Effects of large suction in natural convection boundary layer on a horizontal plate

The natural convection boundary layer on a horizontal plate with suction is investigated. The similar solutions of the boundary layer equations require suction to vary as a power law. The similarity equations have been integrated for various values of suction parameter and Prandtl number =0.72 and 6.8. For non-similar flow situation, a large suction approximation has been developed using the asymptotic approach. It is shown that large suction approximation is surprisingly good even for moderate values of suction parameter.

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Einflüsse großer Wirkung auf die Grenzschicht bei freier Konvektion an einer horizontalen Platte

Zusammenfassung Es wird die Grenzschicht bei freier Konvektion auf einer horizontalen Platte unter Saugwirkung untersucht. Die Ähnlichkeitslösungen der Grenzschichtgleichungen machen es erforderlich, die Saugwirkung in Form eines Exponentialansatzes zu variieren. Die Ähnlichkeitsgleichungen wurden für verschiedene Werte des Saugparameters und für Prandtl-Zahlen zwischen 0,72 und 6,8 integriert. Für nicht-ähnliche Strömungszustände wurde eine Lösung für die Saugwirkung auf der Basis der asymptotischen Näherung entwickelt. Es wird gezeigt, daß die Näherungslösung für große Saugwirkung auch erstaunlich gute Ergebnisse für geringe Werte von Saug-Parametern liefert.

     

Mixed convection similarity solutions of a non-Newtonian fluid on a horizontal surface

The mixed convection boundary layer flow on a horizontal stationary or moving plate to a power-law non-Newtonian fluid is analyzed. An exact similarity solution is given for the case of a wall temperature that is inversely proportional to the power-law of the distance from the leading edge of the plate. It is shown that such a solution does not exist if the boundary parameter is smaller than a certain critical value. The effects of the flow index, buoyancy parameter and modified Prandtl number on the velocity and temperature profiles as well as on the global heat transfer and displacement thickness are discussed.

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Ähnlichkeitslösungen für die Mischkonvektion von einem Nicht-Newton'schen Fluid auf einer horizontalen Oberfläche

Zusammenfassung Hier ist die Mischkonvektion von Grenzschichtströmungen auf einer horizontal stillstehenden oder beweglichen Platte für einen Potenzansatz der Nicht-Newton'schen Fluide analysiert worden. Eine genaue Änlichkeitslösung ist für den Fall, daß die Wandtemperatur entgegengesetzt proportional zum Potenzansatz des Abstandes von der Vorderkante der Platte ist, gegeben worden. Es ist gezeigt worden, daß eine solche Lösung nicht existiert, wenn der Grenzparameter kleiner als ein bestimmter kritischer Wert ist. Die Einwirkungen des Strömungsindex, Auftriebsparameter und modifizierter Prantlzahl auf die Geschwindigkeitsund Temperaturprofile sind genauso intensiv besprochen worden, wie die globale Wärmeübertragung und die Verdrängungsdickte.

     

Approximate solution of non-linear transient heat conduction in cylindrical geometry

The applicability of the Heat Balance Integral method (HBI) using hybrid profiles (HP _n ) for heat diffusion problems in cylindrical geometry is studied. Three test problems are taken to validate the method, namely, TP1 — long hollow cylinder, inner boundary is supplied with constant heat flux and the outer boundary is at infinity, TP2 — the same geometry with the inner boundary at constant temperature, TP3 — the same geometry with convection at the boundary. It is found that HBI in combination with HP _n gives much better solutions as compared to the HBI-polynomial (P _n ) combinations. This method is applied to non-linear cases like temperature dependent thermal conductivity, boiling or condensation at the boundary. For assessment of accuracy Root Mean Square Residual (E _rms) is defined. The residual minimization technique is used to select the parameter in the HP _n profile. It is shown that this procedure yields solutions which are in excellent agreement with the available exact solutions in the case of the three test problems. In the case of nonlinear problems, the value ofE _rms which is comparable to the values in the test cases, shows that the HBI-HP _n is a very good combination for all problems.In dieser Studie wurde die Verwendbarkeit des Wärmebilanz-Integrationsverfahrens (HBI) unter Benutzung von hybriden Profilen (HP _n ) für Wärmeausbreitungsprobleme in zylindrischen Geometrien untersucht. Um das Verfahren zu veranschaulichen wurden drei Testprobleme genommen; wobei für alle drei Fälle die gleiche Geometrie benützt wurde, und zwar ein langer, ausgehöhlter Zylinder. Beim TP-1 ist die innere Grenze mit konstantem Wärmestrom versorgt und die äußere Grenze ist im Unendlichen angenommen worden. Beim TP-2 herrscht an der inneren Grenze eine konstante Temperatur. Beim TP-3 herrscht Konvektion an den Grenzen. Hierbei wurde festgestellt, daß HBI in Verbindung mit HP _n sehr viel bessere Lösungen liefert, als die HBI-Polynom-Kombinationen (P _n ). Dieses Verfahren ist für nicht lineare Fälle, wie temperaturabhängige Wärmeleitfähigkeit, Sieden oder Kondensation and den Grenzen verwendet worden. Für die Abschätzung der Genauigkeit ist das restliche quadratische Mittel definiert worden. Die Residuen-Minimisierungstechnik ist für die Auswahl des Parameters \ benützt worden. Es ist gezeigt worden, daß dieses Verfahren Lösungen liefert, welche mit den benützten genauen Lösungen der drei Testfälle hervorragend übereinstimmen. Im Fall der nicht linearen Probleme zeigt der Wert vonE _rms, der mit den Testfällen vergleichbar ist, daß die HBI-HP _n eine sehr gute Kombination für alle Probleme ist.     

