Sopra un problema relativo ai trasporti rigidi di vettori negli spazi quadrimensionali

Sunto. Si studiano le condizioni alle quali debbono soddisfare le componenti di un tensore doppio emisimmetrico caratteristico di un trasporto rigido lungo una linea di una varietà a quattro dimensioni, perchè esso sia del tipo(18), dove v è un vettore particolare ed u il vettore generico che viene trasportato, che è il tipo generale per una varietà a due dimensioui.     

De pressionibus negativis in sinu et in pariete regionis fluido viscoso moventi impletae schedula

Sunto Si dimostrano condizioni necessarie e sufficienti affinchè la pressione su un elemento generico in un fluido viscoso sia nonnegatica. Il criterio si esprime mediante il ? numero di tensione ?. A Bruno Finzi nel 70^mo compleanno. Entrata in Redazione il 26 gennaio 1970.     

Generalized inverses in<Emphasis Type="Italic">C</Emphasis><Superscript>*</Superscript>-algebras, 2

Sea é un elemento di unaC ^*-algebra tale chepa=a per qualche proiezionep, alloraa é una unitá inversa generalizzata, chiamata inversa di Moore-Penrose, e si denotata cona ⁺. Per leC ^*-algebras, si ottiene altrest un risultato sulla minimizzazione di ∥axb−c∥.      

Free work and control of equilibrium configurations

LetC _* be a equilibrium configuration of a thermo-visco-elastic material. The paper aims to reach three objectives; i) control of perturbations toC _* in terms of the data, if forces are conservatives, andC _* is a local proper minimum for the total energy ε; ii) asymptotic decay to zero of perturbations toC _*, in case of dissipative systems ifC _* is a local proper minimum for ε; iii) non-linear instability, if forces are conservatives, andC _* is a local proper maximum for ε. In order to reach these goals we adopt qualitative methods in the wake of direct Lyapunov methods. Precisely, first we use the concept of power to construct a Lyapunov functional appropriate to furnish stability in the mean (control of perturbations to velocity and positions), when ε has a minimum atC _*; then introducing thefree work we deduce apivot equation for the study of nonlinear stability. In particular, the pivot equation provides and asymptotic stability for dissipative systems towardC _*, ifC _* is a local proper minimum for the total energy, and furnishes non-linear instability ofC _*, ifC _* is a local proper maximum for the total energy as well. Our results apply to rigorous nonlinear equations of motion, with non-linear constitutive equations. The results are a consequence of the D'Alambert-Lagrange equation.

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Sunto SiaC _* una configurazione di equilibrio di un materiale termo-visco-elastico. Questa nota intende raggiungere tre obiettivi: i) controllo delle perturbazioni aC _* in termini dei dati, se le forze sono conservative, seC _* è un minimo locale proprio per l'energia totale ε; ii) decadimento asintotico a zero delle perturbazioni aC _*, nel caso di sistemi dissipativi, seC _* è un minimo locale proprio per ε; iii) instabilità non-lineare, se le forze sono conservative, eC _* è un massimo locale proprio per ε. Al fine di raggiungere questi obiettivi si adottano metodi qualitativi sulla scia dei metodi diretti di Lyapunov. Precisamente, dapprima si usano il concetto di potenza per costruire un funzionale di Lyapunov appropriato per lo studio della stabilità in media (controllo delle perturbazioni alle velocità e posizioni delle particelle), nel caso in cui ε abbia un minimo inC _*; in seguito introducendo il nuovo lavoro piattaformafree work, si deduce una equazione piattaforma di lanciopivot equation per lo studio della stabilità nonlineare. In particolare, l'equazione piattaforma di lancio fornisce simultaneamente: stabilità asintotica per sistemi dissipativi versoC _*, seC _* è un minimo locale proprio per l'energia totale; instabilità della posizioneC _*, seC _* risulta un massimo locale proprio per l'energia totale. Detto risultato vale per equazioni di moto, rigorose nonlineari, quando si adottano equazioni costitutive nonlineari per il materiale. I risultati sono una conseguenza dell'equazione di D'Alambert-Lagrange per il lavoro elementare.

