(P~2+k)~(1/2)是无理数的证明

<正>定理若p为正整数,k为半偶数,则(p²+k)(1/2)是无理数.先给出半偶数的概念:能被2整除但不能被4整除的偶数称为半偶数.如2,6,10,14等.注意,定理中的半偶数的条件是必要的,否则定理不真.如(22+k)(1/2)是无理数.先给出半偶数的概念:能被2整除但不能被4整除的偶数称为半偶数.如2,6,10,14等.注意,定理中的半偶数的条件是必要的,否则定理不真.如(2²+12)(1/2)=16不是无理数,原因为12不是半偶数.下面用穷举反证法分两部分证明定理.     

关于Pell方程组x2-(m2-1)y2=z2-(n2-1)y2=1

设m,n,L为正整数,本文证明了:如果mε,ε∈(0,1),且m>(123789LL(1/2))⁽1/(1-ε)),或j>10.25×10¹²log⁴(2(L+1)(123789LL(1/2))⁽1/(1-ε))),Pell方程组x²-(m2-1)y²=z²-(n²-1)y²=1的正整数解满足1≤k≤δL²,这里δ∈[1/2(123787LL(1/2))⁽1/(ε-1)),1],以及■且j=k=1或k+2≤j<1/3(5-2ε)k,2|(j+k),k>3/(1-ε),并改进了文[Proc.Amer.Math.Soc.,2015,143(11):4685-4693]的结果.     

2~(1/2)是无理数的另一个简捷证明

<正>有许多方法可以证得2^(1/2)是无理数,这其中可能最著名且历史最悠久的要数欧几里得基于反证法的证明.然而在本文中我们对给出2(1/2)是无理数,这其中可能最著名且历史最悠久的要数欧几里得基于反证法的证明.然而在本文中我们对给出2^(1/2)是无理数的另一种简捷的证法,其实也只需要几句话就可以证明2(1/2)是无理数的另一种简捷的证法,其实也只需要几句话就可以证明2^(1/2)是无理数.证明方法如下:如果2(1/2)是无理数.证明方法如下:如果2^(1/2)是有理数,那么它必然可以写成两个整数的比的形式,对分子分母约分,一定可     

配方法解含a,a~(1/2)的问题

<正>配方法是一种重要的数学方法,过去都是对整式配方,本文举两个对a·a^(1/2)配方的例子.例1如果a+b-2(a-1)(1/2)配方的例子.例1如果a+b-2(a-1)^(1/2)-4(b-2)(1/2)-4(b-2)^(1/2)=3(c-3)(1/2)=3(c-3)^(1/2)-1/2c-5,那么a+b+c的值是().(A)6 (B)9 (C)20 (D)24解将等式右边的式子移到左边,对二次根式配方,得(a-1-2(a-1)(1/2)-1/2c-5,那么a+b+c的值是().(A)6 (B)9 (C)20 (D)24解将等式右边的式子移到左边,对二次根式配方,得(a-1-2(a-1)^(1/2)+1)+(b-2-4(b-2)(1/2)+1)+(b-2-4(b-2)^(1/2)+4)+1/2(c-3-6(c-3)(1/2)+4)+1/2(c-3-6(c-3)^(1/2)+9)=0,     

例谈形如(a/b)~(1/2)的二次根式的化简

<正>二次根式的化简是初中数学中的重要内容,也是学好实数运算的基础.初中数学中有两类二次根式需要化简,一类是被开放数含有能开得尽方的因数,如8^(1/2),(27)(1/2),(27)^(1/2),(48)(1/2),(48)^(1/2)等;一类是被开方数是分数     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)的异同

<正>学习二次根式时,经常要遇到与二次根式有关的两个重要式子:(a^(1/2))(1/2))²与(a2与(a²)2)^(1/2).这两个式子在形式上很相近,既有不同点又有相同点,因此一不小心就很容易把它们混淆了.一、不同点1.运算顺序不同(a(1/2).这两个式子在形式上很相近,既有不同点又有相同点,因此一不小心就很容易把它们混淆了.一、不同点1.运算顺序不同(a^(1/2))(1/2))²是对实数a先开方再平方,表示a的算术平方根的平方;(a2是对实数a先开方再平方,表示a的算术平方根的平方;(a²)2)^(1/2)是对实数a先平方再开方,表示a的平方的算术平方根.     

