圆内接闭折线垂心的一个性质

众所周知 ,三角形的垂心有如下性质[1] :定理 1　设△ ABC的外接圆半径为 R,垂心为 H ,则 ( AB2 BC2 CA2 ) ( H A2 H B2 H C2 ) =1 2 R2 .将这个定理推广到一般圆内接闭折线中 ,可得定理 2　设闭折线 A1A2 A3 … An A1内接于⊙ ( O,R) ,其垂心为 H ,则　 ∑ni=1Ai A2i 1 ∑ni=1H A2i =n( n 1 ) R2 ,( * )其中 An 1为 A1.证明　以圆心 O为原点建立直角坐标系x Oy(图略 ) ,设顶点 Ai 的坐标为 ( xi,yi) ( i =1 ,2 ,… ,n) ,垂心 H的坐标为 ( x H,y H) ,则有[2 ]x H =∑ni=1xi,　 y H =∑ni=1yi. 1由两点间的距…     

多面体重心的两个性质

本文首先应用解析法 ,建立“点到平面的有向距离”概念 ,然后给出多面体重心的两个有趣性质 .定义 1　在空间直角坐标系内 ,设点P的坐标为 (x0 ,y0 ,z0 ) ,平面π的方程为Ax +By +Cz +D=0 .令d =Ax0 +By0 +Cz0 +DA2 +B2 +C2 (1)则d称为点P到平面π的有向距离 .多面体的重心定义如下 :定义 2　在空间直角坐标系内 ,设多面体A1A2…An 的顶点Ai 的坐标 (xi,yi,zi) (i =1,2 ,… ,n) .令　x′ =1n ∑ni=1xi,y′ =1n ∑ni=1yi,z′ =1n ∑ni=1zi (2 )则点G(x′ ,y′z′)称为顶点系的重心 .由定义 1,2 ,我们获得了下述性质 .定理 1　在空间…     

正多边形上的最大点

设有正n(n≥3)边形A1…An,其中Ai的坐标为(xi,yi),i=1,…,n,对正n边形上任一点X(x,y),记f(X)=n∑i=1XAi=n∑i=1√(x-xi)2 (y-yi)2=f(x,y) (1)     

多面体的顶点系重心的优美性质

假设一个多面体的所有顶点为 A1,A2 ,… ,An( n>3) ,这个多面体记作 V( n) .定义 1　建立空间直角坐标系 ,设多面体 V( n)的顶点 Ai 的坐标为 ( xi,yi,zi) ( i=1 ,2 ,… ,n) ,令x=1n ni=1xi,y=1n ni=1yi,z=1n ni=1zi,( * )则点 G ( x,y,z)称为多面体 V ( n)的顶点系重心 .本文揭示多面体的顶点系重心的若干优美性质 .引理　设多面体 V( n)的顶点系重心为 G,则对于空间的任一点 P,有 ni=1PA2i=n· PG2 ni=1GA2i. ( )证明　以重心 G为原点 O建立空间直角坐标系 (图略 ) ,设顶点 Ai 的坐标为 ( xi,yi,zi)( i=1 ,2 ,… ,n) ,点 P的…     

四面体的外p号心及其性质

本文拟用解析法建立四面体的外 p号心的概念 ,并探讨其相关性质 .设四面体A1A2 A3A4 的外接球球心为O ,以O为原点 ,建立空间直角坐标系Oxyz ,设Ai 的坐标为(xi,yi,zi) (i=1,2 ,3,4 ) ,令 xp=1p∑xi, yp=1p∑yi, zp=1p ∑zi(其中 p∈N ,∑为i=1,2 ,3,4的循环和 ) ,则称点Qp1p∑xi,1p∑yi,1p∑zi 为四面体A1A2 A3A4的外 p号心 ,于是H (∑xi,∑ yi,∑zi) , H 12 ∑xi,12 ∑yi,12 ∑zi ,F 13∑xi,13∑yi,13∑zi ,G14 ∑xi,14 ∑yi,14 ∑zi 分别是四面体A1A2 A3A4 的外 1,2 ,3,4号心 ;这里外 4号心G便是四面体A1A2 A3A4 的重心 ;如果…     

对两个代数不等式的探索

文[1]给出了如下定理及猜想:定理1对于任意实数x,y,a,b有(x-a)2 (y-b)2≥(x2 y2-a2 b2)2.定理2已知x,y,xi,yi∈R(i=1,2,…,n),且x2 y2≥n∑i=1xi2 yi2,则(x-n∑i=1xi)2 (y-n∑i=1yi)2≥(x2 y2-n∑i=1xi2 yi2)2(1)猜想,已知x,y,xi,yi∈R(i=1,2,…,n),则(x-n∑i=1xi)2 (y-n∑i=1y     

