Eisenstein判别法的推广

引起我们思考这一问题的是第３４届ＩＭＯ的一道试题：设ｆ（ｘ）＝ｘｎ＋５ｘｎ－１＋３，其中ｎ是一个大于１的整数．求证：ｆ（ｘ）不能表示为两个多项式的乘积，其中每个多项式都具有整数系数而且它们的次数都不低于一次题目要求判别一个整数系数多项式不可约，自然会...     

多项式系数大小与多项式不可约

多项式系数大小与多项式不可约梅汉飞（湖南省常德师专４１５０００）Ｐｅｒｓｏｎ于１９０７年首次通过比较多项式系数的大小，来判定多项式不可约：定理Ａ［１］设ｆ（ｘ）＝ｘｎ＋ａｎ－１ｘｎ－１＋…＋ａ１ｘ＋ａ０，ａ０≠０是一个整系数多项式．如果则人叫在有理数...     

整多项式可约性的一个判别法

整多项式可约性的一个判别法王琳（中央财院数学教研室）整系数多项式可约性的判定是多项式研究的一个基本问题，也是一个比较困难的问题．在这方面有著名的艾森斯坦因判别法．为论述方便先引人下面记号．设ｆ（ｘ）＝…＋ａ１ｘ＋ａｏ（ａｎ０）为一整系数多项式ｐ是一个...     

关于whc78、whc79的解决

关于ｗｈｃ７８、ｗｈｃ７９的解决杨仕椿（四川西充县常林中学）若多项式ｆ（ｘ）与ｆ（Ｘ）＋１同时在数集Ｋ上可约，则称ｆ（ｘ）为Ｋ上的连贯多项式．即使对于二次的连贯多项式，知道的结果也很少．杨之先生在［１］中考虑了整数集Ｚ上的二次多项式ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋...     

一个新的多项式不可约判定定理

一个新的多项式不可约判定定理梅汉飞，龙占洪（湖南常德师专４１５０００）（湖南常德市五中）本文利用复数性质深化了Ｂｒｏｗ，Ｇｒａｈａ判定定理［１］，使其有更广的应用范围．约定Ｑ为有理数域，Ｚ为整数环，表示ｘ的共轭数，表示集Ａ的元素个数．表示多项式ｖ（ｘ...     

Galois环上的本原多项式的一个判别准则

本文给出Ｇａｌｏｉｓ环Ｒ上的基本不可约多项式ｆ（ｘ）的根的具体表达式和其阶的联系；由此，对本原多项式和次本原多项式分别推导出代数判别式，其主要部分分别由ｆ（ｘ）ｍｏｄｐ和ｆ（ｘ）ｍｏｄｐ２的系数所确定．     

一个整除定理的作用

一个整除定理的作用朱端本（武钢三中４３００８０）本文得到下面的定理１、定理２，应用这两个定理处理某些整除问题，有时较方便．定理１对于整系数一元多项式ｆ（Ｘ）及整数ａ，ｘ０，当ｆ（ａ）４０时，ｘ。一ａ整除ｆ（ｘ；；）的充分必要条件是ｘ；；一ａ整除ｆ（ａ...     

关于多项式的Waring问题（Ⅱ）

设ｆ＿ｌ（ｘ）是首项系数为正的ｌ次整系数多项式，满足条件：不存在整数ｄ，ｑ＞１使得ｆ＿ｌ（ｘ）≡ｄ（ｍｏｄｑ）对所有ｘ成立．记Ｒ＿ｋ（ｎ）为方程的正整数的解数，本文的主要结果是：对于及充分大的ｎ，我们有Ｒ＿ｋ（ｎ）》这是Ｖａｕｇｈａｎ关于Ｗａｒｉｎｇ问题的一个结果对多项式的推广。     

幺模群上的不可分解正定函数及其应用

本文得到了么模群Ｇ上酉表示的不可约性的一个等价刻画．即若ｆ是Ｇ上正定函数,π是Ｇ在Ｈｉｌｂｅｒｔ空间Ｈ上的酉表示,ｕ∈Ｈ是 Ｈ的拓扑生成元且ｆ（ｘ）＝（π（ｘ）ｕ,ｕ）,则ｆ是不可分解的正定函数的充要条件是π是不可约酉表示．并将这一结果应用到ＳＵ（２）,ＳＬ（２,Ｒ）上．     