     

Proiezioni naturali e derivazione trasversa in una varietà riemanniana a metrica iperbolica normale

Sunto Su una varietà V_{n + 1} a metrica iperbolica normale (+ + ... + −), munita di una congruenza ?temporale? C ₀ di riferimento, si definisce un'operazione di decomposizione naturale per un generico vettore o tensore. E'operazione viene successivamente applicata a definire una derivazione covariante trasversa (rispetto a C ₀ ) operante su campi tensoriali ?spaziali?, con carattere invariantivo di fronte a ogni cambiamento di coordinate interno a C ₀ . Decomposizione naturale e derivazione trasversa vengono sistematicamente applicate all'esame differenziale di una congruenza temporale. A Giovanni Sansone nel suo 70° compleanno.     

Significato proiettivo di alcuni tipi di equazioni differenziali del secondo ordine

Sunto. Ogni elemento di 2^o ordine di curva di una superficie (ad asintotiche distinte e non rettilinee) determina duequadriche asintotiche osculatrici. Gli elementi di 2^o ordine tali che queste quadriche abbiano, in ogni punto della superficie, un contatto assegnato con una retta, conica o cubica sghemba associata al punto appartengono alle curve integrali di equazioni differenziali del tipov″P _i (v′)=P _i+3(v′) (i=1, 2) oveP _k (v′) è un polinomio di gradok inv′=dv/du a coefficienti funzioni diu ev. Determinazione della configurazione geometrica a partire dall'equazione.     

A stability problem for holonomic systems

Sunto Si studia il problema della stabilità di una posizione di equilibrio di un sistema meccanico olonomo soggetto ad una sollecitazione derivante da un potenziale del tipo U(q, t)=f(t) U*(q), conf funzione periodica, e ad una sollecitazione dissipativa. I risultati ottenuti estendono a sistemi con un numero finito qualsiasi di gradi di libertà risultati noti per sistemi ad un solo grado di libertà.

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Work performed under the auspices of the Italian Council of Research (C.N.R.): National Group of Mathematical Physics (G.N.F.M.), and Italian Ministry of Public Education (M.P.I.).

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The author wishes to thank professors S.Busenberg and L.Salvadori for many useful discussions.     

Relatively regular ideals in semiprime Banach algebras

Nella prima parte di questo lavoro vengono studiate le relazioni che intercorrono tra il concetto di relativa regolarità in un'algebra non necessariamente unitaria ed alcuni ideali (radicale, zoccolo, prezoccolo) che intervengono nello sviluppo della teoria di Fredholm in algebre di Banach. Nella seconda parte del lavoro viene dimostrato che in certe algebre di BanachA complesse semiprime l'esistenza di un ideale relativamente regolare chiuso implica cheA è unitaria e di dimensione finita.     

Sull'hamiltoniana di una particella in relatività

Sunto Si costruisce sistematicamente, in un generico riferimento spazio-temporale, l'hamiltoniana di una particella mobile sia in assenza come in presenza del campo gravitazionale. Assunta la lagrangiana omogenea di primo grado nelle velocità lagrangiane, ci si vale anche della generalizzazione, secondo Dirac, della ordinaria dinamica hamiltoniana, quando sussistono relazioni di vincolo fra le variabili dinamiche coniugate. A Bruno Finzi nel suo 70^mo compleanno Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività del Gruppi di ricerca matematici del C.N.R. Entrata in Redazione il 19 gennaio 1970.     

La disuguaglianza di Cavalieri per lak-area secondo Lebesgue in unn-spazio

Sunto Si da una definizione di (k −1)-area, del tipo di Lebesgue, della immagine (continua) della frontiera di un insieme aperto k-dimensionale e si dimostra una disuguaglianza, del tipo di Cavalieri, concernente take (k −1)-area.     

