,F为椭圆的焦点 ,l为椭圆的与F对应的准线 ,P是椭圆上任一点 (除A1 、A2 外 ) ,设A1 P、A2 P分别与l交于M、N ,则①MF⊥NF ,②以MN为直径的圆与PF相切于F ,③FM平分∠PFA2 (如图 1 ) .图 1证明 ①设椭圆方程为b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a >b>0 ) ,P(acosα ,bsinα) ,F(c ,0 ) ,l:x =a2c,A1 (-a ,0 ) ,A2 (a ,0 ) .则A1 P : y=bsinαa(cosα +1 ) (x+a) ,A2 P : y =bsinαa(cosα - 1 ) (x -a) ,容易求得M a2c… 相似文献
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椭圆的内接三角形的一个性质 总被引:1,自引:0,他引:1
文[1]得出了双曲线的内接三角形的一个性质:即双曲线的内接三角形的重心不可能是双曲线的中心.笔者通过对椭圆进行探究,也发现了椭圆的内接三角形的一个性质. 相似文献