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文 [2 ]推广了文 [1]的命题 ,本文进一步推广文[2 ]的命题 .定理 1 常态二次曲线Φ :Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F =0上有一定点P(x0 ,y0 )和异于点P的两动点Q ,R ,则kPQ·kPR=λ(≠ AC)为定值的充要条件是动直线QR恒过定点M (x0 Φ1λC -A,y0- Φ2λC -A) ;kPQ·kPR =λ =AC 的充要条件是kQR =- λΦ2Φ1(其中Φ1=2Ax0 By0 D ,Φ2 =Bx0 2Cy0 E) .证 作平移 :x′ =x -x0 ,y′ =y - y0 ,代入Φ(x ,y) =0得Ax′2 Bx′y′ Cy′2 Φ1x′ Φ2 y′ =0 (1)设Q… 相似文献
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抛物线有一个有趣的命题:过定点M(2p,0)的动直线l与抛物线C:y2=2px(p>0) 相交于P、Q两点,O为坐标原点,则∠POQ恒为直角.与其等价的命题是:过原点O作抛物线y2=2px(p>0)的两条互相垂直的弦OP、OQ,则直线PQ恒过定点M(2p,0).文[1]给出此命题的一个推广,本文从另一角度给出此命题的推广.命题1 设M(x0,y0)为抛物线y2=2px上的一个定点,过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP,MQ,则直线PQ恒过定点M′(x0 2p,-y0)证 设PQ的方程为:x=my n(n≥0),代入y2=2px 得 y2-2pmy-2pn=0.由韦达定理得:y1 y2=2pm,y1y2=-2pn(1)其中y1,y2… 相似文献
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本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题 ,得到了十个有趣的结论 .为方便读者摘用 ,现用定理形式叙述如下 :定理 1 抛物线的所有焦半径中 ,以过顶点的焦半径为最短 .证明 不妨设抛物线的极坐标方程为 ρ=p1 -cosθ,则显然有 ρ≥ p2 ,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π(k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时 .定理 2 抛物线的过焦点的所有弦中 ,以抛物线的通径为最短 .证明 设抛物线极坐标方程为 ρ =p1 -cosθ,焦点弦为AB ,且设A(ρ1 ,θ) ,B(ρ2 ,θ +π) ,则有|AB|=ρ1 +ρ2 =p1 -cosθ+ p1 -cos… 相似文献
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《数学通报》2 0 0 0 (7)文 [1 ]给出了抛物线的一个几何性质 ,本文把它记为定理 1 设A是抛物线y2 =2px(p>0 )的轴上一点 (位于抛物线内部 ) ,B是A关于y轴的对称点 ,(1 )若过A点引直线与这抛物线相交于P ,Q两点 (图 1 ) ,则∠PBA =∠QBA ;(2 )若过B点引直线与这抛物线相交于P ,Q两点 (图 2 ) ,则∠PAB+∠QAB =1 80°.图 1图 2 定理 1揭示了抛物线对称轴上任意关于顶点对称的两点所具有的性质 ,我们自然要问 :椭圆、双曲线有没有类似的性质呢 ?定理 2 设A ,B是椭圆x2a2 +y2b2 =1 (a>b>0 )长轴上分别… 相似文献
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关于椭圆的一个命题 总被引:1,自引:0,他引:1
设P1P2 P3 P4 为椭圆 x2a2+ y2b2 =1的内接矩形 (如图1) ,则P1P2 ,P1P4 分别平行于x轴 ,y轴 .证 不妨设a >b ,Pi(acosαi,bsinαi) (i =1,2 ,3,4 ) ,0≤α1<α2 <α3 <α4 <2π .因为矩形两条对角线相交于一点 ,且相互平分 ,所以acosα1+acosα3 =acosα2 +acosα4 ,bsinα1+bsinα3 =bsinα2 +bsinα4 ,即 cosα1+cosα3 =cosα2 +cosα4sinα1+sinα3 =sinα2 +sinα4(1)(2 )∴ (cosα1+cosα3 ) 2 + (sinα1+sinα3 ) 2=(cosα2 … 相似文献
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抛物线y =ax2 +bx+c如果与x轴有两个交点 ,以这两点及与y轴交点为顶点的三角形是等腰三角形的充分必要条件是b =0或者b2 =ac(ac+3 ) 2ac+2 .下面加以分析 :(1 )不难证明当b=0时 ,△ABC为等腰三角形 (AC =BC) .当AC =BC时 ,b=0 .图 2图 1(2 )如图 2 ,设A(x1 ,0 ) ,B(x2 ,0 ) .C点坐标为 (0 ,c) .因此 x1 =-b- b2 - 4ac2a ,x2 =-b +b2 - 4ac2a .又∠BOC =90°由勾股定理知BC2 =OB2 +OC2= -b+b2 - 4ac2a2 +c2 而AB=b2 - 4aca(这里以a>0为例 ) .当AB =BC时 ,则b2 -… 相似文献
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在文[1]、[2]所给三个解析几何命题的基础上,进一步分析探究,得到了圆锥曲线中与三角形的内切圆、旁切圆有关的几个拓展命题. 相似文献
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从统一方程看椭圆抛物线和双曲线之间的联系田蓉(北京职工医学院100036)众所周知,椭圆、抛物线和双曲线可以统一地定义为到定点距离与到定直线距离之比是常数的动点轨迹,在通常的解析几何教材中,只是在极坐标下按这个定义给出统一方程,却没有再从方程出发而作... 相似文献
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有这样的一道解析几何题:已知直线l:y=kx+b与抛物线y^2=4x相交于A、B两点,|AB|=5,且AB的中垂线在x轴上的截距为7/2,求直线l的方程. 相似文献
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抛物线的定长弦中点横坐标的最小值 总被引:1,自引:0,他引:1
促使我思考“抛物线的定长弦中点横坐标的最小值”这个问题是在教学中遇到了下面一道题 :定长为 5的线段AB的两端点在抛物线y2 =4x上移动 ,设线段AB的中点为M ,求点M到准线的最短距离 .为该题提供的参考答案是这样解的 :把弦AB分成两类 :(1 )弦AB过焦点F时 ,过A ,M ,B分别作准线的垂线 ,垂足分别为A′,M′,B′ .|MM′|=12 (|AA′|+|BB′|)=12 (|AF|+|BF|)=12 |AB| =52(2 )弦AB不过焦点F时 ,过A ,M ,B分别作准线的垂线 ,垂足分别为A′,M′,B′ .|MM′|=12 (|AA′|+|BB′|)=… 相似文献