Composite heat transfer in a variable porosity medium bounded by an infinite flat plate

Heat transfer by simultaneous radiation and convection in a variable porosity medium bounded by an infinite flat plate is determined by solving momentum and energy equations. The problem is investigated for two different cases, viz., presence of porous medium and absence of porous medium. In the presence of porous medium both variable and constant porosity situations are studied. Similarity solutions are obtained for an isothermal and impermeable wall. The Kozeny-Blake expression connecting porosity and permeability is incorporated in the analysis for unified treatment. A parameter survey is made to study the effect of optical thickness, porous parameter, albedo scattering and ratio of conduction to radiation using Runge-Kutta-Gill method. The heating and cooling cases are considered for variable porosity situation. The results show that both convective and radiative components decrease with increase in porous parameter, and the inhomogeneity of the medium enhances heat transfer rate. The increase in optical thickness leads to decrease in both convective and radiative fluxes. For a particular value of wall emissivity ( _w =0.5932116) the radiative flux is reduced to zero.

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Kombinierter Wärmeübergang in einem durch eine unendlich ausgedehnte ebene Platte begrenzten Medium variabler Porosität

Zusammenfassung Der Wärmeübergang bei gleichzeitigem Einfluß von Strahlung und Konvektion in einem Medium variabler Porosität, das durch eine unendlich ausgedehnte ebene Platte begrenzt ist, wird durch Lösung der Impuls- und Energiegleichung bestimmt (den Sonderfall, daß nur Fluid, aber kein poröses Medium vorliegt, eingeschlossen). Im allgemeinen Fall — mit porösem Medium — wird sowohl variable, wie auch konstante Porosität unterstellt. Für die isotherme und stoffundurchlässige Wand existieren Ähnlichkeitslösungen. Um eine einheitliche mathematische Behandlung zu ermöglichen, wird die (Porosität und Permeabilität verknüpfende) Beziehung nach Kozeny-Blake eingeführt. Eine Parameterstudie, durchgeführt unter Verwendung der Runge-Kutta-Gill-Methode, zeigt den Einfluß der optischen Dicke, des Porositätsparameters, der Albedo-Streuung und des Verhältnises von Leitung zu Strahlung. Die Fälle Heizung und Kühlung wurden bei variabler Porosität untersucht. Aus den Ergebnissen geht hervor, daß die Konvektions- und Strahlungsanteile mit zunehmenden Porositätsparameter abnehmen und daß der Wärmeübergang durch Inhomogenität des Mediums verbessert wird. Zunehmende optische Dicke verusacht eine Abnahme sowohl des Konvektions- wie des Strahlungsflusses. Beim Wert _w =0.5932116 des Wandemissionsverhältnisses fällt der Strahlungsfluß auf Null ab.

     

Some exact solutions for non-Newtonian flow problems

Summary As the title of the present paper suggests, exact solutions have been obtained for the free convection flow ofWalters liquidB past a porous flat plate and a porous circular cylinder. The emphasis is on the methodology adopted for obtaining exact solutions. In both the problems considered in this paper, we come across a third order ordinary linear differential equation where as the available boundary conditions are only two in number. The fact that all non-Newtonian flows are mere perturbations of the corresponding viscous flows has been utilized as an extra condition and this helps us to determine exact solutions. However, some graphs have been plotted to show the effect of various physical parameters appearing in the problems on velocity profiles.