Funzioni tensoriali di un vettore e leggi elementari dell’elettromagnetismo

Sunto Si espone un algoritmo particolarmente adatto per lo studio delle leggi elementari dell’elettromagnetismo, sia allo scopo di stabilire il grado di indeterminazione da cui sono affette, sia allo scopo di determinare tutte le leggi elementari dotate di requisiti assegnati. Nel primo capitolo si esaminano le proprietà generali delle leggi elementari e si classificano. Nel secondo capitolo si studiano i tensori del secondo e del terzo ordine associati alle leggi elementari. Tali tensori sono tutti funzioni di un vettore e godono delle proprietà che al mutare della terna di riferimento le nuove componenti del tensore, espresse in funzione delle nuove componenti cartesiane del vettore, godono dell’invarianza formale. Tale proprietà si traduce in un sistema di equazioni funzionali, che vengono risolte. Si ha così che le 9 (27) componenti del tensore di secondo (risp. terzo) ordine possono essere espresse mediante una combinazione lineare di sole 3 (risp. 7) funzioni del solo modulo del vettore, che vengono chiamate “funzioni di distanza” del tensore. La ricerca delle leggi elementari dotate di proprietà assegnate dà luogo a sistemi di equazioni differenziali fra le componenti dei tensori associati alle dette leggi. Tali sistemi constano talvolta di un enorme numero di equazioni alle derivate parziali del primo o del secondo ordine. Tuttavia la sopradetta conoscenza della semplice struttura dei tensori incogniti ed un appropriato procedimento di calcolo permettono di pervenire alle soluzioni in modo relativamente semplice, rispetto alle complessità che la questione offre a prima vista. Alcuni esempi vengono illustrati. Nel terzo capitolo si risponde in modo esauriente all’antica questione relativa all’indeterminazione della prima legge elementare diLaplace. Nel quarto capitolo si determinano le espressioni generali di particolari insiemi di leggi elettrodinamiche. Ad Antonio Signorini nel suo 70^mo compleanno.     

The Helmholtz decomposition of weightedLq-spaces for Muckenhoupt weights

We consider weights of Muckenhoupt classA _q, 1<q<∞. For a bounded Lipschitz domain Ω⊂ℝⁿ we prove a compact embedding and a Poincaré inequality in weighted Sobolev spaces. These technical tools allow us to solve the weak Neumann problem for the Laplace equation in weighted spaces on ℝⁿ, ℝⁿ ₊, on bounded and on exterior domains Ω with boundary of classC ¹, which will yield the Helmholtz decomposition ofL _ω ^q(Ω)ⁿ for general ω∈A _q. This is done by transferring the method of Simader and Sohr [4] to the weighted case. Our result generalizes a result of Farwig and Sohr [2] where the Helmholtz decomposition ofL _ω ^p(Ω)ⁿ is proved for an exterior domain and weights of Muckenhoupt class without singularities or degeneracies in a neighbourhood of ϖΩ.

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Sunto In questo lavoro consideriamo dei pesi della classe di MuckenhouptA _q, 1<q<∞. Per un dominio limitato lipschitziano Ω⊂ℝⁿ, dimostriamo una immersione compatta ed una disuguaglianza di Poincaré in spazi di Sobolev con peso. Questa tecnica ci consente di risolvere il problema debole di Neumann per l’equazione di Laplace in spazi pesati in ℝⁿ, ℝⁿ ₊ in domini limitati ed in domini esterni con frontiera di classeC ¹, che conduce alla decomposizione di Helmholtz diL _ω ^q(Ω)ⁿ per un qualsiasi ω∈A _q. Il risultato è ottenuto trasferendo il metodo di Simader e Sohr [4] al caso pesato. Quello qui presente estende un risultato di Farwig e Sohr [2] dove la decomposizione di Helmholtz diL _ω ^q(Ω)ⁿ è dimostrata per domini esterni e pesi della classe di Muckenhoupt privi di singolarità in un intorno di ϖΩ.

     

Spazio delle configurazioni e vincoli di anolonomia

Riassunto Si considera il moto di un sistema soggetto a vincoli di olonomia e di anolonomia. Dopo aver scontati i vincoli del primo tipo con l'introduzione del moto di un punto rappresentativo entro lo spazio delle configurazioni, si mostra l'utilità, per tener conto anche di quelli del secondo tipo, della introduzione di un'opportuna n-pla di congruenze ortogonali, alcune delle quali individuate dai vincoli di anolonomia; si mostra in particolare il significato che hanno, nello studio del moto di tali sistemi, i coefficienti di rotazione del Ricci. A Bruno Finzi nel suo 70 ^mo compleanno. Entrata in Redazione il 5 gennaio 1970.     

The algebraic behaviour of the weyl tensor in the geometrical optics approximation

Sunto In questo lavoro si studia la propagazione di un'onda gravitazionale nel vuoto, nell'approssimazione dell'ottica geometrica. Viene esaminato il tensore di Weyl dell'onda all'ordine zero e all'ordine uno della serie che rappresenta l'approssimazione dell'ottica geometrica. Questi termini sono gli unici invarianti per le trasformazioni infinitesime che preservano la forma dell'espansione del tensore metrico (trasformazioni di gauge). Perciò sono gli unici ad avere un significato fisico, cioè ad essere misurabili indipendentemente dalla convergenza della serie che li definisce. Viene caratterizzato il tipo algebrico del tensore di Weyl a questi due ordini in termini degli scalari ottici associati alla congruenza dei raggi su cui l'onda si propaga.

