借助中间桥梁巧化问题

<正>1.问题提出(2011年高考湖南文第8题)已知函数f(x)=e^x-1,g(x)=-xx-1,g(x)=-x²+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为().(A)[2-22+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为().(A)[2-2^(1/2),2+2(1/2),2+2^(1/2)](B)(2-2(1/2)](B)(2-2^(1/2),2+2(1/2),2+2^(1/2))(C)[1,3](D)(1,3)2.问题解读本题属于"方程问题",而且是"超越方程",难以直接入手!一般地,解决"超越方程"往往利用转化与化归的思想,把问题转化为y=f(x)与y=g(x)的交点问题.在同一坐标系中,画出y=f     

2~(1/2)是无理数的另一个简捷证明

<正>有许多方法可以证得2^(1/2)是无理数,这其中可能最著名且历史最悠久的要数欧几里得基于反证法的证明.然而在本文中我们对给出2(1/2)是无理数,这其中可能最著名且历史最悠久的要数欧几里得基于反证法的证明.然而在本文中我们对给出2^(1/2)是无理数的另一种简捷的证法,其实也只需要几句话就可以证明2(1/2)是无理数的另一种简捷的证法,其实也只需要几句话就可以证明2^(1/2)是无理数.证明方法如下:如果2(1/2)是无理数.证明方法如下:如果2^(1/2)是有理数,那么它必然可以写成两个整数的比的形式,对分子分母约分,一定可     

走进杨辉三角形再探数字规律

<正>同学们在学习整式的乘法后,大都计算过a+b的n次方(a+b≠0,n为自然数)的结果:(a+b)²=a2=a²+2ab+b2+2ab+b².(a+b)2.(a+b)³=(a+b)3=(a+b)²(a+b)=a2(a+b)=a³+3a3+3a²b+3ab2b+3ab²+b2+b³.(a+b)3.(a+b)⁴=[(a+b)4=[(a+b)²]2]²=a2=a⁴+4a4+4a³b+6a3b+6a²b2b²+4ab2+4ab³+b3+b⁴.……并关注过计算结果中各项系数(补上(a+b)4.……并关注过计算结果中各项系数(补上(a+b)⁰=1,(a+b)0=1,(a+b)¹=a+b)组成的一张表及其中的数字规律.(各版本的教科书中的阅读材料都有相关探究和介绍)     

例谈函数性质在解竞赛题中的灵活应用

<正>一、中心对称的应用构造函数,使函数关于某点成中心对称.例1(睿达杯2012年第8题)设x,y是实数,且满足{(x-1)⁵+2012 5(x-1)5+2012 5(x-1)^(1/2)=-1,(y-2)(1/2)=-1,(y-2)⁵+2012 5(y-2)5+2012 5(y-2)^(1/2)=1,则x+y=( ).(A)1(B)2(C)3(D)2012解设f(x)=x(1/2)=1,则x+y=( ).(A)1(B)2(C)3(D)2012解设f(x)=x⁵+2012 5x5+2012 5x^(1/2),则f(x)是R上的奇函数,图像关于原点对称,     

另解两道课外练习题

<正>阅读贵刊2015年3月下刊登课外练习题,笔者通过不同途径,另解其中两道题.题一(初一(2)1)已知n个正整数按其规律排列如下a_1,a_2,a_3…a_n,且a_1=1,a_2=10,a_3=35,a_4=84,试求第n个整数a_n.解从其排列规律可以认为a_1=1=1²,a_2=10=12,a_2=10=1²+32+3²,a_3=35=12,a_3=35=1²+32+3²+52+5²,a_4=84=12,a_4=84=1²+32+3²+52+5²+72+7²,……则a_n=12,……则a_n=1²+32+3²+52+5²…+(2_n-12…+(2_n-1⁾2.由S=1)2.由S=1²+22+2²+32+3²+…+(2_n)2+…+(2_n)²     

新题征展(125)

A 题组新编 1.(1)设数列{an}由a1=5,a2=23,an+2=5an=1-an(nΕN*)确定. ①求证{an+1-5-√21/2an}是等比数列; ②求数列{an}的通项公式. (2)若把无理数(5+√21/2)2011写成小数,求其个位数字及十分位、百分位上的数字.     