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Zusammenfassung Wie der Titel der vorliegenden Abhandlung andeutet, wurden exakte Lösungen für das freie konvektive Fließen einerWalters B-Flüssigkeit über eine poröse ebene Platte und einen porösen kreisförmigen Zylinder ermittelt. Nachdruck liegt auf der Betonung der angewandten Methodik zur Erzielung genauer Ergebnisse. In den beiden in dieser Veröffentlichung betrachteten Beispielen stoßen wir auf eine einfache lineare Differentialgleichung dritter Ordnung, wobei nur zwei Randbedingungen zahlenmäßig bekannt sind.Die Tatsache, daß alle nicht-Newtonschen Fließvorgänge lediglich Störungen des jeweiligen viskosen Fließens sind, wurde als eine zusätzliche Bedingung benutzt, die bei der Bestimmung der exakten Lösung herangezogen wird.Außerdem zeigen einige Kurvendarstellungen die Einwirkung verschiedener physikelischer Parameter auf die Geschwindigkeitsprofile.

     

Hall effects on free convective flow and mass transfer through a porous medium

Summary A theoretical analysis of unsteady free convective and mass transfer flow through a porous medium bounded by an infinite vertical plate taking Hall effects into consideration is presented when a strong magnetic field is imposed in a direction which is perpendicular to the free stream and makes an angle to the vertical direction. The effect of Hall currents on the flows (primary and secondary) are studied for various values of.

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Halleffekte auf die Naturkonvektion und den Stofftransport durch ein poröses Medium

Zusammenfassung Es wird eine theoretische Analyse der instationären Naturkonvektion und des Stoffüberganges durch ein poröses Medium vorgestellt, das durch eine unendliche vertikale Platte begrenzt ist und in dem Halleffekte, aufgebracht durch ein starkes magnetisches Feld rechtwinklig zur Strömung der freien Konvektion und unter einem bestimmten Winkel zur Vertikalen, zu berücksichtigen sind. Der Einfluß der Hallströme auf die Konvektion (primär und sekundär) wird für verschiedene Werte des Winkels zur Vertikalen studiert.

     

Die Prandtlschen Grenzschichtdifferentialgleichungen als asymptotischer grenzfall der Navier-Stokesschen und der eulerschen differentialgleichungen

Zusammenfassung Wegen der gro\en mathematischen schwierigkeiten, die einer Lösung der vollen Navier-Stokesschen differentialgleichungen entgegenstehen, vereinfachte L.Prandtl 1904 [8] diese Gleichungen zu den Prandtlschen Grenzschichtdifferentialgleichungen, indem er gewisse grö\en als klein vernachlässigte. Die Begründung für diese reduktion geschah auf anschaulichem Wége; Dabe spielte insbesondere die annahme eine gro\e Rolle, die Wirkung der Zähigkeitskräfte erstrecke sich nur auf eine wandnahe schicht, die sog. Prandtlsche Grenzschicht. In der vorliegenden Note wird nun ohne anschauliche Überlegungen und unter genau festgelegten Voraussetzungen streng bewiesen werden, daß die Lösungen der Prandtlschen Grenzschichtdifferentialgleichungen für verschwindende Zähigkeit asymptotische Lösungen sowohl der Navier-Stokesschen als auch der Eulerschen Differentialgleichungen sind. Es gilt nämlich, daß für hinreichend kleine Zähigkeit die Geschwindigkeitskomponenten in Hauptströmungsrichtung im Innern der Strömung bei allen drei Lösungen beliebig wenig differieren. Wegen der unterschiedlichen Randbedingungen der Eulerschen und der Prandtlschen Gleichungen an einer festen Wand folgt daraus, daß der Reibungseinfluß nur in unmittelbarer Wandnähe wirksam sein kann. Damit ist die Existenz der Prandtlschen Grenzschicht ohne jede physikalische Zusatzannahme beweisbar geworden.Dieser Nachweis wird hier geführt für die stationäre (also laminare) zweidimensionale Strömung eines inkompressiblen Mediums. Um diejenigen Komplikationen auszuschalten, die durch das verwendete Koordinatensystem verursacht werden können (vgl. etwa S.Kaplun [1]), wird allein die Strömung durch einen rechteckigen Kanal betrachtet. Die verwendeten mathematischen Voraussetzungen sind sehr gering und dürften wohl stets erfüllt sein; als einzige physikalische Bedingung wird verlangt, daß keine Rückströmung auftritt.Zu den Beweisen der nachfolgenden Sätze wird das grundlegende Lemma vonNagumo-Westphal über parabolische Differentialungleichungen benutzt, mit dessen Hilfe in den letzten Jahren einige grundlegende Einsichten über die Lösungen der Grenzschichtdifferentialgleichungen gewonnen werden konnten (vgl. [2, 4, 5, 6, 7]). Als Nebenergebnis dieser Methode ergibt sich noch, daß die Lösungen und Näherungslösungen der Prandtlschen Grenzschichtdifferentialgleichungen stetig von ihren Randwerten und vom Defekt der Gleichungen abhängen.     