数学题中的2020

<正>1.是否存在正整数x、y,使x²+y²=2020成立?若成立,求出x、y;若不存在,请说明理由.解析本题主要考查数学中的分类讨论思想.①若x、y为一奇一偶,由于奇数的平方为奇数,偶数的平方仍为偶数,于是方程左边为奇数,而右边为偶数2020,原方程无解.②若x、y均为奇数,令x=2k+1,y=2m+1,则(2k+1)²+(2m+1)²=2020,展开得4k²+4k+4m²+4m=2018,于是有2k²+2k+2m²+2m=1009,     

用唐诗《悯农》做数字谜

<正>四位数2017可拆分为五个正整数的平方和,满足(1)2017=锄²+禾2+禾²+日2+日²+当2+当²+午2+午²(2)2017=汗2(2)2017=汗²+滴2+滴²+禾2+禾²+下2+下²+土2+土²(3)2017=谁2(3)2017=谁²+知2+知²+盘2+盘²+中2+中²+餐2+餐²(4)2017=粒2(4)2017=粒²+粒2+粒²+皆2+皆²+辛2+辛²+苦2+苦²其中(1)四个偶数依次差2,(2)四个偶数依次差4,(3)四个偶数依次差10,(4)四个偶数的平均数为20,一个奇数为17.     

在1/2Z~+中的(F-Z_1)-可流拟阵(M-Z_1)/Z_2

研究在1/2Z⁺中的F-可流拟阵的幼阵的可流性.首先给出F-可流拟阵的充要条件及在1/2Z+中的F-可流拟阵的幼阵的可流性.首先给出F-可流拟阵的充要条件及在1/2Z⁺中是F-可流拟阵的定义.证明了辅助命题:若拟阵是无环元的,则它的每个元素都恰在k个余极小圈之中;对满足一定的条件的极小圈集合,成立最小极小圈集合的等式.设映射p′在幼阵中满足1/2Z+中是F-可流拟阵的定义.证明了辅助命题:若拟阵是无环元的,则它的每个元素都恰在k个余极小圈之中;对满足一定的条件的极小圈集合,成立最小极小圈集合的等式.设映射p′在幼阵中满足1/2Z⁺中(F-Z_1)-可流拟阵的不等式,由p′定义p.证明p在拟阵中满足同样的不等式.由映射Φ满足是12/Z+中(F-Z_1)-可流拟阵的不等式,由p′定义p.证明p在拟阵中满足同样的不等式.由映射Φ满足是12/Z⁺中F-可流拟阵的等式,可找到最小属于幼阵的极小圈,定义Φ′(C′)则可证明Φ′满足在1/2Z+中F-可流拟阵的等式,可找到最小属于幼阵的极小圈,定义Φ′(C′)则可证明Φ′满足在1/2Z⁺中是(F-Z_1)-可流的等式.即由在1/2Z+中是(F-Z_1)-可流的等式.即由在1/2Z⁺中F-可流拟阵的充要条件,证明了幼阵在1/2Z+中F-可流拟阵的充要条件,证明了幼阵在1/2Z⁺中是(F-Z_1)-可流的.     

读者鸡年春节好

<正>(1)送²+申2+申²+猴2+猴²+迎2+迎²+酉2+酉²+鸡2+鸡²=2017(2)读者金鸡年好÷金鸡年好读者=鸡(3)(喜+迎+春+节)2=2017(2)读者金鸡年好÷金鸡年好读者=鸡(3)(喜+迎+春+节)⁴=喜迎春节(4)(恭贺金鸡)4=喜迎春节(4)(恭贺金鸡)²=□□□□恭贺金鸡.     

椭圆曲线y~2=px(x~2+2)在p≡1(mod 8)时的正整数点

设p是适合p≡1(mod 8)的奇素数.运用二次和四次Diophantine方程的性质给出了椭圆曲线E:Y²=px(x2=px(x²+2)有正整数点(x,y)的判别条件,并且证明了:当p<100时,该曲线没有正整数点.     

素数k次方和的非线性型的整数部分

运用Dawmport-Heilbronn方法证明了:如果μ_1…,μ_r是不全为负的非零实数,至少一个μ_j(1≤j≤r)是无理数,k,m,r是正整数,k≥4,r≥2^(k-1)+1,则存在无穷多素数p_1,…,p_r,p,使得[μ_1p_1(k-1)+1,则存在无穷多素数p_1,…,p_r,p,使得[μ_1p_1^k+…+μ_rp_rk+…+μ_rp_r^k]=mp.特别地,[μ_1p_1k]=mp.特别地,[μ_1p_1^k+…+μ_rp_rk+…+μ_rp_r^k]可表示无穷多素数.     