关于Z／mZ上置换多项式向量组的一个注记

设ｍ和ｎ是两个正整数，Ｒ＝Ｚ／ｍＺ是整数模ｍ剩余类环．设ｎ个多项式ｆｊ（ｘ１，…，ｘｎ）∈Ｒ［ｘ１，…，ｘｎ］，ｊ＝１，…，ｎ，若对任给的（ａ１，…，ａｎ）∈Ｒｎ，同余式组ｆｊ（ｘ１，…，ｘｎ）≡ａｊ（ｍｏｄｍ），ｊ＝１，…，ｎ，恰有一个解，则称ｆ１，…，ｆｎ是一组置换多项式向量模ｍ．一个自然的问题是：Ｒ上哪些ｎ元多项式可以扩充为一组置换多项式向量模ｍ？本文解决了这一问题，并给出了一个充分必要条件．     

有限域上具有交换图表性质的多项式

本文给出了有限域Ｆ_ｑ上满足条件ｆ（ｇ（ｘ））≡ｈ（ｆ（ｘ））的多项式ｆ（ｘ）的通解表示公式及在ｄｅｇｆ＜ｑ条件下的ｆ（ｘ）的个数计算公式，此地ｇ（ｘ）和ｈ（ｘ）是Ｆ_ｑ上给定的两个多项式，其中之一是置换多项式．这一结果推广了文献［３］的主要结果，而在ｇ（ｘ）和ｈ（ｘ）均为线性多项式的特殊情况，则分别推广了文献［１］和［２］中的主要结果．     

周期函数一组判定定理的完善

文［１］给出了判定周期函数的一组三个定理,读后很受启发．用这组定理可以正确地判定一些周期函数,但其中关于最小正周期的部分内容却存在疏漏,下面加以完善．原文定理１　设λ为非零常数,若对函数ｆ（ｘ）定义域中的任意ｘ,恒有ｆ（ｘ＋λ）＝Ｍ（ｆ（ｘ））①（其中Ｍ（ｘ）满足Ｍ（Ｍ（ｘ））＝ｘ且Ｍ（ｘ）≠ｘ）．则ｆ（ｘ）为周期函数,２λ是它的一个周期．若λ是满足条件①的最小正数,则２λ是它的最小正周期．反例　当ｆ（ｘ）＝１,ｘ∈Ｚ－１,ｘＺ,Ｍ（ｘ）＝１ｘ时,Ｍ（Ｍ（ｘ））＝ｘ,Ｍ（ｘ）≠ｘ,且ｆ（ｘ＋１…     

一个二维整数瓶颈问题及其算法

本文讨论了数学模型：ｍａｘ｛ｆ（ｘ）│ｆ（ｘ）＝ｍｉｎ（１≤ｊ≤ｎ）〔ｃ１ｊｘ１ｊ＋ｃ２ｊｘ２ｊ〕，ｘ∈Ｄ｝，其中Ｄ＝｛ｘ│ｘ＝｛ｘｉｊ｝，ｎΣ（ｊ＝１）ｘｉｊ＝ａ，ｉ＝１，２，ｘｉｊ≥０且为整数｝，并给出了一个拟多项式算法。     

整系数多项式在整数环上不可约性的进一步探讨

本文首先给出了整系数多项式有二次整系数多项式因式的一个必要条件，进而通过对整系数多项式ｆ（ｘ）＝ＡｎＸ２十αｎ－１Ｘｎ－１＋…＋αｏ中ｘｎ－２的系数αｎ－２的讨论，得到一类整系数多项式在整数环上是否可约的一个判别法。     