Hall effects on the oscillatory MHD flow through porous medium in a rotating fluid

Taking Hall currents into account the unsteady magnetohydrodynamical flow through a porous medium bounded by an infinite vertical limiting surface in a rotating frame of reference is theoretically investigated when a strong magnetic field is imposed in a plane which makes an angle a with the normal to the plate. The influence of Hall currents on the velocity and temperature distribution are shown graphically for various values of .

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Hall-Effekte in oszillierender magnetohydrodynamischer Strömung durch ein poröses Medium in einer rotierenden Flüssigkeit

Zusammenfassung Bei der Betrachtung von Hallströmen wird die unstetige magnetohydrodynamische Strömung durch ein poröses Medium, begrenzt durch eine unendlich lange senkrechte Fläche in einem rotierenden Rahmen, für den Fall theoretisch untersucht, daß ein starkes magnetisches Feld in einer Ebene, die den Winkel a mit der normalen auf die Fläche einschließt, angelegt wird. Der Einfluß der Hallströme auf die Geschwindigkeit und die Temperaturverteilung wird für verschiedene Werte von graphisch dargestellt. Wärme- und Stofflibertragung 23 (1988)

     

Zur homogenen Maschine mit Zusatzdrehmassen

Zusammenfassung Unter gewissen Bedingungen liefern die für die Berechnung der Eigenwerte einer homogenen Maschine mit Zusatzdrehmassen maßgebenden transzendenten Gleichungen bei alleiniger Berücksichtigung der reellen Lösungen zu wenig Eigenfrequenzen. Die fehlenden Frequenzen — es handelt sich hierbei stets um die höchsten — erhält man aus den komplexen Lösungen. Es werden, unter Beschränkung auf eine oder zwei Zusatzmassen, die Bedingungen untersucht, bei denen komplexe Eigenwerte auftreten, und die in diesen Fällen geltenden Gleichungen für die Eigenfrequenzen, Momente und Drehwinkel abgeleitet. Neben dem Verhältnis der Trägheitsmomente ist auch dasjenige der Federkonstanten für das Auftreten komplexer Lösungen von Bedeutung, so daß solche, wie man aus den zuständigen Bedingungsgleichungen ersieht, auch bei sehr großen Zusatzmassen vorkommen können. Man kann übrigens zeigen, daß beim Vorhandensein von z Zusatzmassen maximal z komplexe Eigenwerte möglich sind.Es sei hier noch vermerkt, daß sich die gewonnenen Ergebnisse analog auf homogene Schwingungsketten mit Zusatzmassen an den Enden übertragen lassen.     

Heat transfer characteristics of the flow of an incompressible viscous fluid over a stretching sheet

The heat transfer characteristics of the three-dimensional flow of an incompressible viscous fluid caused by stretching of an elastic sheet with uniform tension in two horizontal directions are studied subject to the following conditions; (a) the sheet is held at constant temperature; (b) the sheet is exposed to a uniform heat flux. The similarity solutions for temperature exist for both the cases. It is shown that for fixedPr, the temperature at a point decreases with increase in in Case (a) and the sheet temperature also decreases with increasing for Case (b).