师生共话无理数

学生　有理数和无理数有什么区别 ?老师　主要区别有两点 :1.把有理数和无理数都写成小数形式时 ,有理数能写成有限小数或循环小数 ,比如 4 =4 .0 ;45=0 .8;110 =0 .1;13=0 .333…而无理数只能写成无限不循环小数 ,比如 2 =1.4 14 2… ,根据这一点 ,人们把无理数定义为无限不循环小数 .2 .所有的有理数都可以写成两个整数之比 ,而无理数却不能写成两个整数之比 .根据这一点 ,有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子 ,把有理数改叫“比数” ,把无理数改叫“非比数” .本来嘛 ,无理数并不是不讲道理 ,只是人们最初对它太不理解罢了 .学生　无限小…     

配方法解含a,a~(1/2)的问题

<正>配方法是一种重要的数学方法,过去都是对整式配方,本文举两个对a·a^(1/2)配方的例子.例1如果a+b-2(a-1)(1/2)配方的例子.例1如果a+b-2(a-1)^(1/2)-4(b-2)(1/2)-4(b-2)^(1/2)=3(c-3)(1/2)=3(c-3)^(1/2)-1/2c-5,那么a+b+c的值是().(A)6 (B)9 (C)20 (D)24解将等式右边的式子移到左边,对二次根式配方,得(a-1-2(a-1)(1/2)-1/2c-5,那么a+b+c的值是().(A)6 (B)9 (C)20 (D)24解将等式右边的式子移到左边,对二次根式配方,得(a-1-2(a-1)^(1/2)+1)+(b-2-4(b-2)(1/2)+1)+(b-2-4(b-2)^(1/2)+4)+1/2(c-3-6(c-3)(1/2)+4)+1/2(c-3-6(c-3)^(1/2)+9)=0,     

一题·一类·一法——一堂自主招生辅导课引起的思考

数列的通项与求和是自主招生考试命题"感兴趣"的内容.数列在自主招生中出现的知识背景、表现形式（如有理数形式、无理数形式、阶乘形式等等）很丰富,它还常常和不等式的背景融合在一起.因此,探究这一类题目的命题的思路,即将数列的求和与不等式证明的技巧渗透在一起,这时,解决此类题目的思路和方法也就"水到渠成"了.一、一题题1求证:1+1/（2³）^1/2+1/（3³）^1/2+…+1/（n³）^1/2<3.     

构造分布列 巧解竞赛题

<正>Eξ,Dξ分别为随机变量ξ的数学期望与方差,由关系式Dξ=Eξ²-(Eξ)2-(Eξ)²及Dξ≥0,知Eξ2及Dξ≥0,知Eξ²≥(Eξ)2≥(Eξ)².构造离散型随机变量ξ的分布列P(ξ=x_i)=p_i(i=1,2,…,n),利用Eξ2.构造离散型随机变量ξ的分布列P(ξ=x_i)=p_i(i=1,2,…,n),利用Eξ²≥(Eξ)2≥(Eξ)²(当且仅当x_1=x_2=…=x_n=Eξ时取等号),可以别具一格地求解一类形式优美、内涵丰富的分式竞赛题.     

另解课外练习题两则

<正>题一(《中学生数学》2017年7月下课外练习题初一年级2(2)).证明2016²+20162+2016²×20172×2017²+20172+2017²是一个完全平方数.解由于20162是一个完全平方数.解由于2016²+20172+2017²=2016(2017-1)+2017(2016+1)=2×2016×2017+1,则20162=2016(2017-1)+2017(2016+1)=2×2016×2017+1,则2016²+20162+2016²×20172×2017²+20172+2017²=(2016     

对一类最值问题的深入思考

<正>马上轮到我做数学"课前5分钟"了,讲些什么内容好呢?我想起了初中时做过的一道题目:问题1已知02+1)2+1)^(1/2)+(x(1/2)+(x²-6x+18)2-6x+18)^(1/2)的最小值.解析首先将式子整理为y=(x(1/2)的最小值.解析首先将式子整理为y=(x²+12+1²)2)^(1/2)+((3-x)(1/2)+((3-x)²+32+3²)2)^(1/2),因为0相似文献   

对一道中考试题的思考

<正>试题(2015年四川·内江卷)(1)填空:(a+b)(a-b)=_;(a-b)(a²+ab+b2+ab+b²)=_;(a-b)(a2)=_;(a-b)(a³+a3+a²b+ab2b+ab²+b2+b³)=_;(2)猜想:(a-b)(a3)=_;(2)猜想:(a-b)(a^(n-1)+a(n-1)+a^(n-2)b+ab(n-2)b+ab^(n-2)+b(n-2)+b^(n-1))=_(其中n为正整数,且n≥2)(3)利用(2)猜想的结论计算:2(n-1))=_(其中n为正整数,且n≥2)(3)利用(2)猜想的结论计算:2⁹-29-2⁸+28+2⁷-…+27-…+2³-23-2²+2.原解答略.本文给出如下几点思考.一、设想——多思追问如果去掉试题所提供的由特殊到一般的     