关于Thue方程的解数

设ｍ是正整数，ｆ（Ｘ，Ｙ）＝ａ０Ｘｎ＋ａ１Ｘ（ｎ－１）Ｙ＋．．．＋ａｎＹｎ∈Ｚ［Ｘ，Ｙ］是Ｑ上不可约化的叫ｎ（ｎ≥３）次齐次多项式。本文证明了：当ｇｃｄ（ｍ，ａ０）＝１，ｎ≥４００且ｍ≥１０（３５）时，方程｜ｆ（ｘ，ｙ）｜＝ｍ，ｘ，ｙ∈ｚ，ｇｃｄ（ｘ，ｙ）＝１，至多有６ｎｖ（ｍ）组解（ｘ，ｙ），其中ｖ（ｍ）是同余式Ｆ（ｚ）＝ｆ（ｚ，１）≡０（ｍｏｄｍ）的解数。特别是当ｇｃｄ（ｍ，ＤＦ）＝１时，该方程至多有６ｎ（ω（ｍ）＋１）组解（ｘ，ｙ），其中ＤＦ是多项式Ｆ的判别式，ω（ｍ）是ｍ的不同素因数的个数．     

关于Lagrange平均插值过程的逼近阶估计

本文以多项式（１＋ｘ）Ｖｎ（ｘ）Ｖｎ（ｘ）＝ｃｏｓ２ｎ＋１２θｃｏｓθ２，ｘ＝ｃｏｓθ的零点作为插值的节点，构造了一个Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式算子过程Ｃｎ（ｆ，ｘ），给出了其逼近阶估计．同时证明Ｃｎ（ｆ，ｘ）亦满足Ｄｉｔｚｉａｎ－Ｔｏｔｉｋ定理．     

具有与任意图正交的(g,f)-因子分解的子图

设ｇ和ｆ分别是定义在图Ｇ的顶点集合Ｖ（Ｇ）上的整数位函数且对每个ｘ∈Ｖ（Ｇ）有０≤ｇ（ｘ）≤ｆ（ｘ）．证明了：若Ｇ是一个（ｍｇ＋ｋ,ｍｆ－ｋ）－图,１≤ｋ＜ｍ,Ｈ是Ｇ中一个给定的有ｋ条边的子图,则Ｇ有一个子图Ｌ使得Ｌ有一个（ｇ,ｆ）－因子分解与Ｈ正交．     

一类微分学问题的新方法

一类微分学问题的新方法武忠祥（西安交通大学理学院，西安７１００４９）本文通过几个实例介绍通常用泰勒定理来解决的一类微分学问题的新方法———辅助多项式函数法．例１设ｆ（ｘ）在［０，１］上有二阶连续导数，且ｆ（０）＝ｆ（１）＝０，ｍｉｎ０≤ｘ≤１ｆ（ｘ）...     

再论求导数零点的二次收敛迭代法

一维搜索是最优化理论数值计算的一个基本问题,它可归结为求定义在开凸区域Ｄ上的可微函数 ｆ的导数零点．若用 Ｎｅｗｔｏｎ法求导数零点,则涉及到二阶导数的计算．若用带导数的三次插值法则需要开平方的计算［１］．为了克服上述问题,本文作者之一在 １９７９年［２］首次提出了下述具有二阶收敛速度的迭代法：通常,我们称迭代法（０．１）为基于信息集（ｆ（ｘｎ）,ｆ’（ｘｎ）,ｆ（ｘｎ－１）,ｆ’（ｘｎ－１）｝的迭代法,而δ（ｆｘｙ）是基于信息集｛ｆ（ｘ）,ｆ＇（ｘ）,ｆ（ｙ）,Ｆ＇（ｙ））｝的三次插值多项式在ｘ处…     

抽象函数问题的几点思考

讨论由若干条件所确定的函数的性质,是中数研究的一个热门话题．本文将就处理这类问题的思考方法提供一点见解,供读者参考．一、利用数据的相互关系分析问题抽象函数问题中的数据是一条重要的信息．数据之间的相互关系常常是问题的突破口．例１　ｆ是实数集Ｒ到Ｒ的映射,满足条件：ｘ∈Ｒ,有　　ｆ（ｘ＋１９）≤ｆ（ｘ）＋１９①　　ｆ（ｘ＋９４）≥ｆ（ｘ）＋９４②求证ｘ∈Ｒ,有ｆ（ｘ＋１）＝ｆ（ｘ）＋１．分析：①,②分别给出了放大与缩小关系．而ｆ（ｘ＋１）＝ｆ（ｘ）＋１ｆ（ｘ＋１）≤ｆ（ｘ）＋１且ｆ（ｘ＋１）≥…