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Die Wärmeübertragungseigenschaften eines inkompressiblen viskosen Fluids bei der Strömung über eine dehnbare Folie

Zusammenfassung Es werden die Wärmeübertragungseigenschaften einer dreidimensionalen Strömung eines inkompressiblen viskosen Fluids, verursacht durch Dehnung einer elastischen Folie, mit gleichmäßiger Spannung in zwei horizontale Richtungen, unter Berücksichtigung folgender Bedingungen betrachtet; (a) die Folie wird bei konstanter Temperatur gehalten; (b) die Folie wird einem gleichmäßigen Wärmestrom ausgesetzt. Die Ähnlichkeitslösungen für die Temperatur existieren in beiden Fällen. Es wird gezeigt, daß im Fall (a) die Temperatur bei konstanter Prandtl-Zahl gleichzeitig mit einem anwachsenden fällt, und daß auch im Fall (b) die Folientemperatur mit wachsendem fällt.

     

Zur Theorie der rollenden Reibung

Zusammenfassung Nach einer Übersicht der mit der rollenden Reibung zusammenhängenden Probleme werden für verschiedene elastische Konstanten der beiden Walzen die Berühr- und Haftbedingung sowohl für den ebenen Spannungszustand als auch den ebenen Formänderungszustand exakt abgeleitet. Die das Problem beschreibenden Integralgleichungen für den Druck p und die Schubspannung q innerhalb der Berührungszone führen in den hier allein betrachteten Grenzfällen des vollkommenen Gleitens und vollkommenen Haftens auf geschlossene Lösungen. Außer p und q wird die für die Beurteilung der Beanspruchung wichtige tangentiale Randspannung ( _x ) _y =0 berechnet. Die Ergebnisse werden diskutiert und für die möglichen Extremfälle (eine der beiden Walzen ist starr; beide Walzen bestehen aus demselben Material) in Diagrammen niedergelegt. Es zeigt sich, daß im reinen Gleitfall gegenüber der Hertzschen Verteilung im wesentlichen nur eine Verlagerung des Druckmaximums erfolgt, während der reine Haftfall bei der Walzenpressung zu einer Erhöhung des Druckmaximums infolge der Reibung führt.     

A characteristic length for dilute drag reducing polymer solutions: Measurement using hot film anemometers

Summary This paper emphasizes that a length characterizing the fluid must be used to write realistic constitutive equations for some flows of high molecular weight polyethylenoxide solutions. The onset velocityu _c of anomalous heat transfer about submerged cylinders and the characteristic timet _c of the solutions have been measured using hot film sensors and total head pressure tubes. Measurements made for several cylinder diameters, solution concentrations, solvents and polymer molecular weights produce a characteristic length which actually looks like the fully extended length of the macromolecules.

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Zusammenfassung Diese Untersuchung stellt heraus, daß eine die Flüssigkeit charakterisierende Länge benötigt wird, wenn man für gewisse Strömungssituationen bei hochmolekularen Polyäthylenoxid-Lösungen realistische Stoffgleichungen angeben will. Die Einsatzgeschwindigkeitu _c für die anomale Wärmeübertragung bei eingetauchten Zylindern und eine für die Lösung charakteristische Zeitt _c werden mit Heißfilmsonden und Staurohren gemessen. Die mit verschiedenen Zylinderdurchmessern, Lösungskonzentrationen, Lösungsmitteln und Molgewichten durchgeführten Messungen ergeben eine charakteristische Länge, die der Größenordnung nach mit der Länge der voll ausgestreckten Makromolekeln übereinstimmt.

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With 3 figures and 2 tables     

Viskosität und Struktur von basischen Aluminiumchlorid-Lösungen

Zusammenfassung Es wird der Einfluß von Konzentration, Temperatur und Schubspannung auf die effektive Viskosität der Lösungen von basischem Aluminiumchlorid (BACh) der Formel m Al₂O₃ · m HCl · 55,5 H₂O ([m] = mol Al₂O₃/1000 g H₂O) untersucht. Dabei werden Lösungen betrachtet, für die M = m/m = 1 ist. Je nach der Konzentration zeigen die BACh-Salze entweder ein newtonsches oder aber ein nicht-newtonsches Fließverhalten. Aus der Aktivierungsenergie, der Fließenthalpie und der Fließentropie und deren Abhängigkeit von der Konzentration und der Schubspannung kann man Schlüsse betreffend die Struktur der Lösungen ziehen. Es wird gezeigt, daß hierfür Wasserstoffbrückenbindungen eine entscheidende Rolle spielen.