巧用平方差公式妙解趣题

<正>记得在小学里,学过了小数与分数知识后,数学教师李老师曾提出一个有趣的问题:已知"快"、"乐"两个汉字分别代表两个不同的小数(或分数),请您设法找出这两个数来,使得等式:"快+乐²=快2=快²+乐"(*)成立。比如:0.1+0.92+乐"(*)成立。比如:0.1+0.9²=0.91,0.12=0.91,0.1²+0.9=0.91,即0.1+0.92+0.9=0.91,即0.1+0.9²=0.12=0.1²+0.9;又如2/3+(1/3)2+0.9;又如2/3+(1/3)²=(2/3)2=(2/3)²+1/3,…等等,于是大家都动手计算,经过试算凑数,又以找到一些等式:1/4+(3/4)2+1/3,…等等,于是大家都动手计算,经过试算凑数,又以找到一些等式:1/4+(3/4)²=     

一道求值赛题的多种解法

<正>试题(2016年四川省初中数学竞赛(初二)初赛)已知实数a,b,c满足abc≠0,且(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)2-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0得,a2-4(b-c)(a-b)=0得,a²-2ac+c2-2ac+c²-4(ab-ac+bc-b2-4(ab-ac+bc-b²)=0,所以a2)=0,所以a²+2ac+c2+2ac+c²-4(ab+bc)+4b2-4(ab+bc)+4b²=0,即(a+c)2=0,即(a+c)²-4b(a+c)+4b2-4b(a+c)+4b²=0.分解因式,得(a+c-2b)2=0.分解因式,得(a+c-2b)²=0.     

从特殊入手 寻解题途径

<正>当我们面对的数学问题比较复杂而无从着手时,从特殊数入手往往是克服困难解决问题的好办法.本文关注"特殊数",请"特殊数"来帮忙,从而使难题获得巧解,现举例说明.例1设a-b=2+3^(1/2),b-c=-3(1/2),b-c=-3⁽³⁾+2,则a(3)+2,则a²+b2+b²+c2+c²-ab-bc-ca的值为__.分析根据一般情况下成立的式子,在特殊情况也必然成立的辩证观点,对某些问题可在已知条件中赋予特殊常数,寻找解题途径.     

实数p~(1/2)+(p+k)~(1/2)是无理数的证明

<正>定理若p为半偶数,k为奇数,则槡p^(1/2)+(p+k)(1/2)+(p+k)^(1/2)是无理数.先给出半偶数的概念:能被2整除但不能被4整除的偶数称为半偶数.如2,6,10,14等.注意,定理中的半偶数的条件是必要的,否则定理不真.如4(1/2)是无理数.先给出半偶数的概念:能被2整除但不能被4整除的偶数称为半偶数.如2,6,10,14等.注意,定理中的半偶数的条件是必要的,否则定理不真.如4^(1/2)(4+5)(1/2)(4+5)^(1/2)不是无理数,原因为4不是半偶数.下面证明定理.     

图解增根一例

例解无理方程（3x-5）^1/2=（2x-6）^1/2.解方程两边平方,得3x-5=2x-6,解得x=-1.检验当x=-1,原方程两边都没有意义,所以x=-1是增根.剖析由于在方程求解的过程中进行了对根式的平方运算,扩大了未知数的取值范围,导致解x=-1处于扩大了的范围内,于是产生了增根.如图1所示,将方程写成f（x）=g（x）的形式,在求解的过程中将其转化为     

n~3探索

<正>1.观察1=1³①3+5=23①3+5=2³②7+9+11=33②7+9+11=3³③13+15+17+19=43③13+15+17+19=4³④21+23+25+27+29=53④21+23+25+27+29=5³⑤ 2.发现以上各式等号左边均为连续奇数的和,且奇数的个数(项)与右边三次幂的底数相同.3.猜想命题(Ⅰ)任何一个正整数n的立方都可表为n个连续奇数的和.     

新春好趣题

<正>将下列等式中的汉字换为35以内的自然数使等式成立:(1)申²+猴2+猴²+欢2+欢²+送2+送²+未2+未²+羊2+羊²=2016:(2)22=2016:(2)2^同+2同+2^学+2学+2^们+2们+2^新+2新+2^春+2春+2^好=2016:(3)同好=2016:(3)同⁶+学6+学⁵+们5+们⁴+新4+新³+春3+春²+好2+好¹=2016.