两道自主招生考题的多种解法

<正>仔细研究2016年北京大学博雅计划试题,虽说都是选择题,但有一道题目在解法上值得研究和思考.题1已知a+b+c=1,则(4a+1)^(1/2)+(4b+1)(1/2)+(4b+1)^(1/2)+(4c+1)(1/2)+(4c+1)^(1/2)的最大值与最小值的乘积属于区间( ).(A)[10,11)(B)[11,12)(C)[12,13)(D)前三个答案都不对     

p(2+ap+bp~2)阶单群

<正> 洪加威在[1]中指出,对任一正整数 n,确定阶为 p(kp+1)(kp+2),(k≤n)的单群的工作是能在有限步之内完成的.事实上,他证明了:定理 对每个正整数 n,存在一个整数 m,使得对任意正整数k≤n,素数 p≥m,p(kp+1)(kp+2)阶的单群必同构于 LF(2,p+1)或 LF(2,2p+1).     

从图形中感受无理数

<正>槡同学们知道2^(1/2)、3(1/2)、3^(1/2)和5(1/2)和5^(1/2)-1/2都是无理数.把它们写成小数形式:2(1/2)-1/2都是无理数.把它们写成小数形式:2^(1/2)=1.41421356237309……,3(1/2)=1.41421356237309……,3^(1/2)=1.73205080756887……,5(1/2)=1.73205080756887……,5^(1/2)/2-1=0.6180339887498…….无理数是无限不循环小数.由于"看不到头",所以同学们在理解无理数时总感觉"雾里看花",下面我们从图形中感受一下这三个无理数的存在.     

不等式k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)的几种证法

为什么要证明不等式k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)下面通过实例来说明,高中数学第三册P.147.3(4)题:求证1/1~(1/2)+1/2~(1/2)+…+1/n~(1/2)>n~(1/2)(n>1)。我们用数学归纳法来证明。 (1)当n=2时不等式左边=1/1~(1/2)+1/2~(1/2)=(2+2~(1/2))/2右边=2~(1/2)=(2~(1/2)+2~(1/2))/2,显然不等式成立。 (2)假设当n=k(k>1)时不等式成立,     

对一道中考试题的思考

<正>试题(2015年四川·内江卷)(1)填空:(a+b)(a-b)=_;(a-b)(a²+ab+b2+ab+b²)=_;(a-b)(a2)=_;(a-b)(a³+a3+a²b+ab2b+ab²+b2+b³)=_;(2)猜想:(a-b)(a3)=_;(2)猜想:(a-b)(a^(n-1)+a(n-1)+a^(n-2)b+ab(n-2)b+ab^(n-2)+b(n-2)+b^(n-1))=_(其中n为正整数,且n≥2)(3)利用(2)猜想的结论计算:2(n-1))=_(其中n为正整数,且n≥2)(3)利用(2)猜想的结论计算:2⁹-29-2⁸+28+2⁷-…+27-…+2³-23-2²+2.原解答略.本文给出如下几点思考.一、设想——多思追问如果去掉试题所提供的由特殊到一般的     

椭圆曲线y2=(x+p)(x2+p2)的本原整数点

设p是奇素数.本文给出了椭圆曲线y2=(x+p)(x2+p2)存在可使y为偶数的本原整数点(x,y)的充要条件.     

一道求值赛题的多种解法

<正>试题(2016年四川省初中数学竞赛(初二)初赛)已知实数a,b,c满足abc≠0,且(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)2-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0得,a2-4(b-c)(a-b)=0得,a²-2ac+c2-2ac+c²-4(ab-ac+bc-b2-4(ab-ac+bc-b²)=0,所以a2)=0,所以a²+2ac+c2+2ac+c²-4(ab+bc)+4b2-4(ab+bc)+4b²=0,即(a+c)2=0,即(a+c)²-4b(a+c)+4b2-4b(a+c)+4b²=0.分解因式,得(a+c-2b)2=0.分解因式,得(a+c-2b)²=0.     

相似三角形及其应用(中)

<正>例9(1988全国初中数学联赛第二试试题三)如图13,△PQR和△P′Q′R′是两个全等的等边三角形.六边形ABCDEF的边长分别记为:AB=a_1,BC=b_1;CD=a_2,DE=b_2;EF=a_3,FA=b_3.求证:a_1²+a_22+a_2²+a_32+a_3²=b_12=b_1²+b_22+b_2²+b_32+b_3².证明由等边三角形每个内角都为60°及对顶角相等,我们不难发现:△PAB∽△Q′CB∽△QCD∽△R′ED∽△REF∽△P′AF.