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The influence of concentration, temperature and shear stress on the effective viscosity of basic aluminium chloride (BACh) solutions with the formula m Al₂O₃ · m HCl · 55.5 H₂O ([m] = mol Al₂O₃/1000 g H₂O) has been investigated for solutions with M = m/m = 1. Depending on the concentration these solutions show rheological behaviour of either Newtonian or non-Newtonian type. Conclusions about the solution's structure can be obtained from the activation energy, enthalpy and entropy of the flow and their dependence on the concentration and the shear stress. It is shown that hydrogenbond networks play a decisive role in the formation of the solution structure.

     

One-dimensional transient wave propagation in fluid-saturated incompressible porous media

Summary In this investigation, the general formalism for the field equations governing the dynamic response of fluid-saturated porous media is analyzed and employed for the study of transient wave motion. The two constituents are assumed to be incompressible. A one-dimensional analytical solution is derived by means of Laplace transform technique which, as a result of the incompressibility constraint, exhibits only one independent dilatational wave propagating in the solid and the fluid phases, respectively. The fluid-saturated porous material is supplied with characteristics similar to those occuring in viscoelastic solids. This work can provide the further understanding of the characteristics of wave propagation in porous materials and may be taken for a quantitative comparision to various numerical solutions.

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Eindimensionale transiente Wellenfortpflanzung in flüssigkeitsgefüllten inkompressiblen porösen Medien

Übersich In dieser Arbeit wird der allgemeine Formalismus für die Feldgleichungen, die das dynamische Verhalten der fluidsaturierten Medien bestimmen, analysiert und für die Untersuchung der transienten Wellenbewegung ausgewertet. Es wird angenommen, daß beide Konstituierenden inkompressibel sind. Mit Hilfe der Laplacetransformation wird eine eindimensionale analytische Lösung abgeleitet, die als ein Resultat der Inkompressibilitätsbedingung nur eine unabhängige dilatante Wellenfortplanzung zeigt. Das fluidsaturierte poröse Material ist mit Charakteristiken versehen, die denen viskoelastischer Festkörper ähnlich sind. Diese Arbeit soll das weitere Verstehen der charakteristischen Eigenschaften der Wellenfortpflanzung in porösen Materialien erleichtern. Die Ergebnisse können zum quantitativen Vergleich mit verschiedenen numerischen Lösungen verwendet werden.

     

Active control of elastic plates

Summary Structural control involves frequently the control of continuous structural components leading to problems described by partial differential equations. Since in addition the control operator makes the problems in many cases non-selfadjoint, one is faced with a non-trivial situation. Due to non-selfadjointness, design based on a modal technique may exhibit spillover: That is instability of the controlled system due to the detrimental effect of higher modes which have been neglected in the design. Therefore, the design should be based on closed form solutions. In this paper, it is shown that for a plate such closed form solutions can be found. It is also shown that the controlled plates behave satisfactorily, and it is indicated that the structural parameter associated with the non-selfadjoint control operator should be positive, yet limited from above, in order to ensure an adequate and stable response of the controlled plate.

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Aktive Regelung elastischer Platten

Übersicht Die Regelung von Baukonstruktionen schließt häufig die Regelung von kontinuierlichen Bauelementen ein, was zu partiellen Differentialgleichungen führt. Da der Regelungs-Operator die Probleme noch dazu nichtselbstadjungiert macht, steht man einer nichttrivialen Situation gegenüber. Wegen der Nichtselbstadjungiertheit kann ein Entwurf des Regelungssystems mittels Eigenfunktionentwicklung zu spillover führen: Das ist Instabilität des Regelungsystems auf Grund des destabilisierenden Effekts von höheren Eigenfunktionen, die beim Entwurf vernachlässigt worden sind. Deshalb sollte ein Entwurf unter Benutzung geschlossener Lösungen erfolgen. In dieser Arbeit wird gezeigt, daß für eine Platte solche geschlossenen Lösungen gefunden werden können. Es wird auch gezeigt, daß sich die Platte unter der Regelung zufriedenstellend verhält, und es wird angedeutet, daß der strukturelle Parameter, welcher mit dem nichtselbstadjungierten Regelungs-Operator verknüpft ist, positiv sein soll, jedoch von oben her begrenzt, wenn angemessenes und stabiles Verhalten der geregelten Platte gewährleistet sein soll.