2005年湖南省高考数学试题(理10)的探究

2005年湖南省高考数学试题(理10):设P是△APC内任意一点,S△ABC表示△ABC面积,λ1=S△PBCS△ABC,λ2=S△PCAS△ABC,λ3=S△PABS△ABC,定义f(P)=(λ1,λ2,λ3),若G是△ABC的重心,f(Q)=(12,13,16),则()(A)点Q在△GAB内.(B)点Q在△GBC内.(C)点Q在△GCA内.(D)点Q与点G重合.此题是较好的能力创新题,主要考察学生对轨迹思想的认识.由题目中的定义,参照有向线段定比分点知识,我们可以做以下定义:定义1设P是n边形A1A2…An(n≥3)内任意一点,S表示该n边形的面积,1λ=S△PA2A3S,λ2=S△PA3A4S,…,nλ=S△PA1A2S,若定义…     

三角形重心向量性质的进一步推广

文[1]给出了三角形重心的一个向量性质:命题1已知G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=x AB,AN=y AC,则图2命题2图1x 1y=3.并把上述结论推广到三棱锥:命题2过三棱锥P-ABC的重心G的平面分别与三条侧棱相交于A1,B1,C1,且PA1=x PA,PB1=yPB,PC1=z PC,则1x 1y 1z=4.文[2]将上述结论推广到空间任意有限点的重心上,得到:图3定理1图定理1设P,A1,A2,…,An是空间任意n 1个点,G是这n 1个点构成的有限点集V(V={P,A1,A2,…,An})的重心,平面π过G且与直线PAi(i=1,2,…,n)相交于Bi,P不在平面π上,且有PBi=λi…     

柯西不等式的两个推论及应用

在中学数学中常遇到如下一个不等式:(n∑i=1xiyi)2≤(n∑i=1xi2)·(n∑i=1yi2),其中xi,yi为任意实数,且等号成立当且仅当xi=kyi(i=1,2,…,n),这就是著名的柯西不等式.推论1已知ai(i=1,2,…,n)是正数,xi∈R(i=1,2,…n)且n∑i=1ai=1,则n∑i=1aixi2≥(n∑i=1aixi)2.证∵ai∈R (i=1     

四面体的k号心及其性质

本文拟用解析法 ,建立四面体的 k号心的概念 ,并研究它的性质 .定义 1　在空间任取一点 P,以 P为原点建立空间直角坐标系 ,设四面体 A1A2 A3 A4的顶点 Ai 的坐标为 (xi,yi,zi) (i=1,2 ,3,4 ) ,对非零实数 k,令x′=1k 4i=1xi,y′=1k 4i=1yi,z′=1k 4i=1zi,则点 Q(x′,y′,z′)称为四面体 A1A2 A3 A4关于点 P的 k号心 .显然 ,四面体关于点 P的 4号心就是四面体的重心 .定理 1　设四面体 A1A2 A3 A4关于点 P的 k号心为 Q,其重心为 G.则 Q,G,P三点共线 ,且 G分有向线段 QP所成的比为 (4 - k) / k.证　应用同一法 .在有向线段 QP…     

正多边形两个性质的简证及推广

文[1]证明了正多边形的两个性质. 性质1设正n边形A1A2 …An的外心为O,则△AiAi+lAn的重心Gi(i=1,2,…,n-2,n≥5)共圆,圆心C在AnO上,且OC∶ CAn=1∶2. 性质2设正n边形A1A2 …An的外心为O,则△AiAi+1An的垂心Hi(i=1,2,…,n-2,n≥5)共圆,圆心就是顶点An. 文[1]的证明过程较繁琐,尤其是性质1.本文先给出性质的简洁证法,然后推广这一性质.     

涉及凸n边形内部一点的一个不等式

设 P是凸 n边形 A1A2 … An 内一点 ,ri 为P至边 Ai Ai+ 1的距离 ,wi是∠ Ai PAi+ 1=2αi的角平分线 ,Ri=PAi,ti =Ri Ri+ 1cosαi,i=1 ,2 ,… ,n,An+ 1=A1.文献 [1 ]中 ,H.C.L enhard证明了不等式 :　　　　∑ni=1Ri ≥ secπn .∑ni=1ti ( 1 )文献 [2 ]中 ,笔者建立了 (其中 s为凸 n边形的半周长 )∑ni=1Ri2 - ∑ni=1ti2 ≥ s2 ( 2 )并且根据不等式 ( 1 ) ,( 2 )证明了 ,当 secπn ≥ k≥ cosπn 时 ,有∑ni=1Ri - k∑ni=1ti ≥1 - kcosπnsin πns ( 3)本文应用不等式 ( 1 ) ,( 2 )建立类似于不等式( 3)的一个结论 .定理　设 P…     

圆内接闭折线垂心的两个性质

三角形有下面的性质[1](如图1):图1定理0设P是△ABC外接圆上弧BC的中点,Q是P的对径点,R是P关于边BC的对称点,H是△ABC的垂心,则AHRQ是平行四边形.这个性质是夫尔曼(Fuhrmann)发现的(三角形三顶点把外接圆分成三段弧的中点关于相应边的对称点所构成的三角形,被称为夫尔曼三角形)[1].本文将推广这个性质,证明圆内接闭折线的垂心的两个性质.为此,我们约定:符号A(n)表示平面内任意一条闭折线A1A2A3…AnA1.定理1设闭折线A(n)内接于⊙O,其垂心为H,Hjk是闭折线A(n)的2级顶点子集Vjk={A1,A2,…,Aj-1,Aj 1,…,Ak-1,Ak 1,…,An}的垂心…     

