3-边连通图中的超欧拉图

一个含有生成闭迹的图称为超欧拉图。设G是n阶3－边连通图，若对任意G的边数为3的最小边割E都满足G－E遥每一连通分支的阶至少为（n-1）／10，则或者G是超欧拉图，或者G可收缩为G‘＝Petersen图，且G‘的每个顶点在G中的原像是G的一个可折叠子图，其顶点数至少是（n-1）／10。     

关于判定超欧拉图的收缩法

P.A.Catlin提出一个问题：设H是图G的一个连通子图，如果G关于H的收缩图G/H有一个欧拉生成子图，那么在什么条件下G也有一个欧拉生成子图？研究了这一问题，讨论了Catlin提出的用收缩法判定超欧拉图的两个定理，给出了一些实用的超欧拉图的判别方法。     

超欧拉图生成子图边数问题的综述

综述了超欧拉图的生成子图边数问题,包括该问题的提出及研究发展过程,并罗列了两类公开问题:能否证明边数问题的下确界是35,若不能证明,能否找到更小的下确界?对一些著名的超欧拉图类,如具有两棵边不交的生成树的图等,能否证明其满足Catlin-猜想或35-猜想?     

广义棱柱和补棱柱中的超欧拉图

对于一个图G,它的顶点标号为1,2,…,n,S_n是在{1,2,…,n}上的n次对称群,α∈S_n是一个置换,图G的α-广义棱柱,记作α(G),是指图G的2个复制,G_x和G_y,连同所有置换边(x_i,y_(α(i))(1≤i≤n)所构成的图.图G的补棱柱,记作G G,同构于由G和G的补图G的不交并,再加上一个连接G和G对应顶点的完美匹配构成的图.如果图G有一个生成欧拉子图,那么称G是超欧拉图.研究了完全二部图、路和圈的广义棱柱和补棱柱是超欧拉图的充要条件.     

边-超欧拉图的一个度数和条件

图G称为边-超欧拉图,如果对于它的任一条边e,都有欧拉生成子图H包含e．给出了边-超欧拉图的一个度数和条件,即：设G是2一边连通的n个顶点的简单图,如果n≥100并且对于图G的任意两个不相邻的顶点u和v都有d（u）＋d（v）≥2/5n,那么对于图G的任意一条边e,或者G有欧拉生成子图H包含e,或者G（G关于e的剖分图）可以被收缩成K2.3或K2.5．     

极大欧拉生成子图边数的几个定理

利用收缩的方法研究了超欧拉图的欧拉生成子图的边数问题,得到了结果:若 1个超欧拉图的子图H最多差 1条边有 3棵边不交的生成树,如果把H收缩后的图满足Catlin猜想,则原图也满足Catlin猜想 .     

寻找欧拉生成子图最大边数的一个方法

设G是超欧拉图,X是G的子图.在G中,把X的点收缩为一个点vX,去掉X的边,得到G关于子图X的收缩,记为G/X.引入a—子图的概念,得到了若干a—子图,并表明如何利用a—子图来寻找欧拉生成子图的最大边数.     

超欧拉图的一个注记

得到了超欧拉图的一个特征性质:G是简单图,则G是超欧拉图当且仅当G中有边不交路P1,…,Ps,使得E(Pi)连通.利用它可以证明:当m,n不其端点两两不同,并且满足O(G)={Pi的端点|=1,2,…,s},G-∪si=1同时为3时,m×n型矩形网格图是超欧拉图.     

不含三角形图的一个边数性质

不含三角形子图是简化图的一个重要特征.在研究超欧拉图的边数问题中,估计子图的边数是一个有趣的问题.在考察不含三角形子图这一类图时,使用移边法发现了一个估计这类图的边数的一个上界,并且得到了在达到这个上界时,该图所具有的结构.     

关于图的3—边色数

本文定义了图的r—边色数,研究了一般图的3—边色数的界和一些特殊图类的3—边色数,给出了图与其补图的3—边色数之间的关系。     

圈秩为2的图的线图的边色数

讨论了线图的边色数，给出了圈秩为２的图的线图的边色数．     

图的色数与其补图边色数的关系

本文对图的点色数与其补图边色数的关系进行了考察.     

自补图的独立数与覆盖数

主要讨论了自补图的边独立数和边覆盖数,给出了点独立数的严格上、下界： ,其中 是 的点色数,分析并证明了点独立数取得上、下界的自补图的存在性。     

极小n棱连通图的着色与棱数

Mader证明极小n连通图是n+1色可着的,本文证明极小n棱连通图也是n+1色可着的。并且对极小n棱连通图的棱数界进行了估计,证明了若G是p阶极小n棱连通图,则G的棱数e(G)≤n(p-1)。     

图的边覆盖数、围长和最大亏格

设G为图,用ω(G)和g(G)分别表示图G的边覆盖数和围长.结合图G的边覆盖数和围长等条件,得到了Betti亏数ξ(G)的一个上界,即设G为k-边连通图,则ξ(G)≤{|V(G)|-ω(G)(「)g(G)/2」, k=1,max{1,|V(G)|-ω(G)(k-1)(「)g(G)/2」-1},k=2,3.进而得到最大亏格γM(G)的一个下界.所得结果改进了目前已有的结果.