     

Unified treatment of free convection adjacent to a vertical plate with three thermal boundary conditions

Free convection adjacent to a vertical plate is considered with three different boundary conditions, namely, the plate is subjected to a prescribed temperature, a prescribed heat flux or a prescribed heat transfer coefficient. By a unified treatment of similarity analysis, the governing equations of free convection are reduced to identical system of ordinary differential equations for all the cases. It is shown that these equations are invariant under a certain transformation group and solution for one case can be used to obtain the solutions for the other two cases by a simple method. The critical cases are found for which the solutions for all the three cases are identical.

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Einheitliche Behandlung der freien Konvektion längs einer vertikalen Platte für drei verschiedene Randbedingungen

Zusammenfassung Die freie Konvektion längs einer vertikalen Platte wird für drei verschiedene Randbedingungen betrachtet: einmal wird die Platte auf einer bestimmten Temperatur gehalten, dann einem bestimmten Wärmestrom ausgesetzt und letztens mit einem bestimmten Wärmeübergangskoeffizienten untersucht. Bei einer einheitlichen Behandlung der Ähnlichkeitsanalyse werden für alle Fälle die bestimmenden Gleichungen für freie Konvektion zu einem identischen System von gewöhnlichen Differentialgleichungen reduziert. Es wird beweisen, daß diese Gleichungen unter bestimmten Transformationsgruppen invariant sind und Lösungen von einem Fall dazu benützt werden können, um die Lösungen der restlichen Fälle zu erhalten. Es werden die kritischen Fälle gefunden, für die alle Lösungen der drei entsprechenden Randbedingungen identisch sind.

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Nomenclature c _o positive constant - c _p specific heat of the convective fluid - C function defined by Eq. (6a) - E energy convection by the boundary layer - f dimensionless stream function - g gravitational acceleration - G function defined by Eq. (6b) - k thermal conductivity - N heat transfer coefficient - PHF prescribed heat flux - PHTC prescribed heat transfer coefficient - Pr Prandtl number - PT prescribed temperature - q _w surface heat flux - T temperature - T _e ambient temperature - u velocity component inx direction - v velocity component iny direction - x coordinate in the vertical direction - y coordinate in the horizontal direction - coefficient of thermal expansion - dimensionless similarity variable - kinematic viscosity - dimensionless temperature - density of the convective fluid - stream function     

Rayleigh-Bénard-Konvektion in Rohrbündeln-Experimentelle Überprüfung eines einfachen Modells-

Übersicht Für die freie Konvektion in den Rohren eines senkrechten Rohrbündels wurde kürzlich eine sehr einfache analytische Lösung mitgeteilt [1]. Zur Überprüfung der Ergebnisse sind inzwischen Versuche an einer kleinen Laborapparatur mit zwei und mit drei parallelen senkrechten Rohren durchgeführt worden. Numerische Berechnungen, die gleichzeitig von Merker für Bündel paralleler Spalte mit adiabater Wand ausgeführt wurden, bestätigen die Ergebnisse der einfachen Theorie. In der Laborapparatur ließ sich aber die im analytischen Modell zunächst gewählte Randbedingung adiabate Rohrwand nicht realisieren. Daher wurde der Wärmetransport über die Rohrwand an die umgebende, in einer adiabaten Hülle eingeschlossene Luft näherungsweise mit einem konstanten Wärmedurchgangskoeffizienten berücksichtigt. Auch dafür läßt sich noch eine geschlossene analytische Lösung angeben. Die kritische Rayleighzahl wächst danach mit zunehmendem Wärmetransport durch die Rohrwände. Unsere Meßergebnisse bestätigen diese erweiterte Theorie.

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Numerical study on viscous shear flow past a circular cylinder using integro-differential formulation

Numerical solutions of the unsteady Navier-Stokes equations are presented for the two dimensional flow about a cylinder immersed in a simple shear flow by using the integrodifferential formulation. Selected numerical results for Reynolds numbers 40 and 80 shear parametersK=0.1 and 0.2 are presented and compared with finite-difference results. Plots of streamlines and equi-vorticity lines and time histories of lift, drag, stagnation point and separation angles are given. It was found that two separation bubbles exist periodically behind the lowvelocity side of the cylinder; a main bubble and a secondary one, while there is only one bubble behind the high-velocity side. Numerical results showed that the lift force acts in the direction towards the low-velocity side of the free stream and its magnitude varies periodically with the nondimensional time. In addition, the magnitude of the lift force is approximately proportional to the shear parameterK.

