函数概念辨析

同济大学数学教研室主编的高等数学教材给出如下的函数定义：定义1设x和y是两个变量,D是一个给定的数集,如果对于每一个数X∈D,变量y按照一定法则总有确定的数值与它对应,则称y是X的函数．我们在教学过程中发现：对正在学习高等数学的低年级学生,此定义会产生一些歧义,给正确理解函数概念带来一定的困难．这主要是因为定义1中“确定”两字意义不明确造成的．换句话说,给一个工,到底y有确定的多少个数值时,y与工的关系为函数关系．下面来看几个例子．例1在直角坐标系中,考虑方程x2＋y2=a2,因当x取a或一a时,有确定的y值O与x对应…     

对一本教材中函数定义的一点看法

同济大学数学教研室主编的《高等数学》上册 (第四版 )第 6页中有关函数的定义是这样的 :设x、y是两个变量 ,D是给定的数集 ,如果对于每个 x∈D,变量 y按照一定法则总有确定的数值和它对应 ,则称 y是 x的函数 ,记作 y=f (x)。本书第 7页又说到 :如果自变量在定义域内任取一个数值时 ,对应的函数值只有一个 ,这种函数叫单值函数 ,否则叫多值函数。本书第 2 3页求三角函数的反函数时又出现多值函数的说法。如对 y=sinx(x∈ R) ,当求它的反函数时 ,任给 y∈ [-1 ,1 ],有无限多个 x使 sinx=y,于是给出反三角函数 Arcsinx=y,对 y=sinx当 x∈ [-…     

复合函数定义域的求法

1.复合函数的定义设u=g(x)是A到B的函数,y=f(u)是B′到C′上的函数,且BB′,当u取遍B中的元素时,y取遍C(CC′),那么y=f(g(x))就是A到C上的函数.此函数称为由外层函数y=f(x)和内层函数u=g(x)复合而成的复合函数,其中x称为直接变量,u称为中间变量,u的取值范围即为g(x)的值域.     

函数与不等式——高三代数、三角综合复习

§1.函数1.函数与反函数:若对于自变量 x 每一个在允许范围内的确定值,另一个变量 y 有确定的值和它对应,则变量 y 叫做自变量 x 的函数,表成 y=f(x).这关系式中若以 y 为自变量,则变量 x 是 y 的函数,表成 x=f(y),叫做y=f(x)的反函数.     

从一道开放题的变式再来理解函数的概念

对于函数的概念,苏教版必修数学1是站在集合观点上给出的,一般地,设A,B是两个非空数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有惟一的元素y和它对应,这样的对应叫做从A到B的一个函数,通常记为y=f（x）,x∈A,其中所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f（x）的定义域,对于A中的每一个x,都有一个输出值y与之对应,我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．     

正比例函数与反比例函数的思考

上海市初二数学教材第二十一章“正比例函数与反比例函数”共有三个单元:比例及性质;正比例函数与反比例函数;函数在第二单元中,正比例函数的定义为:“一般地,如果变量x、y满足y=kx(k≠0),那么称变量x、y成正比例,函数y=kx为正比例函数”.反比例函数的定义为:“一般地,如果变量x、y满足y=kx(k≠0),那么称变量x、y成反比例,函数y=kx为反比例函数.”本人认为,这样定义存在两点不足:1.它没能反映正比例函数、反比例函数与比例之间的内在联系,甚至让人觉得第一单元和第二单元间并没联系.在第一单元学习了比例,知道比例是形如a∶b=c∶d(bd≠0)的…     

分段函数的复合函数

复合函数是高等数学中一个重要概念,在微分和积分学里都要用到它.所谓复合函数,是这样定义的:如果函数f(u)的定义域是F, 而函数u=g(x)的定义域是G,值域为U(?)F,那么对于G内每一个X,经过中间变量u,相应地得到唯一确定的一个y.即y经过中间变量.u而成为x的函数.这个函数称为复合函数,并记为y=f[g(x)].     

