空间四边形的一个性质及其应用

性质　如图 ,空间四边形ABCD中 ,点E分AB ,及点F分DC所成的比均为λ ,则EF =11 +λAD + λ1 +λBC .图 1证明　如图 ,过C点作CH∥AD且CH =AD ,连结AH ,则四边形ADCH为平行四边形 .设CB和CH确定的平面为α ,过F作AD的平行线交AH于G ,连结EG .因为E ,F分AB ,DC所成比为λ所以AGGH=DFFC=λ =AEEB,因为EF =EG +GF ,EG =λ1 +λBH ,所以EF =λ1 +λBH + λ1 +λHC + 11 +λAD=λ1 +λBC + 11 +λAD .又因为E ,G ,F分别为中点 ,所以EG =12 BH ,GF =AC =HC ,所以EF =12 BH +AD =12 (BH +HC) +12 AD =1…     

由三角形角分线想起

在学完向量的知识之后 ,发现向量可以讨论一些平面几何的问题 ,那么能否证明三角形的角分线定理 ?命题 1　用向量证明三角形角分线定理 .证明　如图 1 ,已知△ABC ,AD为∠BAC的角平分线交BC于D ,试用向量证图 1　命题 1图明 :ABBD=ACCD.证明　设AB =a ,AC =b ,BD =c,DC =d ,由∠BAD =∠CAD ,cos∠BAD= a·AD|a|·|AD| ,cos∠CAD =b·AD|b|·|AD| ,得a·ADa =b·ADb ( 1 )由BD与BC在同一直线上 ,设BD =λBC ,即 |c| =λ|BC| ,λ =c|c| + |d| ,得　　AD =a +c =a +λBC =a +λ(b -a) ( 2 )将 ( 2 )代入 ( 1 ) ,得　…     

圆锥曲线一个性质的简证

惠润科老师在文[1]中给出圆锥曲线的如下性质:过圆锥曲线焦点F作倾斜角为α的直线l与圆锥曲线交于A,B两点,且F分AB所成比为λ,e为离心率,则cos2α=e(2(λλ- 11))22.原证明采用传统解析几何的方法,但证明过程较繁琐.笔者利用圆锥曲线的第二定义,并采用数形结合的方法,给出该性质的一个简证.证明以椭圆为例,如图1,AD,BC为准线的垂线,BE垂直AD,F分AB所成比为λ(λ>0),设BF=x,AF=λx(x>0).由圆锥曲线第二定义:BBFC=e BC=1ex,同理AD=eλx,(1)λ>1时,AD>BC,AE=AD-BC,图1图2由图1得cos2α=sin2∠ABE=AABE2=ADA-BBC2=λ-1ex2(…     

Ceva定理的一个面积蕴含式

约定：点D，E，F分别是△ABC三边BC，CA，AB上的点，且AF/FB=λ1，BD/DC=λ2，CE/EA=λ3．     

数学问题解答

1706在△ABC中，AB—AC，∠ABC的平分线交AC于D，且BC=AD-BD，求∠A． （沈阳市于洪区黑山路10—19甲222号孙哲110034） 解 在AD上取一点E，使AE=BD，由BC=AD-BD． 得ED=BC 作EF//BC，连DF，作∠GBC=∠A，则BG=BC     

简解一倒

题目（2011年高考数学天津卷理科第14题）已知直角梯形ABCD，AD//BC，〈ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰上的动点，     

一道中考数学题的另证

<正>近日阅读文,受益匪浅,深受启发.通过认真研究该中考题,又得到多种另解,在此写出来,与广大同学和老师交流.2012年大连市中考第25题:如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=2∠BCD=2α,点E在AD上,点F在BC上,且∠BEF=∠A.(1)∠BEF=(用含α的代数式表示);     

等腰梯形的一个性质及推广

性质等腰梯形的一条对角线与一腰的平方差等于上下底的积.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,则BD2-AB2=AD·BC.证明∵梯形ABCD是等腰梯形,∴BD=AC.∵等腰梯形有一个外接圆,由托勒密定理得BD·AC=AB·CD+AD·BC,并注意到AB=CD,故BD2-AB2=AD·BC.推广1如图2,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,P是BC上任意一点,则PD2-PA2=AD(PC-PB).     