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Numerische Studie einer viskosen Scherströmung hinter einem Zylinder unter Verwendung eines Integral-Differential-Verfahrens

Zusammenfassung Es werden numerische Lösungen der instationären Navier-Stokes Gleichungen für eine zwei-dimensionale Strömung um einen Zylinder mitgeteilt. Der Zylinder ist einer einfachen Scherströmung ausgesetzt. Zur Lösung wird ein integral-Differential-Verfahren verwendet. Es werden ausgewählte Ergebnisse für Reynolds-Zahlen zwischen 40 und 80 sowie für die ScherparameterK= 0,1 und 0,2 dargestellt. Die Ergebnisse werden mit Resultaten aus einer finiten Differenzenmethode verglichen. Weiterhin werden die Stromlinien, die Linien gleicher Geschwindigkeit und der zeitliche Verlauf von Auftriebskraft und Widerstandskraft sowie die Bewegung des Staupunktes und des Ablösepunktes graphisch dargestellt. Es stellte sich heraus, daß zwei Ablöseblasen periodisch hinter dem Zylinder im Gebiet kleiner Geschwindigkeit auftreten. Dabei handelt es sich um eine primäre und eine sekundäre Ablöseblase. Im Hochgeschwindigkeitsbereich existiert nur eine Ablöseblase. Die numerischen Ergebnisse zeigten, daß die Auftriebskräfte in Richtung des Bereiches Niedergeschwindigkeit wirken, wobei deren Größe periodisch mit der Zeit schwankt. Die Größe der Auftriebskraft ist näherungsweise proportional zum ScherparameterK.

     

Ein neues Verfahren zur Drehschwingungsberechnung von Kolbenmaschinen bei Berücksichtigung der Torsion zweiter Art

Zusammenfassung Einer genauen Drehschwingungsberechnung von Kolbenmaschinen ist die Torsion zweiter Art zugrunde zu legen. Für je drei aufeinanderfolgende Drehmomente läßt sich eine Rekursionsformel angeben, welche sich von derjenigen bei der Torsion erster Art dadurch unterscheidet, daß alle drei Koeffizienten der Momente ein mit der Eigenkreisfrequenz behaftetes Glied enthalten. Im Fall einer homogenen Maschine vereinfacht sich diese Rekursionsformel auf eine Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten; ihre Lösung führt auf einfache trigonometrische Ausdrücke. Insbesondere lassen sich im rein homogenen Fall die Eigenfrequenzen streng und in geschlossener Form angeben. Ferner werden die praktisch wichtigen Fälle einer homogenen Maschine mit einer oder zwei Zusatzdrehmassen eingehend behandelt; allerdings müssen dabei die Eigenwerte aus im allgemeinen nicht explizit lösbaren transzendenten Gleichungen bestimmt werden, wobei zu beachten ist, daß auch komplexe Eigenwerte möglich sind. Es zeigt sich weiterhin, daß die einem komplexen Eigenwert entsprechende Frequenz (theoretisch) imaginär werden kann; dieser Fall dürfte jedoch in der Praxis kaum eintreten, da, wie man durch eine genauere Untersuchung erkennt, hierzu die Einflußzahlen der Nebentorsion die Größenordnung derjenigen der Haupttorsion erreichen müßten. Für die behandelten Schwingungssysteme werden außerdem Formeln zur Ermittlung der Momenten- und Drehwinkelverhältnisse abgeleitet. Als Beispiel wird abschließend eine Vierzylindermaschine mit Schwungrad vollständig durchgerechnet.Die Verfasser sind Herrn Prof. Grammel für die Anregung zu dieser Arbeit sehr zu Dank verbunden.     

A screw dislocation near an elliptic hole in non-local elasticity

Summary The solutions are given for the stress field and elastic energy of a screw dislocation near an elliptic hole in non-local elasticity by a conformal mapping technique. The numerical results are discussed for the stress along thex-axis. Allowing one axis of the ellipse to dwindle to zero, the solution of the finite length crack is obtained.

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Schraubenversetzung neben einem elliptischen Loch bei nichtlokaler Elastizität

Übersicht Durch eine konforme Abbildungstechnik werden die Lösungen für das Spannungsfeld und die elastische Energie der Schraubenversetzung neben einem elliptischen Loch in nichtlokaler Elastizität gegeben. Die numerischen Ergebnisse werden für die Spannung entlang derx-Achse diskutiert. Läßt man eine Ellipsenachse gegen Null gehen, so gewinnt man die Lösung für den Riß endlicher Länge.