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Entrata in Redazione l'8 luglio 1975.     

Prime ideals in polynomial rings

Summary Study of relations between the prime and maximal spectra of a ringA and ofA[X], without noetherian assumptions. Application to the cases whereA has finite noetherian type andA is an arbitrary valuation domain; behaviour of the catenary property. New proofs of known results aboutG-ideals and Hilbert domains.

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Riassunto Si studiano le relazioni fra lo spettro ideale e quello massimale di un anelloA e diA[X] senza ipotesi di noetherianità. Si fanno delle applicazioni ai casi in cuiA è un anello di tipo noetheriano finito o è un arbitrario dominio di valutazione; si studia inoltre il comportamento della proprietà catenaria. Si danno nuove dimostrazioni di risultati noti suG-ideali e domini di Hilbert.

     

Il problema matematico del sistema ottico concentrico stigmatico

Sunto Si esamina il problema generale del sistema ottico tutto racchiuso da una sfera di raggio finito, dentro la quale l’indice di rifrazione sia una funzione n(r) della distanza r dal centro, tale che, quando il sistema è immerso in aria, ogni punto della sfera esterna abbia immagine perfetta all’infinito. Per n(r) si fanno le ipotesi più generali che possano essere accettate fisicamente; in particolare si ammette un numero finito di punti di discontinuità di prima specie. Dato il modo di costruire la soluzione generale, che dipende da una funzione arbitraria, definita in un intervallo minore del raggio della sfera esterna, si sviluppano a fondo i calcoli per un caso particolare di speciale interesse fisico.     

New associative and nonassociative Gelfand-Naimark theorems

We prove that, ifA is a complex Banach algebra with a unit 1 and a conjugate-linear vector space involution^* such that 1^*=1 and‖a ^*a‖=‖a^*‖ ‖a‖ for alla inA, and ifdim(A)≥3, thenA is a C^*-algebra. The two-dimensional case is also considered and described.     

On the completion of excellent rings in characteristicp>0

Si considera il seguente problema posto da Grothendieck (E.G.A.): SeA è un anello eccellente edm un ideale diA, (A, m) ^{^}=m-adico completamento diA è eccellente? Si mostra che la risposta è positiva nei seguenti casi:

1. A=algebra di tipo finito su un DVR completo di caratteristicap>0;
2. A=algebra di tipo finito su un DVRC contenente un corpok di caratteristicap>0 e finito suk [C ^p ] oppure tale che:

1. per ogni sottocampok′ dik contenentek ^p tale che [k:k′]<∞, il modulo universale finito dei differenzialiD _{k′ (C)} esiste;
2. il corpo residuoK diC soddisfa rank _KK ? _K/k <∞
3. C ha una Der-base.

     

Sui complessi lineari di piani

Sunto Si classificano, rispetto al gruppo proiettivo, i complessi lineari di piani di S_n per n≤7 (e di conseguenza le forme alternanti di terzo grado di rango ≤8) assumendo come elemento base della classificazione il concetto di spazio singolare totale. Per ciascun tipo di complesso si determina la configurazione di piani singolari totali che lo caratterizza. Per n≤6 si danno poi le effettive costruzioni geometriche dei varii tipi di complessi.     

Varietà a congruenze ideali

Riassunto SiaX una classe di strutture algebriche simili,AA _i)_i∈I una famiglia di algebre diX eL _i il reticolo delle congruenze diA _i. In modo naturale ad ogni ideale di resta associata una congruenza di . Il concetto di ?congruenza ideale? cioè di congruenza diA legata a un ideale diL estende il concetto di ?congruenza filtrale? di congruenza cioè legata a un filtro suI. Ciò conduce a introdurre un concetto di ?classe ideale? di algebre che estende quello di ?classe filtrale? di [3]. Vengono estesi alle classi ideali i risultati di [3].

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Summary LetX be a class of similar algebras, (A _i)_i∈I a family of algebras inX and letL _i be the lattice of the congruences ofA _i. In a natural way we can link each ideal ofL=IIL _i with a congruence ofA=IIA _i. So we are brought to consider ?ideal classes? of algebras wich are an extension of ?filtral classes? [3]. The results of [3] are extended to ?ideal classes?.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività del Comitato Nazionale per la Matematica del C.N.R., contratto 115218205174, anno 1970.