构造全等 解联赛几何题

<正>2017年全国初中数学联赛四川初二初赛第11题难度不大,图形简洁,但解法众多.下面用多种构造全等的方法求解这道题,供大家参考.题目如图1,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD上的一点,且AD=DC,∠DEC=∠ABC,求证:AB=CE.解法一如图1,在BC上取一点F,使AF=AD.则∠1=∠2,可得∠3=∠4,又∠ABC=∠DEC,AF=AD=CD,故△AFB≌△CDE,     

数学问题解答

2006年11月号问题解答(解答由问题提供人给出)1641如图,BC是半圆O的直径,AC⊥BC于C,AD切半圆于D,设圆的半径为r,且BD OA=29r,求:AD.(安徽省肥西中学刘运宜231200)解连结OD、CD.因为AD是半圆O的切线,所以OD⊥AD,即∠ADO=90°.又因为AC⊥BC,所以∠ACO=90°,所以∠ADO ∠ACO=180°     

平面几何中的一个定比分点公式及应用

众所周知,在解析几何中有一个常用的定比分点公式,实际上在平面几何中也存在类似的结论.笔者给出关于线段比的一个定比分点公式,并举数例说明其在解题中的应用. 定理 设D是△ABC的边BC上一点,P、Q、R分别为AB、AD、AC(或其延长线)上的点,记会AB/AP=x1,AC /AR=x2,AD/AQ=x,BD/DC=λ,若P、Q、R三点共线,则x=x=x1+λx2/1+λ(*).     

数学问题解答

2007年9月号问题解答（解答由问题提供人给出）1691AABC中，AB-AC，D在BC上且BD=2DC；E在AD上且∠ABE=∠CAE．     

触“类(比)”旁通 从“会”到“透”

(2012上海高考理-14)如图1,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2,若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是 分析:观察题中的AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,类比椭圆定义,易知BC线段是“椭球”面上与焦点连线所在的轴垂直的动线段,当BC线段位于“椭球”短轴所在的截面圆时,体积最大. 解:由已知,B、C在分别是以A、D为焦点,长轴长为2a的两个椭圆上(如图2),过点B作BM上AD,垂足为M,连接MC,由AD⊥BC,AD⊥MB,知AD上平面BMC,进而AD上MC,设BM=x,由椭圆的对称性知BM=CM=x,此时,四面体ABCD的体积V=1/3S△MBC·AD=1/3×1/2×2×√x2-1×2c=2c√a2-c2-1/3(0＜x≤／a2-c2).     

利用梯形构图证明代数不等式

在初中几何课本第一册中,有复习题: 在梯形ABCD中,平行于底的直线与腰AB、DC分别相交于P、Q,若AP:PB=m:n,则有PQ=mBC+nAD/m+n连接对角线AC,不难证明这个命题,证明(略)设AD=a,BC=b,m/n=λ,可得PQ=a+λb/1+λ (1)     

2023年新疆高三第一次适应性检测一道几何试题的探究

<正>1题目(2023年新疆自治区第一次检测第18题)如图1,在平面四边形ABCD中,AB=AD=1,■,且BC⊥CD,以BD为折痕把△ABD和△CBD向上折起,使点A到达点E位置,点C到达点F的位置,且E,F不重合．(1)求证:EF⊥BD;     

一个作图试题的解答和思考

<正>1案例如图1,△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,射线AD//BC,点P和点Q分别是AD,BC上的动点,且AP=CQ,问BP+BQ是否存在最小值?如果存在,在图2中请用尺规作图在图中确定P,Q的位置,并计算BP+BQ的最小值;如果不存在,请说明理由.     

这样的梯形存在吗

有一本教辅书上,介绍这样一个题目: 例题 如图1,梯 形ABCD中,AD∥ BC,其中AD=10,BC =16,AB=13,DC= 6,∠A、∠B的平分线 交于E,∠D、∠C的平 分线交于F,连结EF． 试求EF的长?     

把向量的系数和化为“1”

一个众所周知的结论:在AP=λAB+μAC中,若λ+μ=1,则点P在直线BC上.在这个结论中,消去λ,μ分别得BP=μBC,PC=λBC,从而有λBP=μPC,由此可确定点P在直线BC上的位置.这一结论所研究的是向量系数和为"1"的情况,但在高考和一些数学竞赛中,我们常常会遇到向量系数和不为"1"的情况.如何解决这类问题呢?有一处理策略:将向量的系数和仍化为"1".下面先谈一下这     

另解课外练习题两例

<正>贵刊2017年4月下课外练习栏目初二年级的第2题:如图1,直角梯形ABCD中,∠C=45°,AD=1,CD=22^(1/2),BE⊥CD于E,求BE之长.参考答案解延长AD至F,使得AF=BC,连CF,易知:四边形ABCF为矩形,且△DFC为等腰直角三角形.在Rt△DFC中,由勾股定理知CF=FD=2.∴AF=AD+DF=3.     

由一题想到的

初三几何课本87页第三题<人教版>.我在证明时,发现了以下三种证明的方法,从得到的辅助线中受益匪浅. 如图,BC为⊙O的直径,AD⊥BC,垂足为D,AB=AF,BF和AD交于E.求证:AE=BE. 证法一如图1.连