函数图象的概念和反函数的图象

长期以来,关于函数、反函数的图象概念有一种相当流行的看法:认为x=f~(-1)(y)的图象和原来的函数y=f(x)的图象重合或相同,并认为互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称的原因,只不过是在函数x=f~(-1)(y)'中将字母x与y互换的结果。这类看法同关于函数及其图象的基本理论是相抵触的,它混淆了函数的图象和方程的曲线之间的实质区别,因而对函数概念的教学产生有害的影响。虽然《数学通报》早在1983年第4期就发表过文章,对以上错误观点提出了异议,但似乎并未能切中要害,因而没有引起足够的注意。现在这类错误观点反而得     

两个反比例函数图像间的一个有趣性质

对于反比例函数的图像,有一个大家比较熟悉且容易证明的性质:设A是反比例函数y=k/x(k≠0)图像上的任意一点,过A引x、y轴的平行线,分别交y、x轴于点B、C,则|AB|·|AC|=|k|(定值).进一步探究我们发现,将以上性质中的一个反比例函数引申拓     

直线的解析式一定是一次函数吗

我们都知道,在y=kx b(k、b是常数)中,当k≠0时,y是x的一次函数,它的图像是一条直线;当k=0时,y就不是x的一次函数了,此时y=0×x b=b,而对于x的每一个值,y都有唯一的值b与它对应．所以根据函数的概念,y是x的函数,此时我们把y =b叫做常数函数．那么,常数函数y=b的图像是什么呢?     

函数记号和简单函数方程

在数学竞赛中我们经常碰到一些有关函数的试题,这是因为函数概念是数学中一个重要概念。深刻理解函数概念和灵活地利用函数的性质,对于发展创造性思维能力有着十分重要的作用。在这一讲里,我们准备加深对函数记号的理解,并介绍一些简单函数方程的解法。一、函数记号“y是x的函数”这一数学语言,我们通常用记号y=f(x)表示,这里f表示的是x与y之间的一种对     

与面积有关的反比例函数问题

<正>解决与反比例函数有关问题时,经常要用到反比例函数的面积的不变性,即反比例函数图1y=k x的本质特征,两个变量y与x的乘积是一个常数k,由此不难得到反比例函数的一个重要性质:如图1,过双曲线y=k x(k≠0)上一点P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得的矩形的面积S=PM·PN=|x||y|=|xy|=|k|.下面举例介绍一些与面积有关的反比例函数问题.图2例1如图2,Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上,斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E,双曲线y=k x(x>0)的图像经过点A,若△BEC的面积为4,则k     

浅谈求函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的判别式法

函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的求法,很多资料上给出方法是判别式(即△)法,而一旦自变量的范围给以限定,当△法失效时,还有其他方法吗?一般资料上就避而不谈了.要全面系统解决函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的问题,本文以为需解决以下三个事情:①判别式法的过程和依据,②自变量有限制时还能用判别式法吗?③自变量有范围限制,问题可以归结为三类常见函数:反比例函数;y=t+c/t(c＞0);y=t+c/t(c＜0)的值域求法.     

也谈函数概念

读《函数概念辨析》一文（载于本刊第二卷（1999）第三期第12页）后有所感．的确,对一个数学概念下的定义必须准确、明晰,不能有丝毫不确切或含混处．同济大学数学教研室主编的《高等数学｝｝教材中,函数（指的一元单值函数）是这样定义的：定义设X和y是两个变量,D是一个给定的数集,如果对于每一数XED,变量y按照一定法则总有确定的数值与它对应,则称y是X的函数．前文指出,定义中“确定”这两个字应改用“唯一”二字．我想该教材编者愿意,“确定的数值”就是指的‘”唯一的数值”,因为它说的是“数值”而不是“数组”;但毕竟不…     

一类二阶变系数线性微分方程的另二种解法

在文 [1 ]中我们介绍了二阶变系数线性方程y″+[b G( x) -G′( x)G( x) ]y′+c G2 ( x) y =0 ( 1 )的求解方法 (式中 G( x)在某区间 I上具有一阶连续导数 ,且 G( x)≠ 0 ,b和 c为实常数 ) ,即令y′=-G( x) yv ( 2 )将 ( 1 )化为关于新函数 v的一阶可分离变量方程 ,积分后代入 ( 2 )式再积分 ,最后得到方程 ( 1 )的通解。我们称这解法为函数变换降阶法。本文再介绍作者在文 [2 ]中给出的方程 ( 1 )的另二种解法。一、待定常数、函数法我们猜想方程 ( 1 )有形如y =erf (x) ( 3 )的解 ,其中 r为待定常数 ,f( x)为某一待定函数 ,它具有所需…     