平面闭折线的k号心及其性质

本文拟用解析法,建立平面闭折线的k号心的概念,并研究它的性质. 定义1 在平面闭折线以A1A2…An所在平面内任取一点P,以P为原点建立平面直角坐标系,设顶点Ai的坐标为(xi,yi)(i=1,2,…,n),对非零实数k,     

一类二次方程组的一个定理及其运用

定理　在方程组∑ni=1xi=A∑ni=1x2i=B中 ,A、B是实数 ,记Δ=n B-A2 .若 xi∈ R( i=1,2 ,… ,n) ,则Δ≥ 0 ,当且仅当x1 =x2 =… =xn=An时 Δ=0 .证明　 ∑1≤ i相似文献   

应用凸多边形的重心公式证一类三角不等式

物理学告诉我们 :对于均匀分布的凸ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ,若各顶点的坐标依次是Ａ1 (ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ａ2 (ｘ2 ,ｙ2 ) ,Ａ3(ｘ3,ｙ3) ,… ,Ａｎ(ｘｎ,ｙｎ) .则这个凸ｎ边形的重心 (几何重心 )Ｇ的坐标是1ｎ∑ｎｉ =1ｘｉ,1ｎ∑ｎｉ=1ｙｉ .而且重心Ｇ位于凸ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 的内部 ,当这个凸ｎ边形存在外接圆时 .重心Ｇ必在外接圆的内部 ,这个外接圆的圆心Ｑ到重心Ｇ的距离小于外接圆的半径Ｒ .即｜ＱＧ｜ <Ｒ.特别地 ,当凸ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 的各顶点Ａ1 ,Ａ2 ,… ,Ａｎ 重合时 ,｜ＱＧ｜=Ｒ ,利用物体的重心公式Ｇ 1ｎ∑ｎｉ =1ｘｉ…     

关于Fermat点的两个不等式的加强

设△ ABC的三边长为 a、b、c,其半周长、外接圆半径、内切圆半径、面积分别为 s、R、r、△ ;F是△ ABC内的 Fermat点 ,延长 AF、BF、CF分别交对边于 A′、B′、C′,记 FA =u,FB =v,FC =w,AA′=x,BB′=y,CC′=z;以∑ 表示循环和 .文 [1 ]证明了如下不等式 :　　　 u v w≤ 23s,( 1 )　　　 x y z≤ 3s. ( 2 )本文给出上述不等式的加强 .定理 1　在△ ABC中 ,有u v w≤ s ( 6 - 33) r.( 3)引理 1 [2 ]u v w =12 ( ∑a2 ) 2 3△ ( 4 )　　 uv vw uw =43△ . ( 5)定理 1的证明运用引理 1中的 ( 4 )式 ,得(…     

平面四边形的一个性质的推广

文[1]给出了四边形如下性质: 定理在四边形ABCD中,G1,G2,G3,G4分别为△ABCD,△CDA,△DAB,△ABC的重心,则S四边形G1G2G3G4=1/9S四边形ABCD.     

不等式研究成果集锦(12)

14 5　记 n个非负实数 x1,… ,xn 的初等对称函数为Ek( x1,… ,xn) =∑1≤ i1<… n时 ,Ek( x1,… ,xn) =0 .设 xi>0 ,i =1 ,… ,n,n≥ 2 ,且∑ni=1xi =1 ,则对于 k =1 ,2 ,… ,n - 1 ,有Ek( 1x1- 2 ,… ,1xn- 2 )≥ Ckn( n - 2 ) k.(石焕南 ,2 0 0 0 ,3)1 4 6　设△ ABC为锐角三角形 ,三边 BC= a,CA =b,AB =c,与其对应的中线、类似中线、旁切圆半径分别为 ma、mb、mc,ka、kb、kc,ra、rb、rc,△ ABC的外接圆半径与内切圆半径分别为 R与 r,则( i) 2 R∑k…     

关于圆外切闭折线周长的一个不等式

设△ ABC的三边长为 a,b,c,其内切圆半径为 r,则有下面熟知的不等式 :　　 a b c≥ 6 3r ( 1 )当且仅当△ ABC为正三角形时取等号 .本文将推广这个不等式 ,证明关于圆外切闭折线周长的一个不等式 .定理 1　设闭折线 A1A2 A3 … An A1有内切圆⊙ ( I,r) ,闭折线的环数为 t,各边长为| Ai Ai 1| =ai( i=1 ,2 ,… ,n,且 An 1为 A1) ,则有　 ∑ni=1ai ≥ 2 nrtan tnπ ( 2 )当且仅当闭折线为正星形时取等号 .图 1证明　如图 1 ,设边Ai Ai 1与圆 I相切于 Bi,连Ai I,Bi I,Ai 1I,则ai =| Ai Bi| | Bi Ai 1|=r( cot Ai2 co…