浅谈二重极限与累次极限

在学习二元函数极限的过程中,一般的高等数学教材,只介绍二重极限的概念及求法,即当P(x,y)→P_o(x_o,y_o)时,函数Z=f(x,y)的极限,记作(?)或(?).但有些初学者会提出这样的问题:若先将y固定,让x→X_0,然后再让y→y_0,这是什么类型的极限呢?与(?)有何区别?下面就这个问题作一点讨论.对任一给定的y(y≠y_o),若极限(?)存在,结果是y的函数,不妨记作v(?)(y)=(?);又假设极限(?)存在,则称A为f(x,y)先对x后对y的累次极限,记作(?).类似地可以定义先对y后对x的累次极限(?).求累次极限,实质上每一次都是先固定一个变量后对另一个变量求极限.二重极限的定义虽然形式上与一元函数极限的定义相似,但它是一元函数极限概念的推广.     

含变量可转移函数核的Hilbert型级数不等式

设λ_1λ_2≠0,若t0时,K(x,y)满足K(tx,y)=K(x,t(λ_1/λ_2)y),K(x,ty)=K(t(λ_2/λ_1),y).则称K(x,y)是具有参数λ_1和λ_2的变量可转移函数,这是一种非齐次函数.该文研究了含λ_1λλ_20情形的变量可转移函数核的Hilbert型级数不等式,并讨论其等价形式和最佳常数问题.     

求三角函数周期的一种方法

在三角函数中,求周期是一个重要内容,也是一个难点。在常见的一些题目中,如求y=|sinx| |cosx|,y=(1-sinx)~(1/2) (1 sinx)~(1/2)的周期等一类,学生做起来总觉得不顺手,掌握比较困难,为了使这类问题易于解决,不妨试用“不变量函数方幂法”。什么叫“不变量函数方幂法”呢? 定义若函数y=f(x)在定义域A上恒非负,或者恒非正,则称函数y=f(x)为A上的不变量函数。定理若函数y=f(x)是定义在A上的不变量函数,且y=f~a(x)也是A上的不变量函数(a为非零有理数),则函数y=f(x)与y=     

高中新教材中函数概念教学思考

1问题的存在与思考根据过去掌握的教学情况,为了贯彻新教材的基本理念及其对“函数”的教学要求,我抽样调查了高二、高三学生对函数概念的认识及把握情况,结果始料不及:不仅高二,就连高三学生对函数的定义实质大多模糊不清,对于x、y的对应关系,对于问题“y=±2x是否函数”及判断方程y2=4x的曲线是否函数的图像,有过半的学生或答错或不置可否.对简单应用题“求用一条长1米的铁丝折成的矩形的最大面积”,解出率不足70%.函数是中学数学的主要内容之一,函数思想作为基本的数学思想,贯穿于中学数学教学的始终.那么,我们应该怎样从函数概念的重要…     

层层剥求复合函数的单调区间

对于复合函数 y =f[g(x) ],可以分解成 y =f(u) ,u =g(x) ,我们称 y =f(u)为外层 ,u =g(x)为里层 ,u为中间变量 .求复合函数 y =f[g(x) ]的值域 ,即求外层 y的取值范围 ,无可非议从里到外进行 .求复合函数 y =f[g(x) ]的单调区间 ,即求里层中自变量x的取值范围 ,有很多试题仍选择从里到外进行 ,显得方便、易于叙述 ,但有时也会遇到麻烦 .下面略举两例 ,介绍一种从外到里的方法 ,故称之为层层剥 .预备知识　设函数 y =f(u)的定义域M ,u =g(x) 的定义域为N ,且当x∈ [a ,b]([a ,b] N)时u∈ [m ,n]([m ,n] M ) .若 y =f(u) ,u∈ [m ,n],u =g(…